Hoofdstuk 9 - Fourieranalyse en distributies

Author

Jutho Haegeman

Published

December 5, 2023

Doel van dit hoofdstuk

  • Fouriertransformaties
    • voornaamste eigenschappen
    • Fouriertransformatie als unitaire transformatie L^2({\mathbb{R}}) \to L^2({\mathbb{R}})
    • toepassing: Gaussische distributies en centrale limietstelling
  • Theorie van distributies en testfuncties
    • Reguliere en singuliere distributies = Dirac delta
    • Distributionele afgeleiden en limieten
    • Diracrijen
    • Andere voorbeelden: Cauchy-hoofdwaarde
    • Distributies en Fouriertransformaties
  • Verband tussen verschillende types Fouriertransformaties
    • Discrete tijd Fourier transformatie
    • Nyquist sampling theorema
    • Fouriertransformaties en translatie-invariante operatoren

Fouriertransformaties

Fouriertransformatie: motivatie

  • Herhaling Fourierreeks: f \in L^2(I) met I = [-L/2,+L/2]

    \begin{align*} &\widehat{f}_k = {\left\langle\varphi_k,f\right\rangle} = \frac{1}{\sqrt{L}}\int_I f(x)\, {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\,{\mathrm{d}}x\\ & \qquad \iff \qquad f(x) = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k \varphi_k = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x} \end{align*}

  • Limiet L \to \infty ?

    met k/L \to \xi \in {\mathbb{R}} en \widehat{f}_k \to \frac{1}{\sqrt{L}} \widehat{f}(\xi):

    \begin{align*} &\widehat{f}(\xi) = \int_{-L/2}^{+L/2} f(x)\, {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x \to \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x\\ &\qquad \iff \qquad f(x) = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \frac{1}{L} \widehat{f}(k/L) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi (k/L) x} \to \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}\xi. \end{align*}

    • niet rigorous: geen orthonormale aftelbare basis meer

Fouriertransformatie: definitie en varianten

  • Fouriertransformatie: \widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x){\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}x

    inverse Fouriertransformatie: \check{f}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\xi){\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}\xi

    • relatie tussen f(x) en \check{f}(x)? zodadelijk

    • \lambda = \xi^{-1} golflengte

  • Andere varianten:

    • tijd:

      \widetilde{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\omega t}\,{\mathrm{d}}t\quad\text{en}\quad \breve{f}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \widetilde{f}(\omega) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\omega t}\,{\mathrm{d}}\omega

      • +{\mathrm{i}} en -{\mathrm{i}} omgedraaid
      • in termen van “hoekfrequentie” \omega = 2 \pi \nu met T = 1/\nu de periode

    • meerdimensionaal:

      \widetilde{f}(\boldsymbol{k}) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \int_{{\mathbb{R}}^d} f(\boldsymbol{x}) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}}\,{\mathrm{d}}^d \boldsymbol{x}\quad\text{en}\quad \breve{f}(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \int_{{\mathbb{R}}^d} \widetilde{f}(\boldsymbol{k}) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}}\,{\mathrm{d}}^d \boldsymbol{k}

      • \boldsymbol{k} de golfvector

Fouriertransformatie: voorbeelden

  • f(x) = \exp(-a {\left\lvert x\right\rvert}) met een parameter a > 0:

    \begin{align} \widehat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a {\left\lvert x\right\rvert}} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}x = \int_0^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-(a + {\mathrm{i}}2\pi \xi) x}\,{\mathrm{d}}x + \int_{-\infty}^{0} {\mathrm{e}}^{+(a - {\mathrm{i}}2 \pi \xi) x}\,{\mathrm{d}}x\nonumber\\ &= \frac{1}{a + {\mathrm{i}}2\pi \xi} + \frac{1}{a - {\mathrm{i}}2\pi \xi} = \frac{2a}{ a^2 + 4\pi^2 \xi^2} \end{align}

  • f(x) = \exp(-a x^2) met een parameter a > 0:

    \begin{align} \widehat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-a x^2} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}x = \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-a \left(x + {\mathrm{i}}\frac{\pi \xi}{a}\right)^2 - \frac{\pi^2 \xi^2}{a} }\,{\mathrm{d}}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}} {\mathrm{e}}^{-\frac{\pi^2 \xi^2}{a}} \end{align}

    gebruik makende van

    \begin{align*} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-a (x + {\mathrm{i}}t)^2}\,{\mathrm{d}}x &= - {\mathrm{i}}2a \int_{-\infty}^{+\infty} (x + {\mathrm{i}}t) {\mathrm{e}}^{-a (x + {\mathrm{i}}t)^2}\,{\mathrm{d}}x \\ &= {\mathrm{i}}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} {\mathrm{e}}^{-a (x + {\mathrm{i}}t)^2}\,{\mathrm{d}}x = {\mathrm{i}}\left[{\mathrm{e}}^{-a (x + {\mathrm{i}}t)^2}\right]_{x=-\infty}^{x=+\infty} = 0 \end{align*}

Fouriertransformatie: voorbeelden

  • f(x) = H(a - {\left\lvert x\right\rvert}) met een parameter a>0 (box functie)

    \begin{align} \widehat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{+\infty} H(a-{\left\lvert x\right\rvert}) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}x = \int_{-a}^{+a} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x \nonumber\\ &= \frac{{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi a} - {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi a}}{-{\mathrm{i}}2\pi \xi} = \frac{\sin(2\pi \xi a)}{\pi \xi}=2 a \mathop{\mathrm{sinc}}(\pi 2 a \xi)\label{eq:fourier:ftbox} \end{align} met \mathop{\mathrm{sinc}}(x) = \sin(x)/x

    • voorbeeld waarbij \widehat{f}(\xi) niet absoluut integreerbaar is
    • is inverse Fouriertransformatie wel goed gedefinieerd?

Fouriertransformatie: eigenschappen

Fourierbeeld: \widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x){\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}x\quad (gedefinieerd voor f \in L^1({\mathbb{R}}))

  • belangrijkste eigenschappen (bewijs eenvoudige oefening)
    • lineariteit: h(x) = a f(x) + b g(x) \implies \widehat{h}(\xi) = a \widehat{f}(\xi) + b \widehat{g}(\xi)
    • translatie: h(x) = f(x-x_0) \implies \widehat{h}(\xi) = {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x_0} \widehat{f}(\xi)
    • modulatie: h(x) = f(x) {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi \xi_0 x} \implies \widehat{h}(\xi) = \widehat{f}(\xi -\xi_0)
    • conjugatie: h(x) = \overline{f(x)} \implies \widehat{h}(\xi) = \overline{\widehat{f}(-\xi)}
    • Tijd/frequentie-omkering: h(x) = f(-x) \implies \widehat{h}(\xi) = \widehat{f}(-\xi)
    • Schaling: h(x) = f(s x) \implies \widehat{h}(\xi) = \frac{1}{s} \widehat{f}(\xi/s)
  • Bijkomende eigenschappen (bewijs aan bord):
    • continu: \widehat{f}(\xi) \in C^0({\mathbb{R}})
    • begrensd: {\left\lVert\widehat{f}\right\rVert}_\infty = \sup_{\xi} {\left\lvert\widehat{f}(\xi)\right\rvert} \leq {\left\lVert f\right\rVert}_1
    • verdwijnt op oneindig: \lim_{\xi \to \pm \infty} {\left\lvert\widehat{f}(\xi)\right\rvert} = 0 (Riemann-Lebesgue lemma)

Fouriertransformatie: eigenschappen

  • Convolutie: f,g \in L^1({\mathbb{R}}) \implies h = f \ast g \in L^1({\mathbb{R}}) met

    h(x) = (f \ast g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-y) g(y)\,{\mathrm{d}}y = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) g(x-y)\,{\mathrm{d}}y = (g \ast f)(x)

    \Rightarrow \widehat{h}(\xi) = \widehat{f}(\xi) \widehat{g}(\xi)

  • Afgeleide: f afleidbaar met stuksgewijs continue afgeleide g=f' (en f, g = f' \in L^1({\mathbb{R}}) en \lim_{x \to \pm \infty} {\left\lvert f(x)\right\rvert}=0)

    \Rightarrow \widehat{g}(\xi) = {\mathrm{i}}2\pi \xi f(\xi)

    bij uitbreiding indien voldoende regulier:

    g(x) = f^{(p)}(x) \implies \widehat{f^{(p)}}(\xi) = ({\mathrm{i}}2\pi \xi)^p \widehat{f}(\xi)

    • Riemann-Lebesgue: \widehat{f}(\xi) daalt sneller dan \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(\xi^{-p})

Fouriertransformatie als unitaire transformatie

  • We verwachten {\hat{F}}: L^2({\mathbb{R}}) \to L^2({\mathbb{R}}) : f \mapsto \widehat{f} een unitaire transformatie

  • \widehat{f} is enkel gedefinieerd voor f \in L^1({\mathbb{R}}):

