Hoofdstuk 1 - Elementaire wiskundige structuren

Author

Jutho Haegeman

Published

September 24, 2024

Doel van dit hoofdstuk

Belangrijkste wiskundige concepten:

Herhaling (voornamelijk)
Notatie en terminologie
Geen bewijzen, geen letterlijke vragen
Weinig voorbeelden om beknopt te blijven

Verzamelingen en afbeeldingen

Verzamelingen

verzameling met hoofdletters $A, B, \ldots$
elementen $a, b, c \in A$ met kleine letters
deelverzameling $B \subseteq A$
unie $A \cup B$, doorsnede $A \cap B$, verschil $A \setminus B$
complement van een deelverzameling $B \subseteq A$: $B^{\text{c}} = \{ a \in A | a \not\in B\}$
Cartesisch product $A \times B = \{(a,b); \forall a \in A, \forall b \in B \}$

Verzamelingen

belangrijkste verzamelingen:
- lege verzameling $\{\}$
- natuurlijke getallen ${\mathbb{N}}= \{0,1,2,\ldots\}$, ${\mathbb{N}}_0 = {\mathbb{N}}\setminus \{0\}$
- gehele getallen ${\mathbb{Z}}$
- rationale getallen ${\mathbb{Q}}$
- reële getallen ${\mathbb{R}}$
- niet-negatieve getallen ${\mathbb{R}}_{\geq 0}$, positieve getallen ${\mathbb{R}}_{>0}$
- $\overline{{\mathbb{R}}} = {\mathbb{R}}\cup \{-\infty,+\infty\}$
- complexe getallen ${\mathbb{C}}$

Afbeeldingen

$\varphi: A \to B : a \mapsto \varphi(a)$:
- afbeelding $\varphi$, domein $A$, codomein $B$
- argument $a$, waarde of beeld $\varphi(a)$
- beeld van $C \subseteq A$: $\varphi(C) = \{\varphi(a) | a \in C\}$
- invers beeld (preimage) van $D \subseteq B$:¹ $\varphi^{-1}(D) = \{a \in A | \varphi(a) \in D\}$
compositie $\varphi \circ \psi$, identiteitsafbeelding $\mathop{\mathrm{id}}_A$

Afbeeldingen

injectief: elk element $b \in B$ is het beeld van ten hoogste één $a \in A$, of dus $\varphi^{-1}(\{b\})$ bevat 0 of 1 elementen
surjectief: elk element $b \in B$ is het beeld van minstens één $a \in A$, of dus $\varphi(A) = B$
bijectief: injectief en surjectief, elk element $b \in B$ is het beeld van exact één $a \in A$
- inverse afbeelding $a = \varphi^{-1}(b)$
- $\varphi^{-1} \circ \varphi = \mathop{\mathrm{id}}_A$, $\varphi \circ \varphi^{-1} = \mathop{\mathrm{id}}_B$

Kardinaliteit

Kardinaliteit = aantal elementen in een verzameling

Notatie: $\vert A \vert$ of $\# A$

Eindig: $I_n = \{1,2,\ldots,n\} \Rightarrow \vert I_n\vert = n$
Oneindig:
- Aftelbaar: ${\mathbb{N}}$, ${\mathbb{Z}}$, ${\mathbb{Q}}$
  
  Je kan de elementen nummeren = bijectie met ${\mathbb{N}}$
- Onaftelbaar: ${\mathbb{R}}$, ${\mathbb{C}}$
Werken met oneindige cardinaliteit:

$\vert A \vert \leq \vert B \vert \Leftrightarrow$ er bestaat een injectieve afbeelding van $A$ naar $B$

Relaties

Relatie tussen elementen $a \in A$ en $b \in B$ = deelverzameling van koppels $(a,b) \in A \times B$

Relaties

Equivalentierelatie $\sim$ tussen elementen $a, b, c \in A$
- Definitie
  - reflexiviteit: $a \sim a$ voor alle $a \in A$
  - symmetrie: $a \sim b$ impliceert $b \sim a$
  - transitiviteit: $a \sim b$ en $b \sim c$ impliceert $a \sim c$
- Equivalentieklasse $[a] = \{b \in A | b \sim a\}$
  - verschillende equivalentieklassen zijn disjunct: $\lnot(a \sim b) \Rightarrow [a] \cap [b] = \{\}$
  - equivalentieklassen partitioneren $A$
  - quotiëntverzameling $A/ \sim$ = verzameling van equivalentieklassen