    • voor eindig interval I geldt L^2(I) {\preccurlyeq}L^1(I)
    • maar niet voor L^2({\mathbb{R}}) (vb f(x)= (1+x^2)^{-1/2})

  • Definieer eerst {\hat{F}} op dichte deelruimte C^0_c({\mathbb{R}}) {\preccurlyeq}L^2({\mathbb{R}})

    (continue functies met compacte drager)

    • er geldt: {\left\lVert f\right\rVert}_2 = {\left\lVert\widehat{f}\right\rVert}_2

      \Rightarrow {\hat{F}} is begrensd (zelfs isometrisch) en kan dus uitgebreid worden tot L^2({\mathbb{R}})

    • bewijs: als supp(f) \in [-L/2,+L/2] : f(x) = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}

      met \widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{L}} \int_{-L/2}^{+L/2} f(x){\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\,{\mathrm{d}}x = \frac{1}{\sqrt{L}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x){\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\,{\mathrm{d}}x = \frac{1}{\sqrt{L}} \widehat{f}(k/L)

      en dus voor g(x) = {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi \xi x} f(x): \widehat{g}_k = \frac{1}{\sqrt{L}}\widehat{f}(k/L + \xi)

      \Rightarrow {\left\lVert f\right\rVert}_2 = {\left\lVert g\right\rVert}_2 = \frac{1}{L}\sum_{k\in{\mathbb{Z}}} {\left\lvert\widehat{f}(k/L + \xi)\right\rvert}^2 en integreer over \xi \in [0,1/L]

Fouriertransformatie als unitaire transformatie

Voor elke functie f \in L^2({\mathbb{R}}) kunnen we de Plancherel-Fourier constructie gebruiken:

  • benader f = \lim_{n\to \infty}f_n met f_n(x) = f(x) H({\left\lvert x\right\rvert}-n)
  • bereken \widehat{f_n}(\xi) = \int_{-n}^{+n} f(x) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x
  • er geldt {\left\lVert\widehat{f_n}\right\rVert}_2 ={\left\lVert f_n\right\rVert}_2 en dus is \widehat{f_n} een Cauchy-rij
  • definieer \widehat{f} = \lim_{n\to \infty} \widehat{f_n}

Eigenschappen (wegens continuïteit van norm/inwendig product)

  • Plancherel: {\left\lVert f\right\rVert} ={\left\lVert\widehat{f}\right\rVert} voor alle f \in L^2({\mathbb{R}}) (en dus {\hat{F}}:f \mapsto \widehat{f} is isometrisch)

  • Parseval: {\left\langle f,g\right\rangle} = {\left\langle\widehat{f},\widehat{g}\right\rangle} voor alle f,g \in L^2({\mathbb{R}})

  • “zwakke Parseval-relatie”: \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \widehat{g}(x) \,{\mathrm{d}}x = \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(x) g(x)\,{\mathrm{d}}x

  • {\hat{F}}^\dagger(f) = {\overline{{\hat{F}}({\overline{f}})}} en dus is {\hat{F}}^\dagger ook isometrisch

    \Rightarrow {\hat{F}} is unitaire transformatie L^2({\mathbb{R}}) \to L^2({\mathbb{R}}): {\hat{F}}^\dagger = {\hat{F}}^{-1}

Toepassing: Gaussische distributie

  • Gaussische distributie: f_\sigma(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} {\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}

    \Rightarrow \frac{{\mathrm{d}}\widehat{f}_\sigma}{{\mathrm{d}}\xi} (\xi) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} (-{\mathrm{i}}2\pi x) {\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2} - {\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x

    vanwege \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x}\left({\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2} - {\mathrm{i}}2\pi \xi x}\right) = -\left(\frac{x}{\sigma^2} +{\mathrm{i}}2\pi \xi\right) {\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2} - {\mathrm{i}}2\pi \xi x}

    \Rightarrow \frac{{\mathrm{d}}\widehat{f}_\sigma}{{\mathrm{d}}\xi} (\xi) = -4\pi^2 \sigma^2 \xi \widehat{f}_\sigma(\xi)

    in combinatie met \widehat{f}_\sigma(0) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\,{\mathrm{d}}x = 1 geldt dan \widehat{f}_\sigma(\xi) = {\mathrm{e}}^{-2\pi^2\sigma^2 \xi^2}

    \Rightarrow (f_{\sigma_1} \ast f_{\sigma_2})(x) = f_{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}(x)

Toepassing: karakteristieke functie

  • Voor willekeurige probabiliteitsdistributie f_X(x):

    • karakteristieke functie \varphi_X(\xi) = \langle {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi X}\rangle = \widehat{f}_X(x)
    • genereert momenta: \varphi_X^{(k)}(0) = (-{\mathrm{i}}2\pi)^k\langle X^k \rangle \implies \varphi_X(\xi) = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-{\mathrm{i}}2\pi)^k}{k!} \langle X^k \rangle \xi^k
    • Gaussische distributie met gemiddelde \mu: \varphi_{\mu,\sigma}(\xi) = {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi \mu - 2\pi^2\sigma^2 \xi^2} = 1 -{\mathrm{i}}2\pi \mu \xi - 2\pi^2 (\mu^2+\sigma^2) \xi^2 + \ldots

    beter via logaritme: \kappa_X(\xi) = \log \varphi_X(\xi) = \log \langle{{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}}\rangle

    • genereert cumulanten

    • \kappa_{\mu,\sigma}(\xi) = -{\mathrm{i}}2\pi \mu \xi - 2\pi^2\sigma^2 \xi^2

      \Rightarrow Gaussische distributie: unieke distributie waarvoor alle cumulanten hoger dan 2de orde verdwijnen

Toepassing: centrale limietstelling

Stel n stochastische variabelen X_1,, X_n, en hun gemiddelde \boldsymbol{X} = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n)

\begin{align} \varphi_X(\xi) = \langle{{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi X}\rangle} &= \int{\mathrm{d}}x_1 \int {\mathrm{d}}x_2 \ldots \int{\mathrm{d}}x_n {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi (x_1+x_2 + \ldots + x_n)/n} f_1(x_1) f_2(x_2) \ldots f_n(x_n)\nonumber\\ & = \varphi_{X_1}(\xi/n) \varphi_{X_2}(\xi/n) \ldots \varphi_{X_n}(\xi/n) . \end{align}

Als alle \varphi_{X_i}(x) gelijk, met \varphi_{X_i}(x) = \varphi(x) = {\mathrm{e}}^{\kappa(\xi)} = {\mathrm{e}}^{-2\pi {\mathrm{i}}\mu \xi - 2\pi^2 \sigma^2 \xi^2 + \mathcal{O}(\xi^3)}:

\begin{align} \kappa_X(\xi) = n \log(\varphi(\xi/n)) = n \kappa(\xi/n) = -2\pi {\mathrm{i}}\mu \xi - 2\pi^2 \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2 \xi^2 + \mathcal{O}(\xi^3/n^2). \end{align}

\Rightarrow Centrale limietstelling: gemiddelde van n identiek verdeelde stochastische variabelen volgt een Gaussische verdeling met gemiddelde \mu_X=\mu, \sigma_X = \sigma/\sqrt{n}, op correcties \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(1/n^2) en kleiner na.

Distributies

Distributies: motivatie

  • Motivatie komt uit de fysica (vb elektromagnetisme): brontermen zijn grillig op microscopische schaal maar de details hiervan zijn irrelevant voor observaties om macroscopische schaal

  • Distributietheorie: wiskundig rigorous formalisme om met concepten zoals “Dirac delta” (puntbron) en gelijkaardige constructies te werken. Twee ingrediënten:

    • bijzondere limiet of veralgemening van reguliere functies f met irrelevante microscopische details

    • macroscopische uitmiddeling \int f(x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x, met \varphi(x) een “brave” testfunctie die bijvoorbeeld het profiel van een fysisch meettoestel modelleert

    • T_f:\varphi \mapsto \int f(x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x is een lineaire functionaal van \varphi; kunnen we deze constructie veralgemenen naar lineaire functionalen T[\varphi] die strict gesproken niet als zulke integraal kunnen worden beschreven, maar wel dezelfde eigenschappen hebben?

      • continuïteit: \lim_{n\to \infty} T[\varphi_n(x)] = T[\varphi(x)] als \lim_{n\to \infty} \varphi_n(x)=\varphi(x)

        \Rightarrow hangt af van wat de limiet \lim_{n\to \infty} \varphi_n(x)=\varphi(x) betekent.