Relaties

Equivalentierelatie $\sim$ tussen elementen $a, b, c \in A$
- Voorbeeld (dat vaak terugkomt):
  
  $\forall a,b \in {\mathbb{Z}}$, $a \sim b \Leftrightarrow (b-a) \in n {\mathbb{Z}}$
  
  $[a] = \{ b \in {\mathbb{Z}}| b \mod n = a\}$
  
  ${\mathbb{Z}}/ \sim = {\mathbb{Z}}/ (n {\mathbb{Z}})$
  
  in fysica: ${\mathbb{Z}}_n$: gehele getallen modulo $n$

Relaties

Partiële orde relatie $a \preccurlyeq b$ tussen elementen $a, b \in A$
- Definitie
  - reflexiviteit: $a \preccurlyeq a$ voor alle $a \in A$
  - anitsymmetrie: $a \preccurlyeq b \land b \preccurlyeq a$ impliceert $a=b$
  - transitiviteit: $a \preccurlyeq b$ en $b \preccurlyeq c$ impliceert $a \preccurlyeq c$
- Eigenschappen:
  - grootste element $a$: $b \preccurlyeq a$ voor alle $b \in A$
    
    (uniek maar hoeft niet te bestaan)
  - maximaal element $a$: $a \preccurlyeq b$ impliceert $b = a$
    
    (niet uniek)

Groepen, ringen en velden

Bineaire operatie

Een afbeelding $\cdot: A \times A \to A: (a,b) \mapsto a \cdot b$

Mogelijke eigenschappen ($\forall a, b, c \in A$)

Associativiteit: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
Neutraal element: $\exists e \in A : a \cdot e = a = e \cdot a$
Inverses: $\exists a^{-1} \in A: a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$
Commutativiteit: $a \cdot b = b \cdot a$

Groep

Een groep $(G, \cdot)$ is een verzameling $G$ met een associatieve binaire operatie $\cdot$ die een neutraal element en inverses heeft.

Indien de groepsoperatie ook commutatief is wordt de groep meestal een Abelse groep genoemd en de operatie meestal genoteerd als $+$

Voorbeelden: $({\mathbb{Z}}, +)$, $({\mathbb{Z}}_n, +_{\bmod n})$
Groepen in de fysica: symmetrieën
- Ruimtelijk: translaties, rotaties, reflecties
- Interne symmetrieën: vooral kwantum
Triviale groep: $(\{e\}, \cdot)$ (steeds neutraal element!)

Homomorfisme

Homomorfisme = structuurbewarende afbeelding

Groepshomomorfisme $\varphi$ van $(G, \cdot)$ naar $(H, \circ)$: $\varphi(g_1 \cdot g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)$

Bijkomende terminologie:

Endomorphisme: homorphisme van structuur naar zichzelf
Isomorphisme: bijectief homomorfisme (notatie vaak $\phi$)
Automorphisme: bijectief endomorfisme

Automorfismegroep:

Voor elke verzameling $A$, met eventuele structuur (groep, partiële order, ring, veld, vectorruimte, …):

De verzameling $\mathop{\mathrm{Aut}}(A)$ van alle mogelijke automorfismen van $A$ met als binaire operatie $\circ$ (compositie) heeft associativiteit, neutraal element $\mathop{\mathrm{id}}_A$ and inverses

$\Rightarrow (\mathop{\mathrm{Aut}}(A), \circ)$ is een groep: automorfismegroep van $A$ !

Voorbeeld:

$I_n = \{1,\ldots,n\}$ zonder extra structuur
$\Rightarrow \mathop{\mathrm{Aut}}(I_n) = S_n$, de permutatiegroep van $n$ elementen

Voorbeelden van homomorfismen

Triviaal homomorfise van elke groep $(G,\cdot)$ naar triviale groep $(\{e\},\cdot)$: $\forall g \in G: \varphi(g) = e$.
Met behulp van:
- Groep 1: ${\mathbb{Z}}_n = \{0,1,\ldots,n-1\}$ met $+$ modulo $n$
- Groep 2: $C_n = \{\omega^k ; k=0,\ldots, n-1\}$ met $\omega = {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{n}}$ en vermenigvuldiging (cyclische groep)
Isomorphisme: $k \in {\mathbb{Z}}_n \mapsto \omega^k \in C_n$

$\Rightarrow$ isomorfisme ${\mathbb{Z}}_n \cong C_n$
Surjectief homomorphisme: $a \in C_{2n} \mapsto a^2 \in C_{n}$
Injectief homomorphisme: $k \in {\mathbb{Z}}_{n} \mapsto 2k \in {\mathbb{Z}}_{2n}$

Voorbeelden van homomorfismen

Van permutatiegroep $S_n$ naar ${\mathbb{Z}}_2$:

Ontbind een willekeure permutatie $\sigma \in S_n$ als een samenstelling van elementaire transposities $\tau_{i,j}$
Aantal transposities modulo 2 hangt niet af van gekozen ontbinding: pariteit $P(\sigma) \in {\mathbb{Z}}_2$
$\mathop{\mathrm{sgn}}(\sigma) = (-1)^{P(\sigma)} \in C_2$

Groepsacties

Gegeven een verzameling $A$ (configuratieruimte van een fysisch systeem), beschrijf hoe elementen $g$ van een groep $G$ (symmetrietransformaties) inwerkt op de elementen $a \in A$ en ze transformeert naar nieuwe elementen $b \in A$
Met elke $g \in G$ moeten we dus een afbeelding $A \to A$ associeren, meer bepaald een automorphisme.

$\Rightarrow$ groepsactie is homomorphisme van $G$ naar $\mathop{\mathrm{Aut}}(A)$
Wanneer $A$ een (eindig-dimensionale) vectorruimte is, is $\mathop{\mathrm{Aut}}(A)$ isomorf met de verzameling van inverteerbare matrices en wordt een groepsactie een representatie genoemd.

Deelgroepen en kern

Deelgroep $H$: een deelverzameling $H \subseteq G$ die tevens nog steeds een groep is
Normale subgroep: een subgroep $N \subseteq G$ zodat $g n g^{-1} \in N$ voor alle $g \in G$ en $n \in N$
Voor een homomorphisme $\varphi:(G,\cdot) \to (H,\circ)$
- is het beeld $\varphi(G)$ een subgroep van $H$
- is het invers beeld $\varphi^{-1}(e_H)$ een normale subgroup van $G$, die de naam $\mathop{\mathrm{ker}}(\varphi)$ krijgt
- $\mathop{\mathrm{ker}}(\varphi) = \{e_G\} \Leftrightarrow \varphi$ is injectief

Quotientgroep

Quotientgroup $G/N$ voor $N$ normale subgroep van $G$:
- $g \sim h$ als $g^{-1} h \in N$, en dus ook $h g^{-1} \in N$
- $[g] = \{g \cdot n, \forall n \in N\} = \{n'\cdot g, \forall n \in N\}$
- $G/N$: groep van equivalentieklassen met operatie
  
  $[g_1] \cdot [g_2] = [g_1 \cdot g_2]$
  
  hangt niet af van gekozen representant: $(g_1 \cdot n_1) \cdot (g_2 \cdot n_2) = (g_1 \cdot g_2) \cdot (g_2^{-1} \cdot n_1 \cdot g_2) \cdot n_2$ $= (g_1 \cdot g_2) \cdot n_1' \cdot n_2 = (g_1 \cdot g_2) \cdot n_3$

Ring

Abelse groep $(R, +)$ met tweede binaire operatie $\cdot$ die associatief is en een neutraal element heeft, met bijkomende distributiviteitseigenschap:

$a \cdot (b + c) = a\cdot b + a \cdot c$; $(b+c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$

Voorbeelden:

$({\mathbb{Z}}, +, \cdot)$ en $({\mathbb{Z}}_n, +_{\bmod n}, \cdot_{\bmod n})$
triviale ring $(\{0=1\}, +, \cdot)$
$R[x]$: polynomen in $x$ met coefficienten uit ring $R$
$R^{n \times n}$: $n \times n$ matrices met elementen uit $R$

(in dat geval is $\cdot$ niet commutatief)

Ring

In een ring is er een neutraal element $0$ van $+$ en een neutraal element $1$ van $\cdot$. Verder kunnen er nog elementen zijn met een speciale rol:

Idempotent: $a \cdot a = a$
Nilpotent met index $p$: $a^p = 0$
Multiplicatief invers element: $a^{-1}$ zodat $a^{-1}\cdot a = a\cdot a^{-1} = 1$
Nuldeler: $a b = 0$ voor minstens 1 element $b \neq 0$.

In een eindige ring geldt voor elk element dat het ofwel een nuldeler is, of dat het een multipicatief inverse heeft.

Ring en veld

Het additief neutraal element $0$ heeft nooit een multiplicatief inverse
Een ring waaarbij elk niet-$0$ element een multiplicatief inverse heeft: lichaam / delingsring
Een delingsring waarbij $\cdot$ commutatief is: veld

Voorbeeld van velden: ${\mathbb{Q}}$, ${\mathbb{R}}$, ${\mathbb{C}}$, ${\mathbb{Z}}_p$ voor $p$ priem

Algebraisch gesloten veld: elke niet-constante veelterm heeft een nulpunt $\Rightarrow {\mathbb{C}}$

Belangrijkste voorbeeld van delingsring: quaternionen ${\mathbb{H}}$

Vectorruimten

Vectorruimte

Een vectorruimte $V=\{{o}_V, {v},{w},\ldots\}$ over een veld ${\mathbb{F}}=\{0,1,a,b,c,\ldots)$ (scalairen genoemd) is een abelse groep $(V,+)$ met een afbeelding ${\mathbb{F}}\times V \to V$ (vermenigvuldigen met scalairen), met als eigenschappen

$a({v}+ {w}) = a {v}+ a {w}$
$(a+b) {v}= a {v}+ b {v}$
$a (b {v}) = (a b) {v}$
$1 {v}= vv$

Andere verwachte eigenschappen volgen, zoals $0 {v}= {o}_V$, $\ldots$

${\mathbb{F}}$ is typisch ${\mathbb{R}}$ of ${\mathbb{C}}$

Voorbeelden

Triviale vector ruimte: $\{{o}\}$ (voor om het even welk veld)
${\mathbb{F}}^n = {\mathbb{F}}\times {\mathbb{F}}\times \cdots \times {\mathbb{F}}$: n-tuples
- meestal voorgesteld als kolom
- elementen genoteerd in het vet: $\boldsymbol{v}\in {\mathbb{F}}^n$
- elementsgewijze optelling en vermenigvuldiging met scalairen
- in het bijzonder: ${\mathbb{F}}^1 \cong {\mathbb{F}}$ als veld over zichzelf
${\mathbb{C}}$ als veld over ${\mathbb{R}}$: het complexe vlak
analoog: ${\mathbb{H}}$ als veld over ${\mathbb{R}}$, of over ${\mathbb{C}}$
${\mathbb{F}}^{m\times n}$: $m \times n$ matrices, opnieuw met componentsgewijze optelling en vermenigvuldiging met scalairen (≠ matrixvermenigvuldiging)

Deelruimten

Deelverzameling $W$ van een vectorruimte $V$ die gesloten is onder vectoroptelling (=deelgroep) en vermenigvuldiging met scalairen
Notatie: $W {\preccurlyeq}V$
Triviale deelruimte: $\{{o}_V\}$
Eigenlijke deelruimte: $W \neq \{{o}_V\}$ en $W \neq V$