Testfuncties

Testfuncties: gladde functies met eventuele lokaliteitsvoorwaarden, gedefinieerd op gebied \Omega \subseteq {\mathbb{R}}^d

(hier meestal d=1 maar we hebben ook hoger-dimensionale veralgemening nodig)

3 families \mathcal{D}(\Omega) {\preccurlyeq}\mathcal{S}(\Omega) {\preccurlyeq}\mathcal{E}(\Omega) (samenvallend voor compacte \Omega):

  • \mathcal{E}(\Omega) = C^{\infty}(\Omega): oneindig afleidbare (=gladde) functies

  • \mathcal{D}(\Omega) = C^{\infty}_c(\Omega): gladde functies met compacte drager

  • \mathcal{S}(\Omega): Schwarz-ruimte: gladde en voldoende snel dalende functies, zodat \sup_{\boldsymbol{x} \in {\mathbb{R}}^d} {\left\lvert x_1^{k_1} \cdots x_d^{k_d} \frac{\partial^{l_1}\ }{\partial x_1^{l_1}}\cdots \frac{\partial^{l_d}\ }{\partial x_d^{l_d}} \varphi(\boldsymbol{x})\right\rvert} < \infty, voor alle k_1,\ldots,k_d,l_1, \ldots, l_d \in {\mathbb{N}}

    \Rightarrow voor \varphi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}): alle functies \varphi_{k,l}(x) = x^k \frac{\partial^l \varphi(x)}{\partial x^l} continu en in L^1({\mathbb{R}})

    \Rightarrow \widehat{\varphi_{k,l}}(\xi) bestaat, continu en gaat naar nul op oneindig, met \widehat{\varphi}_{k,l}(\xi) =\left(-\frac{1}{2\pi{\mathrm{i}}}\right)^k \left(2\pi{\mathrm{i}}\right)^l \frac{{\mathrm{d}}^k\ }{{\mathrm{d}}\xi^k}\left[ \xi^l \widehat{\varphi}(\xi)\right]

    \Rightarrow \widehat{\varphi} ook in \mathcal{S}({\mathbb{R}})

Testfuncties: voorbeelden

  • \varphi(x) \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}): bekendste voorbeeld is \varphi(x) = \exp(-x^2)

    • ook \varphi(x) = p(x) \exp(-x^2) voor arbitraire veelterm p(x)

  • \varphi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}): gladde functie en toch compacte drager?

    • glad \neq analytisch (in elk punt Taylorreeks met eindige convergentieradius)

    voorbeelden:

    • “bump”functies \rho_a(x) = \begin{cases} 0, & {\left\lvert x\right\rvert} > a\\ \exp\left(-\frac{a^2}{a^2 - x^2}\right),& {\left\lvert x\right\rvert} \leq a \end{cases}
    • (f \ast \rho_a)(x) met f een continue functie met compacte drager
    • f(x)\rho_a(x) met f een gladde functie (f \in \mathcal{E}({\mathbb{R}}))

Testfuncties en limieten

  • Distributies zijn continue lineaire functionalen op ruimte van testfuncties:

    • notatie: \mathcal{D}^\ast(\Omega), \mathcal{S}^\ast(\Omega), \mathcal{E}^\ast(\Omega)
    • we bekijken in eerste instantie \mathcal{D}^\ast(\Omega)
    • we focussen op \Omega = {\mathbb{R}}

  • Continuïteit van distributies zal afhangen van definitie van limiet van testfuncties: hoe strikter de definitie van convergentie, hoe gemakkelijker er zal voldaan zijn aan \lim_{n \to \infty}T[\varphi_n] = T[\lim_{n \to \infty}\varphi_n]

  • Convergentie in \mathcal{D}(\Omega): \lim_{n \to \infty}\varphi_n = \varphi als en slechts als

    • er bestaat een compacte deelverzameling K \subseteq \Omega zodat \mathrm{supp}(f_n) \subseteq K

    • uniforme convergentie van alle afgeleiden:

      \lim_{n\to\infty} \sup_{x \in \Omega} {\left\lvert\varphi_n^{(p)}(x) - \varphi^{(p)}(x)\right\rvert} = \lim_{n\to\infty} \sup_{x \in K} {\left\lvert\varphi_n^{(p)}(x) - \varphi^{(p)}(x)\right\rvert} = 0

  • Convergentie in \mathcal{S}(\Omega) (en \mathcal{E}(\Omega)): zie later \rightarrow zodanig dat \mathcal{E}^\ast(\Omega) {\preccurlyeq}\mathcal{S}^\ast(\Omega) {\preccurlyeq}\mathcal{D}^\ast(\Omega)

  • Dit soort definitie voor limiet komt niet uit norm of metriek

Reguliere en singuliere distributies

  • reguliere distributie: voor elke functie f die “lokaal integreerbaar is”: \int_K {\left\lvert f(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x bestaat voor elke compacte subset K \subset {\mathbb{R}}:

    T_f[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)\,{\mathrm{d}}x

    • Voorbeeld: T_H[\varphi] = \int_0^{+\infty} \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x

      \rightarrow Reguliere distributie horende bij H(x) = \theta(x) = \begin{cases} 0, & x < 0\\ 1, & x \geq 0 \end{cases}

    • Goed gedefinieerd:

      {\left\lvert T_f[\varphi]\right\rvert} \leq \int_{\Omega} {\left\lvert f(x)\right\rvert} {\left\lvert\varphi(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x= \int_{K} {\left\lvert f(x)\right\rvert} {\left\lvert\varphi(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x \leq \left(\sup_{x \in K} {\left\lvert\varphi(x)\right\rvert}\right)\left(\int_K {\left\lvert f(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x\right)

    • Continu

      {\left\lvert T_f[\varphi] - T_f(\varphi_n)\right\rvert} = {\left\lvert\int_\Omega f(x) (\varphi(x) - \varphi_n(x))\,{\mathrm{d}}x\right\rvert}\leq \int_K {\left\lvert f(x)\right\rvert} {\left\lvert\varphi(x) - \varphi_n(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x \qquad\leq \left(\sup_{x \in [a,b]} {\left\lvert\varphi(x) - \varphi_n(x)\right\rvert}\right) \left(\int_K {\left\lvert f(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x\right)

Reguliere en singuliere distributies

  • singuliere of anomale distributie: elke distributie die niet regulier is

    • Bekendste voorbeeld: \delta_a[\varphi] = \varphi(a) (Dirac delta)

    • Schrijven als \delta[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)\varphi(x)\,{\mathrm{d}}x?

      • Er bestaat geen functie \delta met deze eigenschap
      • “Veralgemeende functies” (vooral in Russische literatuur)

    • Analoog in hogere dimensies: \delta_{\boldsymbol{a}}[\varphi] = \int_{{\mathbb{R}}^d} \delta_{\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{x}) \varphi(\boldsymbol{x}) \,{\mathrm{d}}x = \varphi(\boldsymbol{a})

Elementaire bewerkingen met distributies

Bewerkingen op distributies: translatie, herschaling, afgeleide, Fourier …

  • eerst op reguliere distributies T_f: doe bewerking op f en vind manier om dit om te zetten naar bewerking op testfunctie \varphi
  • neem dit als een definitie die ook geldt voor singuliere distributies

Translatie en herschaling: ({\hat{\tau}}_a f)(x) = f(x-a) en ({\hat{\sigma}}_s f)(x) = f(s x)

  • {\hat{\tau}}_a T_f[\varphi] = \int_{{\mathbb{R}}} f(x-a) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \int_{{\mathbb{R}}} f(y) \varphi(x+a)\,{\mathrm{d}}y = T_f[{\hat{\tau}}_{-a} \varphi]
  • {\hat{\sigma}}_s T_f[\varphi] = \int_{{\mathbb{R}}} f(s x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}} \int_{{\mathbb{R}}} f(y) \varphi(y/s)\,{\mathrm{d}}y = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}} T_f[{\hat{\tau}}_{1/s} \varphi]

Daaruit volgt (veralgemening naar meer dimensies)

  • ({\hat{\tau}}_{\boldsymbol{a}} )\delta[\varphi] = (\tau_{-\boldsymbol{a}} \varphi)(\boldsymbol{0}) = \varphi(\boldsymbol{0}+\boldsymbol{a}) = \delta_{\boldsymbol{a}}[\varphi]

    \Rightarrow \int_{{\mathbb{R}}^d}\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})\varphi(\boldsymbol{x})\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x} =\int_{{\mathbb{R}}^d}\delta_{\boldsymbol{a}} (\boldsymbol{x})\varphi(\boldsymbol{x})\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x}

  • ({\hat{\sigma}}_s \delta)[\varphi] = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} \delta[{\hat{\sigma}}_{1/s}\varphi] = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} \varphi(\boldsymbol{0}/s) = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} \varphi(\boldsymbol{0}) = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} \delta[\varphi]

    \Rightarrow \int_{{\mathbb{R}}^d}\delta(s \boldsymbol{x})\varphi(\boldsymbol{x})\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x} = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} \int_{{\mathbb{R}}^d}\delta(\boldsymbol{x})\varphi(\boldsymbol{x})\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x}

Elementaire bewerkingen met distributies

  • Product van distributies? Niet gedefinieerd

  • Product van een distributie en een gladde functie:

    • voor reguliere distributie: (\psi T_f)[\varphi] = T_{\psi f}[\varphi] =\int_{{\mathbb{R}}^d} f(\boldsymbol{x}) \psi(\boldsymbol{x})\varphi(\boldsymbol{x}) \,{\mathrm{d}}^d\boldsymbol{x} = T_f[\psi \varphi]

    • algemene definitie: (\psi T)[\varphi] = T[\psi \varphi]

      inderdaad: voor \varphi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}) en \psi \in C^{\infty}({\mathbb{R}}): puntsgewijs product \psi \varphi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}})

    • voorbeeld: (\psi \delta)[\varphi] = \delta[\psi \varphi] = \psi(0)\varphi(0) = \psi(0) \delta[\varphi]

      \Rightarrow “\psi(x) \delta(x) = \psi(0) \delta(x)”

  • Afgeleide van een distributie:

    • voor reguliere distributie:

      T'_f[\varphi] = T_{f'}[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x)\varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = - \int f(x) \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x = -T_f[\varphi']

    • algemene definitie: T'[\varphi] = T[-\varphi']

Distributionele afgeleide: voorbeelden

  • f(x) = {\left\lvert x\right\rvert}: lokaal integreerbaar, niet afleidbaar voor x=0

    T'_f[\varphi]= T_f[-\varphi'] = -\int_{-\infty}^{+\infty} {\left\lvert x\right\rvert} \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x = +\int_{-\infty}^{0} x \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x - \int_{0}^{+\infty} x \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x = -\int_{-\infty}^{0} \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x + \int_{0}^{+\infty} \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \int_{-\infty}^{+\infty} (-1 + 2 H(x)) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = T_g[\varphi]

    \Rightarrow zelf reguliere distributie met g(x) = (-1 + 2 H(x)) (zwakke afgeleide van f(x))

  • f(x) = H(x):

    T'_H[\varphi] = -\int_0^{+\infty} \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x = \varphi(0) = \delta[\varphi]

    \Rightarrow distributionele afgeleide “H'(x) = \delta(x)”

  • \delta^{(n)}[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{(n)}(x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = (-1)^n \varphi^{(n)}(0)

  • Leibniz-regel voor distributionele afgeleide van product met gladde functie:

    \begin{align*} (\psi T)'[\varphi] &= - (\psi T)[\varphi'] = - T[\psi \varphi'] = -T[(\psi\varphi)' - \psi' \varphi] \nonumber\\ &= -T[(\psi\varphi)'] + T[\psi'\varphi] = T'[\psi\varphi] + (\psi' T)[\varphi] = (\psi T' + \psi' T)[\varphi]. \end{align*}

Uitgebreid voorbeeld: Cauchy hoofdwaarde

  • \log{\left\lvert x\right\rvert}: absoluut integreerbaar (ondanks divergentie), niet afleidbaar bij x=0

    voor x\neq 0: \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} \log{\left\lvert x\right\rvert} = \frac{1}{x}

  • distributionele afgeleide:

    \begin{align*} T_f'[\varphi] &= - \int_{-\infty}^{+\infty} \log{\left\lvert x\right\rvert} \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{{\left\lvert x\right\rvert}\geq \epsilon} \log{\left\lvert x\right\rvert} \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x\\ &= \lim_{\epsilon\to 0^+} \left[-\log(\epsilon) \varphi(-\epsilon) + \log(\epsilon) \varphi(+\epsilon) + \int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{\varphi(x)}{x}\,{\mathrm{d}}x + \int_{+\epsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,{\mathrm{d}}x\right] \end{align*}

    • tussenwaardestelling: \exists x \in [-\epsilon,+\epsilon] zodat \varphi(\epsilon) - \varphi(-\epsilon) = \varphi'(x) (2\epsilon)

    • {\left\lvert\varphi(\epsilon) - \varphi(-\epsilon)\right\rvert} \leq 2\epsilon \sup_{x} {\left\lvert\varphi'(x)\right\rvert} \Rightarrow \lim_{\epsilon \to 0} \log(\epsilon) \big(\varphi(\epsilon) - \varphi(-\epsilon)\big) = 0

    \begin{align} T_f'[\varphi] = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left(\int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{\varphi(x)}{x}\,{\mathrm{d}}x + \int_{+\epsilon}^{+\infty}\frac{\varphi(x)}{x}\,{\mathrm{d}}x\right) = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_\epsilon^{+\infty} \frac{\varphi(x) - \varphi(-x)}{x}\,{\mathrm{d}}x \end{align}

Uitgebreid voorbeeld: Cauchy hoofdwaarde

  • beschouw een functie g(x) op I=[a,c] met een eerste-orde pool in x=b \in I: g(x) = \frac{\varphi(x)}{x-b} met \varphi(x) glad voor x\in I:

    • integraal \int_a^c g(x)\,{\mathrm{d}}x bestaat niet op standaard (Riemann of Lebesgue) manier:

      daarvoor moet gelden dat beide limieten \lim_{\delta \to 0^+}\int_a^{b-\delta} g(x)\,{\mathrm{d}}x en \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{b+\epsilon}^{c} g(x)\,{\mathrm{d}}x onafhankelijk van elkaar bestaan

    • Cauchy hoofdwaarde:

      \mathop{\mathrm{Pv}}\int_{a}^{c} g(x)\,{\mathrm{d}}x = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left[\int_a^{b-\epsilon} g(x)\,{\mathrm{d}}x + \int_{b+\epsilon}^{c} g(x)\,{\mathrm{d}}x\right]

      bestaat wel

  • conclusie uit vorige slide:

    T'_f[\varphi] = \mathop{\mathrm{Pv}}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,{\mathrm{d}}x

    \Rightarrow distributionele afgeleide (\log{\left\lvert x\right\rvert})' = \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{x}

Coördinatentransformatie

  • Coördinatentransformatie: \boldsymbol{x} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}) met een glad isomorfisme \boldsymbol{g}:{\mathbb{R}}^d \to {\mathbb{R}}^d (en dus goed gedefinieerd inverse \boldsymbol{g}^{-1})

    • binnen integraal (uit H2): {\mathrm{d}}\boldsymbol{x} = {\left\lvert\det {\mathsf{J}}_{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{y})\right\rvert}\, {\mathrm{d}}\boldsymbol{y}

    • reguliere distributie geassocieerd aan f:{\mathbb{R}}^d \to {\mathbb{F}}

      \begin{align} (T_f \circ \boldsymbol{g})[\varphi] &= T_{f \circ g}[\varphi] = \int_{{\mathbb{R}}^d} f(g(\boldsymbol{y}))\varphi(\boldsymbol{y})\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{y} = \int_{{\mathbb{R}}^d} \frac{f(\boldsymbol{x}) \varphi\big(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{x})\big)}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{x}))\right\rvert}}\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x} \end{align}

    • algemene definitie: (T \circ \boldsymbol{g})[\varphi] = T[\varphi_{\boldsymbol{g}}] met \varphi_{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{x}))\right\rvert}} \varphi(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{x}))

Coördinatentransformatie: voorbeelden

  • \boldsymbol{x} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}) = s \boldsymbol{y}: (T \circ \boldsymbol{g})[\varphi] = ({\hat{\sigma}}_s T)[\varphi] = T[{\left\lvert s\right\rvert}^{-d} ({\hat{\sigma}}_{1/s}\varphi)] = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} T[{\hat{\sigma}}_{1/s} \varphi]

  • (\delta \circ \boldsymbol{g})[\varphi] = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_g(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{0}))\right\rvert}} \varphi(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{0})) = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_g(\boldsymbol{y}^\ast)\right\rvert}} \varphi(\boldsymbol{y}^\ast) = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_g(\boldsymbol{y}^\ast)\right\rvert}} \delta_{\boldsymbol{y}^\ast}[\varphi]

    \Rightarrow \delta \circ \boldsymbol{g} = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_g(\boldsymbol{y}^\ast)\right\rvert}} \delta_{\boldsymbol{y}^\ast} = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_g(\boldsymbol{y})\right\rvert}}\delta_{\boldsymbol{y}^\ast} met \boldsymbol{y}^\ast het nulpunt van \boldsymbol{g}

  • uitbreiding voor niet-monotone functie x=g(y) in één-dimensie:

    • splits g in meerdere monotone stukken

    • \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(g(x)) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \sum_{i} \frac{1}{{\left\lvert g'(y^\ast_i)\right\rvert}}\varphi(y^\ast_i)

      \Rightarrow \delta(g(x)) = \sum_{i} \frac{1}{{\left\lvert g'(y^\ast_i)\right\rvert}} \delta(y - y^\ast_i) met y^\ast_i de verschillende nulpunten van g

  • poolcoördinaten: x = r \cos \theta, y = r \sin \theta \rightarrow \det {\mathsf{J}}(r,\theta) = r