Meer voorbeelden

Vectorruimte ${\mathbb{F}}^{\mathcal{D}}$: functies van een bepaald domein $\mathcal{D}$ (bvb ${\mathbb{R}}$ of ${\mathbb{R}}^3$) naar ${\mathbb{F}}$
- puntsgewijze optelling en vermenigvuldiging met scalairen
Voor $\mathcal{D} \subseteq {\mathbb{R}}^n$: Optelling en scalaire vermenigvuldiging behoudt de meeste analytische eigenschappen, dus interessante deelruimtes:
- Continue functies: $C(\mathcal{D},{\mathbb{F}})$
- $k$-maal continue afleidbare functies: $C^k(\mathcal{D},{\mathbb{F}})$
- gladde functies: $C^{\infty}(\mathcal{D},{\mathbb{F}})$
- analytische functies $C^{\omega}(\mathcal{D},{\mathbb{F}})$ (functies met convergerende Taylorreeks binnen $\mathcal{D}$)

Homomorfismen

Structuurbehoudende afbeelding tussen twee vectorruimten $V$ and $W$:

$\varphi:V\to W$ met $\varphi (a_1 {v}_1 + a_2 {v}_2) = a_1 \varphi({v}_1) + a_2 \varphi({v}_2)$

vector-homomorfismen $\mathop{\mathrm{Hom}}(V,W)$:

lineaire afbeeldingen $\rightarrow$ Hoofdstuk 2
vector-endomorfismen $\mathop{\mathrm{End}}(V) = \mathop{\mathrm{Hom}}(V,V)$:

lineaire operatoren $\rightarrow$ Hoofdstuk 3
vector-isomorfismen:

lineaire transformaties
vector-automorfismegroep $\mathop{\mathrm{GL}}(V)$:

algemeen lineaire groep

Lineaire combinaties

Gegeven een deelverzameling $S \subseteq V$ van een vectorruimte $V$ over ${\mathbb{F}}$ (dus niet noodzakelijk een deelruimte):

Een lineaire combinatie uit $S$ is elke vector ${v}= \sum_{i=1}^m a_i {v}_i$ met $a_i \in {\mathbb{F}}$, ${v}_i \in S$ voor $i=1,\ldots,m$ voor een eindige integer $m$²

Lineaire span en compleetheid

$\mathop{\mathrm{span}}(S)$ of ${\mathbb{F}}S$ is de verzameling van alle lineaire combinaties uit $S$; dit is een deelruimte: $\mathop{\mathrm{span}}(S) {\preccurlyeq}V$
Deelruimte $W$ is voortgebracht door $S$ als $\mathop{\mathrm{span}}(S)=W$
$\mathop{\mathrm{span}}(\{\}) = \{{o}_V\}$
$S$ is compleet als $\mathop{\mathrm{span}}(S)=V$
Als de kleinste verzameling $S$ waarvoor $\mathop{\mathrm{span}}(S)=V$ een eindige kardinaliteit $|S|=n$ heeft, dan wordt $V$ een $n$-dimensionale vectorruimte genoemd: $\mathop{\mathrm{dim}}(V)=n$
Als er geen eindige verzameling $S$ bestaat waarvoor $\mathop{\mathrm{span}}(S)=V$, dan wordt $V$ een oneindig-dimensionale vectorruimte genoemd

Lineaire onafhankelijkheid en basis

Een deelverzameling $S \subseteq V$ van een vectorruimte $V$ over ${\mathbb{F}}$ wordt lineair onafhankelijk genoemd als voor elke lineaire combinatie $\sum_{i=1}^m a_i {v}_i$ geldt dat de vergelijking $\sum_{i=1}^m a_i {v}_i = {o}_V$ impliceert dat $a_i = 0$ voor $i=1,\ldots,m$.
Een verzameling $S$ die tegelijkertijd lineair onafhankelijk is en compleet is ($V$ voortbrengt) wordt een basis genoemd
Voorbeeld: $\{\boldsymbol{e}_i =(0,\ldots,\underbrace{0,1,0}_{\text{positie $i$}},\ldots,0); i=1,\ldots,n\}$ is een basis voor ${\mathbb{F}}^n$