    \delta( \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0) = \delta((x-x_0) \boldsymbol{e}_x + (y-y_0) \boldsymbol{e}_y ) = \delta(x-x_0) \delta(y-y_0)

    \delta( (r\cos \theta - x_0) \boldsymbol{e}_x + (r \sin \theta - y_0)\boldsymbol{e}_y) = \frac{1}{r} \delta(r-r_0) \delta(\theta - \theta_0)=\frac{1}{r_0} \delta(r-r_0) \delta(\theta - \theta_0)

Convergentie van rijen van distributies

  • een rij distributies (T_n \in \mathcal{D}^\ast(\Omega))_{n\in{\mathbb{N}}_0} convergeert naar een distributie T\in \mathcal{D}^\ast(\Omega) als voor alle \varphi \in \mathcal{D}(\Omega):

    \lim_{n\to \infty} T_n[\varphi] = T[\varphi] (limiet van rij getallen)

    • “weak-\ast convergence”: heel “zwakke” vorm van convergentie

      (zie onderstaand voorbeeld)

    • eigenschappen:

      • \lim_{n\to\infty} T_n' = T'
      • \lim_{n\to \infty} \psi T_n = \psi T

    • voorbeeld: T_{f_n}[\varphi] = n^3 \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}n x} \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}n x}}{n} \varphi^{(4)}(x)\,{\mathrm{d}}x

      \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} T_{f_n} = 0

      \Rightarrow “\lim_{n \to +\infty} n^3 {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}n x} = 0” (geldt voor geen enkele vorm van convergentie)

Sokhotski-Plemelj formule

  • distributionele limiet \lim_{s\to 0^+} \frac{1}{x \pm {\mathrm{i}}s} = \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{x} \mp {\mathrm{i}}\pi \delta(x)

  • bewijs:

    • voor z=r {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\theta} met \theta \in (-\pi,+\pi) (voor alle z \in {\mathbb{C}}\setminus {\mathbb{R}}_{\leq 0})

      complex logaritme \log(z) = \log(r) + {\mathrm{i}}\theta

    • \lim_{s\to 0^+} \log(x \pm {\mathrm{i}}s) = \log {\left\lvert x\right\rvert} \pm {\mathrm{i}}\pi H(-x)

    • \lim_{s\to 0^+} \log(x \pm {\mathrm{i}}s)' = \lim_{s\to 0^+} \frac{1}{x \pm {\mathrm{i}}s} = (\log{\left\lvert x\right\rvert} \pm {\mathrm{i}}\pi H(-x))'

Dirac-rijen

Dirac-rij: een rij functies (f_n)_{n \in {\mathbb{N}}_0} zodat distributionele limiet \lim_{n\to\infty} T_{f_n} = \delta

  • Stelling: gegeven f \in L^1({\mathbb{R}}^d) zodat f(\boldsymbol{x}) \geq 0 voor alle \boldsymbol{x}\in{\mathbb{R}}^d en \int_{{\mathbb{R}}^d} f(\boldsymbol{x}) \,{\mathrm{d}}x = 1

    \Rightarrow f_n = n^d {\hat{\sigma}}_n f of dus f_n(\boldsymbol{x}) = n^d f(n\boldsymbol{x}) is Dirac-rij (zonder bewijs)

  • Vele voorbeelden die hier en daar in de fysica opduiken:

    • f(x) = \begin{cases} 1,&{\left\lvert x\right\rvert} \leq 1/2\\ 0,&{\left\lvert x\right\rvert} > 1/2 \end{cases}\quad \implies \quad \delta(x) = \lim_{n\to\infty} \begin{cases} n,&{\left\lvert x\right\rvert}\leq \frac{1}{2n}\\ 0, &{\left\lvert x\right\rvert}> \frac{1}{2n} \end{cases}

    • f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\quad\implies\quad \delta(x)=\lim_{s\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{2\pi} s}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2s^2}}

    • f(x) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2}\quad\implies\quad\delta(x)=\lim_{s \to 0^+} \frac{1}{\pi} \frac{s}{x^2+s^2} (Breit-Wigner formule)

Dirac-rijen en Fouriertransformatie

  • “bewijs” van inverse Fourier-transformatie:

    • voor \varphi(x) \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}) en \widehat{\varphi}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(y) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi y}\,{\mathrm{d}}y

    • regulariseer inverse Fouriertransformatie

      \begin{align*} \lim_{s\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x - s{\left\lvert\xi\right\rvert}} \widehat{\varphi}(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi = \lim_{s\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi (x-y) \xi - s {\left\lvert\xi\right\rvert}} {\mathrm{d}}\xi\right] \varphi(y)\,{\mathrm{d}}y. \end{align*}

    • Hierin geldt inderdaad

      \begin{align} \lim_{s\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi \xi x - s {\left\lvert\xi\right\rvert}}\,{\mathrm{d}}\xi &= \lim_{s\to 0^+} \left[ \int_{-\infty}^{0} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi \xi x + s \xi}\,{\mathrm{d}}\xi + \int_{0}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi \xi x - s\xi}\,{\mathrm{d}}\xi\right]\nonumber\\ &= \lim_{s\to 0^+} \left[ \frac{1}{{\mathrm{i}}(2\pi x) + s} - \frac{1}{{\mathrm{i}}(2\pi x) - s}\right]\nonumber\\ &= \lim_{s\to 0^+} \left[\frac{2s}{(2\pi x)^2 + s^2}\right] = 2\pi \delta(2\pi x) = \delta(x) \end{align}

      via Breit-Wigner (laatste lijn) of Sokhotski-Plemelj (op termen uit voorlaatste lijn)

Dirac-rijen en Fouriertransformatie

Bemerk: voor regularisatie in Fourier-Plancherel constructie:

  • \lim_{n \to \infty} \int_{-n}^{+n} \widehat{\varphi}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}\xi = \lim_{n\to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(y) \left[\int_{-n}^{+n} {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi (x-y)}\,{\mathrm{d}}\xi\right]\,{\mathrm{d}}y

  • kern van de integraal gegeven door \begin{align*} \int_{-n}^{+n} {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi (x-y)}\,{\mathrm{d}}\xi = \frac{{\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi n (x-y)} - {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi n (x-y)}}{2\pi {\mathrm{i}}(x-y)} = \frac{\sin\left[2\pi n (x-y)\right]}{\pi (x-y)} \end{align*}

    \Rightarrow is f_n(x) = \frac{\sin(2\pi n x)}{\pi x} = n \frac{\sin(2\pi n x)}{\pi n x} een Dirac-rij?

    Volgt niet uit algemeen resultaat want niet voldaan aan f_n(x) \geq 0

  • algemeen resultaat (zonder bewijs):

    • f_n(x) = \frac{1}{\pi} \frac{ \sin( nx)}{x} = \frac{n}{\pi} \mathop{\mathrm{sinc}}(n x) is Dirac-rij

    • \Rightarrow \forall s>0: \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \frac{ \sin( n sx)}{x} = s \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \frac{ \sin( n sx)}{sx} = s \delta(s x) = \delta(x)

Reeksen van distributies

  • Herhaling convergentie Fourierreeks f_n(x) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k=-n}^{+n} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}

    • als {\left\lVert f\right\rVert}_2 = \sum_{k\in{\mathbb{Z}}} {\left\lvert\widehat{f}_k\right\rvert}^2 < \infty: {\left\lvert f\right\rvert}_k < \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(1/k^{1/2+\epsilon}) voor een \epsilon>0

      \lim_{n\to \infty} {\left\lVert f_n - f\right\rVert}_2 = 0

    • als \sum_{k\in{\mathbb{Z}}} {\left\lvert\widehat{f}_k\right\rvert} < \infty: absoluut sommeerbaar: {\left\lvert f\right\rvert}_k < \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(1/k^{1+\epsilon}) voor een \epsilon>0

      \Rightarrow uniforme convergentie \lim_{n\to \infty} \sup_{x \in [0,L]} {\left\lvert f_n(x) - f(x)\right\rvert} = 0

      (continuïteit van f(x) is noodzakelijke voorwaarde)

  • voorbeeld: zaagtandfunctie (periodieke extensie van f(x)=x-\pi op [0,2\pi] naar {\mathbb{R}})

    f(x) = x-\pi - 2\pi \left\lfloor \frac{x}{2\pi} \right\rfloor =(x-\pi) + \sum_{n=-\infty}^{0} 2\pi H(2\pi n - x) - \sum_{n=1}^{+\infty} 2\pi H(x - 2\pi n)

    \widehat{f}_0 = 0 en voor k \neq 0:

    \widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{2\pi} (x-\pi) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}k x}\,{\mathrm{d}}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\left[\frac{(x-\pi){\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}k x}}{-{\mathrm{i}}k}\right]_{0}^{2\pi} +\frac{1}{{\mathrm{i}}k} \int_{0}^{2\pi} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}k x}\,{\mathrm{d}}x\right) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{2 \pi}{{\mathrm{i}}k}