Basis: eigenschappen

Uit elke complete verzameling $S$ kunnen we een basis $B\subseteq S$ extraheren
Elke lineair onafhankelijke verzameling $S$ kunnen we uitbreiden tot een basis $B \supseteq S$
Elke lineair onafhankelijke verzameling $S$ uit een $n$-dimensionale vectorruimte heeft ten hoogste $n$ elementen
Elke lineair onafhankelijke verzameling $S$ met $n$ elementen uit een $n$-dimensionale vectorruimte is een basis, en elke basis heeft exact $n$ elementen
Elke vectorruimte (ook oneindig-dimensionale) hebben een basis (Hamel-basis), maar die is vaak niet constructief en niet praktisch

Coordinaten en indexnotatie

Gegeven een basis $B = \{{e}_i, i=1,\ldots,n\}$ voor een eindig-dimensionale vectorruimte:

Elke vector ${v}\in V$ kan 1-op-1 geassocieerd worden aan een $n$-tuple $\boldsymbol{v}=(v^1,\ldots,v^n) \in {\mathbb{F}}^n$ zodat

${v}= \sum_{i=1}^n v^i {e}_i = v^i {e}_i$ (Einstein sommatie-conventie)
$\boldsymbol{v} = \phi_B({v})$ met $\phi_B:V \to {\mathbb{F}}^n$: coordinatenisomorfisme
Elke $n$-dimensionale vectorruimte is isomorf met ${\mathbb{F}}^n$
Elke twee $n$-dimensionale vectorruimten zijn isomorf: $V \cong W$

Indexnotatie

Coordinaten / componenten van een vector voorgesteld met contravariante index (bovenindex)
Einstein-sommatieconventie: elk symbool dat éénmaal als bovenindex (contravariant) en éénmaal als benedenindex (covariant) voorkomt impliceert een sommatie over zijn bereik
Kronecker-delta: $\delta^i_j = \begin{cases} 1, i=j\\ 0, i \neq j\end{cases}$

Bewerkingen met deelruimten

$W {\preccurlyeq}V$ impliceert $\mathop{\mathrm{dim}}(W) \leq \mathop{\mathrm{dim}}(V)$
Als $V$ eindig-dimensionaal is:

$\mathop{\mathrm{dim}}(W) = \mathop{\mathrm{dim}}(V)$ impliceert $W = V$

Bewerkingen met deelruimten

Voor deelruimten $W_1,W_2 {\preccurlyeq}V$:

$(W_1 \cap W_2)$ is een deelruimte
$W_1 + W_2 = {\mathbb{F}}(W_1 \cup W_2)$ is een deelruimte:
- ${v}= {w}_1 + {w}_2$ voor een ${w}_1 \in W_1$ en ${w}_2 \in W_2$.
- $\mathop{\mathrm{dim}}(W_1+W_2) = \mathop{\mathrm{dim}}(W_1) + \mathop{\mathrm{dim}}(W_2) - \mathop{\mathrm{dim}}(W_1 \cap W_2)$
als $W_1 \cap W_2 = \{{o}\}$: (interne) directe som $W_1 \oplus W_2$
- ontbinding ${v}= {w}_1 + {w}_2$ met ${w}_i \in W_i$ ($i=1,2$) is uniek
- $\mathop{\mathrm{dim}}(W_1 \oplus W_2) = \mathop{\mathrm{dim}}(W_1) + \mathop{\mathrm{dim}}(W_2)$
$\bigoplus_{i=1}^n W_i$: vereist dat $W_{k+1} \cap \left(\bigoplus_{i=1}^{k} W_i\right) = \{{o}\}$ voor $k=1,2,\ldots,n-1$

Bewerkingen met deelruimten

Voor vectorruimten $V_1$ en $V_2$: $V_1 \times V_2$ is vectorruimte

Vectorstructuur:
- $({v}_1,{v}_2) + ({w}_1, {w}_2) = ({v}_1+{w}_1,{v}_2+{w}_2)$
- $a ({v}_1, {v}_2)= (a {v}_1, a {v}_2)$
notatie: $V_1 \oplus V_2$, naam: (externe) directe som
${v}_1 \mapsto ({v}_1,{o}_{V_2})$ en ${v}_2 \mapsto ({o}_{V_1},{v}_2)$ definiëren natuurlijke inbedding van $V_1$ en $V_2$ als deelruimten van $V_1 \oplus V_2$