    \Rightarrow \sum_{\substack{k \in {\mathbb{Z}}\\ k\neq 0}} -\frac{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k x}}{{\mathrm{i}}k} = -\sum_{k =1}^{+\infty} \frac{2\sin(k x)}{k} convergeert in 2-norm maar niet uniform (Gibbs-fenomeen)

Reeksen van distributies

f(x) = x-\pi - 2\pi \left\lfloor \frac{x}{2\pi} \right\rfloor =(x-\pi) + \sum_{n=-\infty}^{0} 2\pi H(2\pi n - x) - \sum_{n=1}^{+\infty} 2\pi H(x - 2\pi n)

  • primitieve:

    F(x) = \int_{\pi}^{x} f(x)\,{\mathrm{d}}x = \frac{1}{2}\left(x-\pi - 2\pi \left\lfloor \frac{x}{2\pi}\right\rfloor\right)^2 = 2 \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos(kx)-(-1)^k}{k^2}

    \Rightarrow uniforme convergentie

  • afgeleide: f is afleidbaar voor x \neq n 2\pi met f'(x) = 1

  • distributionele afgeleide: f'(x) = 1 - \sum_{n\in {\mathbb{Z}}} 2\pi \delta(x - n 2\pi) = - \sum_{\substack{k=-\infty \\ k\neq 0}}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k x} \Rightarrow 2\pi\sum_{n\in {\mathbb{Z}}} \delta(x - n 2\pi) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k x} (Dirac’s kam-distributie)

  • “bewijst” convergentie Fourierreeks voor \varphi \in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}([0,2\pi])=\mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}([0,2\pi]) = C^{\infty}([0,2\pi]):

    \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{\varphi}_k {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k x} = \frac{1}{2\pi} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \left[\int_{0}^{2\pi} \varphi(y) {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k (x - y)}\,{\mathrm{d}}y \right] \qquad= \int_{0}^{2\pi} \varphi(y) \sum_{n\in {\mathbb{Z}}} \delta(x - y - n 2\pi)\,{\mathrm{d}}y = \varphi(x)

  • polynomiaal stijgende Fourierreeks: \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (ik)^p {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k x} = 2\pi \sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \delta^{(p)}(x - 2\pi n)

Fouriertransformatie van distributies

  • Reguliere distributie met f \in L^1({\mathbb{R}}) {\preccurlyeq}L^1_{\text{loc}}({\mathbb{R}}):

    \begin{align*} \widehat{T}_f[\varphi] = T_{\widehat{f}}[\varphi] &= \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(y) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2 \pi x y} \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x \,{\mathrm{d}}y \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \widehat{\varphi}(y)\,{\mathrm{d}}y = T_f[\widehat{\varphi}] \end{align*}

  • Algemene definitie?

    • enkel als \widehat{\varphi} ook een testfunctie is
    • voor \varphi(x) met compacte drager is \widehat{\varphi}(\xi) analytisch en kan het geen compacte drager hebben: \widehat{\varphi}\not\in \mathcal{D}({\mathbb{R}})

  • Voor \varphi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}): \widehat{\varphi}\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}) \Rightarrow we beperken ons tot distributies in \mathcal{S}^\ast({\mathbb{R}})

  • We moeten nog bespreken wat convergentie \lim_{n\to \infty} \varphi_n = \varphi in \mathcal{S}({\mathbb{R}}) betekent:

    \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in {\mathbb{R}}} {\left\lvert x^k \frac{{\mathrm{d}}^l\ }{{\mathrm{d}}x^l} (\varphi_n(x) - \varphi(x)) \right\rvert} = 0 voor alle k, l \in {\mathbb{N}}

Getemperde distributies

  • Met grotere ruimte van testfuncties en bijbehorende convergentiemaat:

    kleinere verzameling continue lineaire functionalen \mathcal{S}^\ast({\mathbb{R}}) {\preccurlyeq}\mathcal{D}^\ast({\mathbb{R}})

  • Welke distributies zitten er in \mathcal{S}^\ast({\mathbb{R}})?

    • reguliere distributies T_f met f die niet “te snel” stijgt:

      • er moet gelden, voor grote {\left\lvert x\right\rvert}: f(x) < \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}({\left\lvert x\right\rvert}^p) voor een bepaalde p \in {\mathbb{N}}

      • f(x) = \exp(x) of f(x) =\exp(x^2) definieert geen reguliere distributie in \mathcal{S}^\ast({\mathbb{R}})

    • singuliere distributies:

      • bevat Dirac delta en zijn afgeleiden
      • bevat \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{x} (als afgeleide van \log {\left\lvert x\right\rvert} die trager dan elke macht stijgt)

\rightarrow getemperde distributies (niet te snel stijgend)

  • Algemene definitie: \widehat{T}[\varphi] = T[\widehat{\varphi}] voor T \in \mathcal{S}^\ast({\mathbb{R}}) en \varphi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}})

Fouriertransformatie van getemperde distributies

Voorbeelden:

  • \widehat{\delta_a}[\varphi] = \delta_a[\widehat{\varphi}] = \widehat{\varphi}(a) = T_{{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi a x}}[\varphi] \Rightarrow “\widehat{\delta}_a(x) = {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi a x}” en “\widehat{\delta}(x) = 1”

  • \widehat{T'} = J \widehat{T} met J:\xi \mapsto {\mathrm{i}}2\pi \xi en dus \widehat{H'} = \widehat{\delta} = 1 = J \widehat{H}

    • daaruit volgt niet dat \widehat{H}(\xi) = 1/({\mathrm{i}}2\pi \xi)

    • als (distributionele) limiet: H(x) = \lim_{s \to 0^+} {\mathrm{e}}^{-s x} H(x)

      \begin{align} \widehat{H}(\xi) &= \lim_{s\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-s x} H(x) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x = \lim_{s\to 0^+} \int_0^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-(s + {\mathrm{i}}2\pi \xi) x}\,{\mathrm{d}}x \nonumber\\ &= \lim_{s\to 0^+} \frac{1}{s + {\mathrm{i}}2\pi \xi} = -{\mathrm{i}}\lim_{s\to 0^+} \frac{1}{2\pi \xi - {\mathrm{i}}s} = -\frac{{\mathrm{i}}}{2\pi} \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{\xi} + \frac{1}{2} \delta(\xi). \end{align}

      (compatibel met (J \widehat{H})(\xi)=1 want \xi \delta(\xi) = 0 en \xi \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{\xi} = 1)

  • \widehat{\mathrm{sgn}}(\xi) = \frac{1}{2}(\widehat{H}(x) - \widehat{H}(-x)) = -\frac{{\mathrm{i}}}{2\pi} \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{x} (gevolg van voorgaande)

Poisson sommatieformule

  • voor \varphi \in \mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}({\mathbb{R}}) (gladde functie die sneller dan elke macht van {\left\lvert x\right\rvert} daalt) geldt \sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \varphi(n) = \sum_{k\ \in {\mathbb{Z}}} \widehat{\varphi}(k)

  • bewijs:

    • start van Dirac’s kamdistributie: \sum_{n\in{\mathbb{Z}}} \delta(x - n) = \sum_{k\in {\mathbb{Z}}} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi k x}

    • herken \widehat{\delta_k}(\xi) = {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi k \xi} \Rightarrow \sum_{n\in{\mathbb{Z}}} \delta(x - n) = \sum_{k\in {\mathbb{Z}}} \widehat{\delta_k}(x)

      of dus \sum_{n\in {\mathbb{Z}}} \delta_n = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{\delta}_k

    • toegepast op testfunctie:

      \sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \varphi(n)= \sum_{n\in {\mathbb{Z}}} \delta_n[\varphi] = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{\delta}_k[\varphi] = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{\varphi}(k)

  • toegepast op Gaussische distributie: \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \sum_{n\in {\mathbb{Z}}} {\mathrm{e}}^{-\frac{n^2}{2\sigma^2}} = \sum_{k\in {\mathbb{Z}}} {\mathrm{e}}^{-2 \pi^2 \sigma^2 k^2}

    als ene som snel convergeert (\sigma groot of klein) convergeert andere traag

Distributies en convoluties?

Voor reguliere distributies geassocieerd aan f,g \in L^1({\mathbb{R}}): f \ast g \in L^1({\mathbb{R}})

\begin{align*} (T_f \ast T_g)[\varphi] &= T_{f \ast g}[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} (f \ast g)(x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{d}}y \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{d}}x f(x-y) g(y) \varphi(x) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{d}}y \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{d}}x f(x) g(y) \varphi(x+y)\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} g(y) T_f[{\hat{\tau}}_{-y} \varphi] = T_g[\psi]\ \text{with}\ \psi(y) = T_f[{\hat{\tau}}_{-y} \varphi] = ({\hat{\tau}}_y T_f)[\varphi]\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) T_g[{\hat{\tau}}_{-x} \varphi] = T_f[\chi]\ \text{with}\ \chi(x) = T_g[{\hat{\tau}}_{-x} \varphi] = ({\hat{\tau}}_x T_g)[\varphi] \end{align*}

\rightarrow algemene definitie? vereist dat \psi of \chi nog steeds een testfunctie is

  • f(x) = x, \varphi(x) = {\mathrm{e}}^{-x^2} \in \mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}({\mathbb{R}}): \psi(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} x {\mathrm{e}}^{-(x+y)^2}\,{\mathrm{d}}x = -y \sqrt{\pi}

    \rightarrow geen testfunctie in \mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}({\mathbb{R}})

Compacte distributies

  • “Drager van een distributie” T: gesloten verzameling K \subseteq \Omega zodat T[\varphi] =0 voor alle \varphi met \mathrm{supp}(\varphi) \subseteq \Omega \setminus K

    • reguliere distributie: \mathrm{supp}(T_f) = \mathrm{supp}(f)
    • \mathrm{supp}(\delta^{(n)}) = \{0\}
    • \mathrm{supp}(\mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{x}) = {\mathbb{R}}

  • als K compacte deelverzameling is van \Omega: compacte distributie

    (compacte distributies komen overeen met \mathcal{E}^\ast(\Omega))

  • voor S een compacte distributie en \varphi een testfunctie in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}({\mathbb{R}}) of \mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}({\mathbb{R}}) is \psi:y \mapsto ({\hat{\tau}}_y S)[\varphi] opnieuw een testfunctie in D({\mathbb{R}}) of \mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}({\mathbb{R}}) (zonder bewijs)

  • Convoluties kunnen worden gedefinieerd tussen 1 (getemperde) distributie T \in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}^{\ast}({\mathbb{R}}) of \mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}^\ast({\mathbb{R}}) en 1 compacte distributie S als (S \ast T)[\varphi] = T[ y \mapsto ({\hat{\tau}}_y S)[\varphi]]

Convoluties van distributies: voorbeelden

  • (\delta_a \ast T)[\varphi] = T[y \mapsto ({\hat{\tau}}_y\delta_a)[\varphi]] = T[y\mapsto \delta_{a+y}[\varphi]] = T[y \mapsto \varphi(y+a)] \qquad= T[{\hat{\tau}}_{-a} \varphi] = ({\hat{\tau}}_{a} T)[\varphi]

    \Rightarrow \delta is “neutraal element” voor convolutie

  • (\delta' \ast T)[\varphi] = T[y \mapsto \delta'_y[\varphi]] = T[y\mapsto (-\varphi'(y))] = - T[\varphi'] = T'[\varphi]

    en dus \delta^{(n)} \ast T = T^{(n)}

  • niet noodzakelijk associatief:

    1 \ast (\delta' \ast H) = 1 \ast H' = 1 \ast \delta = 1 versus (1 \ast \delta') \ast H = 0 \ast H = 0

  • lineair systeem: u = {\hat{A}} \varphi met {\hat{A}} een lineaire operator op \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}({\mathbb{R}}) die bovendien translatie-invariant is: {\hat{\tau}}_a {\hat{A}} = {\hat{A}}{\hat{\tau}}_a

    • \varphi(t) = (\varphi \ast \delta)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(s) \delta(t - s) \,{\mathrm{d}}s
    • u(t) = ({\hat{A}} \varphi)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(s) ({\hat{A}} \delta_s) (t) \,{\mathrm{d}}s = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) ({\hat{A}} {\hat{\tau}}_s \delta)(t) \,{\mathrm{d}}s \qquad = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) ({\hat{\tau}}_s {\hat{A}} \delta)(t) \,{\mathrm{d}}s = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) h(t - s) \,{\mathrm{d}}s

    \Rightarrow h(t)={\hat{A}}\delta(t) is impulsrespons

    (komt overeen met Greense functie als {\hat{A}}={\hat{G}} of dus {\hat{L}} x = u)

Fourieranalyse herbekeken

Types Fouriertransformaties

Tot dusver: Fouriertransformaties gedefinieerd voor functies f met domein

  • \{0,\ldots,N-1\} = {\mathbb{Z}}/ (N {\mathbb{Z}}) \cong {\mathbb{Z}}_N: discrete Fouriertransfomratie (DFT) in H6
  • [0,L] \cong {\mathbb{R}}/(L {\mathbb{Z}}) \cong \mathbb{T}^{(1)}_L: Fourierreeks (H7)
  • {\mathbb{R}}: Fouriertransformatie (H9)

We kunnen ook een Fouriertransformatie definiëren voor functies f met domein

  • {\mathbb{Z}}: discrete “tijd” Fouriertransformatie (DTFT):

    \begin{equation} \widehat{f}(\xi) = \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} f_j {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi j} \quad\leftrightarrow\quad f_j = \int_{0}^{1} \widehat{f}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi j}\,{\mathrm{d}}\xi \end{equation}

    met frequentie \xi \in [0,1] of, meer gebruikelijk, met hoekfrequentie \omega \in [-\pi,+\pi]

    \begin{equation} \widehat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} f_j {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\omega j} \quad\leftrightarrow\quad f_j = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{2\pi} \widehat{f}(\omega) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\omega j}\,{\mathrm{d}}\omega \end{equation}

Types Fouriertransformaties

  • Convergentie van DTFT is volledig analoog aan Fourierreeks (beide zijn gerelateerd via omwisselen interpretatie van origineel en Fourierbeeld)

  • Samengevat:

\mathop{\mathrm{dom}}(f) Voorwaartse transformatie Inverse transformatie \mathop{\mathrm{dom}}(\widehat{f})
{\mathbb{Z}}/(N{\mathbb{Z}}) \widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j \in {\mathbb{Z}}_N} f_j {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{N} k j} f_j= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}_N} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{N} k j} {\mathbb{Z}}/(N{\mathbb{Z}})
{\mathbb{R}}/ (L {\mathbb{Z}}) \widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{L}} \int_{\mathbb{T}_L} f(x) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\,{\mathrm{d}}x f(x)= \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x} {\mathbb{Z}}
{\mathbb{Z}} \widehat{f}(\xi) = \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} f_j {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi j} f_j = \int_{\mathbb{T}_1} \widehat{f}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi j}\,{\mathrm{d}}\xi {\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}
{\mathbb{R}} \widehat{f}(\xi) = \int_{{\mathbb{R}}} f(x) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x f(x) = \int_{{\mathbb{R}}} \widehat{f}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}\xi {\mathbb{R}}

Fouriertransformaties relateren

  • functie f met domein [0,L] heeft Fourierreeks f(x) = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k\in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}

  • twee mogelijke uitbreidingen naar een functie op {\mathbb{R}}:

    • f^{\text{(triv)}}(x) = \begin{cases} f(x), &x \in [0,L]\\ 0,& x \not\in [0,L]\end{cases} \quad \Rightarrow \widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{L}} \widehat{f}^{\text{(triv)}}(k/L) voor alle k \in {\mathbb{Z}}.

    • f^{\text{(per)}}(x) = f(x \mod L) (dit is wat de Fourierreeks vanzelf doet)

      \Rightarrow f^{\text{(per)}} is niet absoluut integreerbaar en heeft dus geen Fouriertransformatie in de klassieke zin

      \Rightarrow in de distributionele zin:

      \widehat{f}^{\text{(per)}}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-i 2\pi \left(\xi - \frac{k}{L} \right) x}\,{\mathrm{d}}x \qquad = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k \delta\left(\xi - \frac{k}{L}\right) = \frac{1}{L} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}^{\text{(triv)}}(k/L) \delta\left(\xi-\frac{k}{L}\right)

Fouriertransformaties relateren

  • analoog voor f met domein {\mathbb{Z}}_N en zijn uitbreiding naar {\mathbb{Z}}

    • discrete Fouriertransformatie: f_j = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k \in {\mathbb{Z}}_N} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{N}k j}

    • Relatie tussen DFT van f en DTFT van triviale uitbreiding naar {\mathbb{Z}}: f^{(\text{triv})}_j = 0 voor j \not \in \{0,\ldots,N-1\}

      \widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{N}} \widehat{f}^{\text{(triv)}}(k/N),\quad \forall k \in {\mathbb{Z}}_{N}

    • Relatie met DTFT van periodieke uitbreiding naar {\mathbb{Z}}:

      \begin{align} \widehat{f}^{\text{(per)}}(\xi) &= \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k \in {\mathbb{Z}}_N} \widehat{f}_k \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \left(\xi - \frac{k}{N}\right)j} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k \in {\mathbb{Z}}_N} \widehat{f}_k \sum_{m \in {\mathbb{Z}}} \delta\left(\xi - \frac{k}{N} - m\right) \\ &= \frac{1}{N}\sum_{k \in {\mathbb{Z}}_N} \widehat{f}^{\text{(triv)}}(k/N) \sum_{m \in {\mathbb{Z}}} \delta\left(\xi - \frac{k}{N} - m\right) \end{align}