$\Rightarrow$ geen onderscheid tussen interne en externe directe som

Bewerkingen met deelruimten

Gegeven een deelruimte $W \subseteq V$:

als $V = W \oplus U$, dan is $U$ een complement van $W$ in $V$
- keuze voor complement $U$ is niet uniek
- voor elke keuze geldt $\mathop{\mathrm{dim}}(U) = \mathop{\mathrm{dim}}(V) - \mathop{\mathrm{dim}}(W) = \mathop{\mathrm{codim}}(W)$
quotientruimte $V/W$:
- equivalentierelatie ${v}_1 \sim {v}_2 \Leftrightarrow ({v}_2-{v}_1) \in W$
- $(W,+)$ is normale subgroup van $(V,+)$
- equivalentieklassen: ${v}+ W = \{{v}+ {w}; {w}\in W\}$
- $\mathop{\mathrm{dim}}(V/W) = \mathop{\mathrm{dim}}(V) - \mathop{\mathrm{dim}}(W)$

Affiene ruimte

Gegeven een vectorruimte $V$, een geassocieerde affiene ruimte is een verzameling van punten $A = \{P, Q, \ldots\}$ waarop de abelse groep $(V,+)$ een groepsactie heeft, of dus

$\forall P \in A: P + {o}_V = P$
$\forall P \in A, {v},{w}\in V: P + ({v}+ {w}) = (P+{v}) + {w}$

met bovendien:

als $P + {v}= P$ voor een bepaalde $P$, dan is ${v}= {o}_V$
$\forall P, Q \in A$: er bestaat een ${v}\in V$ zodat $Q = P + {v}$
- notatie: ${v}= Q - P$

$A$ is zoals de vectorruimte $V$ die zijn oorsprong is vergeten

Algebras

Algebra

Een vectorruimte $V$ met een binaire operatie $\odot: V \times V \mapsto V$ die lineair is beide argumenten afzonderlijk (= bilineair)

$(a_1 {v}_1 + a_2 {v}_2) \odot {w}= a_1 ({v}_1 \odot {w}) + a_2 ({v}_2 \odot {w})$
${v}\odot (b_1 {w}_1 + b_2 {w}_2) = b_1 ({v}\odot {w}_1) + b_2 ({v}\odot {w}_2)$

Ten opzichte van een basis $B = \{{e}_1,\ldots,{e}_n\}$:

$(v^i {e}_i) \odot (w^j {e}_j) = v^i w^j ({e}_i \odot {e}_j) = v^i v^j \underbrace{f_{ij}^k}_{\text{structuurconstanten}} {e}_k$

Algebras

Associatieve algebra $(V,\cdot)$:
- $({u}\cdot {v}) \cdot {w}= {u}\cdot ({v}\cdot {w})$
- vaak ook met een neutraal element
- belangrijkste voorbeeld: vierkante matrices ${\mathbb{F}}^{n \times n}$
- commutator: $[{v},{w}] = {v}\cdot {w}- {w}\cdot {v}$
Alternerend product: ${v}\odot {v}= 0 \Rightarrow {v}\odot {w}= -{w}\odot {v}$
- voorbeeld: vectorproduct $\times$ op ${\mathbb{R}}^3$
Lie-algebra: algebra met alternered product, genoteerd als $[{v}, {w}] = -[{w},{v}]$ dat voldoet aan Jacobi-identiteit

$[{u},[{v},{w}]] + [{v},[{w},{u}]] + [{w},[{u},{v}]] = 0$

$\rightarrow$ kan gemaakt worden uit associatieve algebra m.b.v. commutator (controleer!)

Footnotes

Invers beeld vereist geen injectiviteit, en gedraagt zich beter dan beeld onder unie en doorsnede: $\varphi^{-1}(D_1 \cup D_2) = \varphi^{-1}(D_1) \cup \varphi^{-1}(D_2)$ en analoog voor $\cap$↩︎
$S$ zelf kan eindig of oneindig veel elementen bevatten, maar we hebben geen manier om op dit moment betekenis te geven aan een oneindige som (=reeks)↩︎