      \rightarrow DTFT beeld \widehat{f}^{\text{(per)}}(\xi) is zelf periodiek met periode 1:

      daarvoor zorgt de som over n (Dirac’s kamdistributie)

Sampling en Shannon-Nyquisttheorema

Beschouw functie f(x) voor x \in {\mathbb{R}}, en zijn samples F_j = f(j \epsilon) voor j \in {\mathbb{Z}}

  • DTFT van samples F_j kunnen gerelateerd worden aan FT van f(x):

    \begin{align*} \widehat{F}(\chi) &= \sum_{j\in {\mathbb{Z}}} F_j {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \chi j} = \sum_{j\in {\mathbb{Z}}} \left(\int_{{\mathbb{R}}} \widehat{f}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x_j}\,{\mathrm{d}}\xi\right) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \chi j} \\ &= \int_{{\mathbb{R}}} \widehat{f}(\xi) \left[\sum_{j\in {\mathbb{Z}}} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi (\xi \epsilon-\chi)j}\right]\,{\mathrm{d}}\xi = \int_{{\mathbb{R}}} \widehat{f}(\xi) \left[\sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \delta(\xi \epsilon - \chi -n )\right]\,{\mathrm{d}}\xi \\ &= \sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \frac{1}{\epsilon} \widehat{f}\left(\frac{\chi}{\epsilon} - \frac{n}{\epsilon}\right) \end{align*}

Sampling en Shannon-Nyquisttheorema

  • f heeft een gelimiteerde brandbreedte heeft met maximale frequentie \Xi als \mathrm{supp}(f) \subseteq [-\Xi,+\Xi]

  • als f een gelimiteerde bandbreedte heeft met maximale frequentie \Xi, en gesampled wordt met een samplefrequentie 1/\epsilon > 2 \Xi (Nyquistfrequentie), dan kan \widehat{f} exact gereconstrueerd worden uit de DTFT \widehat{F} van de samples F_j=f(j\epsilon) via \begin{equation} \widehat{f}(\xi) = \begin{cases} \epsilon \widehat{F}(\epsilon\xi),&{\left\lvert\xi\right\rvert} \leq \frac{1}{2\epsilon}\\ 0,&{\left\lvert\xi\right\rvert} > \frac{1}{2\epsilon} \end{cases}.\label{eq:fourier:reconstructftlimited} \end{equation}

  • als we een functie f op {\mathbb{R}} uit zijn samples F_j = f(j \epsilon) reconstrueren via de Whittaker–Shannon interpolatieformule:

    f^{\text{(rec)}}(x) = \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} F_j \mathop{\mathrm{sinc}}\left(\pi \frac{x - j\epsilon}{\epsilon}\right) (met \mathop{\mathrm{sinc}}(x) = \sin(x)/x)

    dan geldt \widehat{f}^{\text{(rec)}}(\xi) = H\left(\frac{1}{2\epsilon}-{\left\lvert\xi\right\rvert}\right) \sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}\left(\xi - \frac{n}{\epsilon}\right)

    \rightarrow de reconstructie is exact als f bandgelimiteerd is met frequentie \Xi < \frac{1}{2\epsilon}

    \rightarrow indien f niet bandgelimiteerd: aliasing / moirépatronen

Translaties

  • voor functies op {\mathbb{R}} of {\mathbb{Z}}:

    • ({\hat{\tau}}_a f)(x) = f(x-a) of ({\hat{\tau}}_m f)_j = f_{j-m}

    • translaties vormen een Abelse groep: ({\mathbb{R}},+) of ({\mathbb{Z}},+)

      {\hat{\tau}}_0 = {\hat{1}}, {\hat{\tau}}_a {\hat{\tau}}_b = {\hat{\tau}}_b {\hat{\tau}}_a = {\hat{\tau}}_{a+b}, {\hat{\tau}}_a {\hat{\tau}}_{-a} = {\hat{1}}

    • voor functies op {\mathbb{R}}/(L{\mathbb{Z}}) of {\mathbb{Z}}/(N{\mathbb{Z}})\cong {\mathbb{Z}}_N: bijkomende voorwaarde:

      {\hat{\tau}}_L = {\hat{1}} of {\hat{\tau}}_N = {\hat{1}}

  • translatie-invariante operatoren: {\hat{A}}{\hat{\tau}} = {\hat{\tau}}{\hat{A}}
    • op functies op \{0,\ldots,N-1\} \cong {\mathbb{Z}}_N: circulante matrices
    • op functies op {\mathbb{R}} of [0,L] \cong {\mathbb{R}}/(L{\mathbb{Z}}):
      • afgeleide operator {\hat{D}}: ({\hat{D}}{\hat{\tau}}_a f)(x) = \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} f(x-a) = f'(x-a) = ({\hat{\tau}}_a f')(x)= ({\hat{\tau}}_a {\hat{D}} f)(x)
      • integraaloperator {\hat{A}}: als integraalkern van de vorm A(x,y) = a(x-y) is ({\hat{A}}f)(x) = \int A(x,y)f(y)\,{\mathrm{d}}y = \int a(x-y) f(y)\,{\mathrm{d}}y = (a \ast f)(x)

Eigenfuncties van translaties

  • {\left[{\hat{A}},{\hat{\tau}}_a\right]}={\hat{0}} en alle {\left[{\hat{\tau}}_a,{\hat{\tau}}_b\right]} = {\hat{0}} (abelse groep)

    \rightarrow hebben \tau_a voor alle a en {\hat{A}} gezamelijke eigenfuncties? zijn ze gelijktijdig “diagonaliseerbaar”?

  • ({\hat{\tau}}_a f)(x) = f(x-a) = \lambda_a f(x):

    • zonder voorwaarde op de functieruimte: f(x) = \exp(s x) en \lambda_a = \exp(s a) voor alle s \in {\mathbb{C}} (startpunt voor Laplace transformatie: zie cursus Complexe Analyse)

    • voor functies op [0,L] \cong {\mathbb{R}}/(L{\mathbb{Z}}):

      {\hat{\tau}}_L = {\hat{1}}\implies \exp(s L) = 1 \implies s = {\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L}k voor k \in {\mathbb{Z}}

      • eigenfuncties \exp({\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x) vormen basis als we ons beperken tot L^2([0,L])

    • voor L^2({\mathbb{R}}):

      • de functies \psi_s(x) = \exp(s x) zijn nooit normaliseerbaar en dus niet in L^2({\mathbb{R}})
      • de functies \exp({\mathrm{i}}2\pi \xi x - \epsilon {\left\lvert x\right\rvert}) zitten (voor \epsilon>0) in L^2({\mathbb{R}}) en vormen benaderende eigenvectoren (continue spectrum)

Eigenfuncties van translaties

  • ({\hat{\tau}}_n f)_j = f_{j-n} = \lambda_n f_j:

    • zonder voorwaarde op de rijruimte: f_j = \exp(s j) en \lambda_n = \exp(s n)

    • keuzes s en s + {\mathrm{i}}2\pi k voor k \in {\mathbb{Z}} leiden tot zelfde \lambda_n voor alle n

      \Rightarrow \mathop{\mathrm{Im}}(s) \in (-\pi,+\pi]

      vaak geschreven als f_j = z^j met z = {\mathrm{e}}^s: startpunt voor Z-transformatie

    • voor functies op {\mathbb{Z}}_n: {\hat{\tau}}_N = {\hat{1}}\implies s = {\mathrm{i}}\frac{2\pi}{N} k met k \in {\mathbb{Z}}_N

    • voor kwadratisch integreerbare functies:

      s = {\mathrm{i}}2\pi \xi met \xi \in [0,1) (continu spectrum)

  • Pontryagin dualiteit:
    • Discreet versus continu in origineel domein: onbegrensd versus begrensd (compact) in Fourier domein
    • Onbegrensd versus compact in origineel domein: continu versus discreet in Fourier domein

Fouriertransformaties en translatie-invariante operatoren

  • we weten al: DFT diagonaliseert circulante matrices

  • voor afgeleide-operator: {\hat{F}}({\hat{D}}f)(\xi) = {\hat{F}}(f')(\xi)= 2\pi {\mathrm{i}}\xi \widehat{f}(\xi) = {\hat{M}}_{2\pi {\mathrm{i}}\xi} ({\hat{F}}f)(\xi)

    \Rightarrow {\hat{F}}{\hat{D}}{\hat{F}}^\dagger = {\hat{M}}_{2\pi {\mathrm{i}}\xi} (multiplicatie-operator op Fourierbeeld)

  • voor translatie-invariante integraaloperator:

    {\hat{F}}({\hat{A}} f)(\xi) = {\hat{F}}(a \ast f)(\xi) = \widehat{a}(\xi) \widehat{f}(\xi) = {\hat{M}}_{\widehat{a}(\xi)} ({\hat{F}}f)(\xi)

    \Rightarrow {\hat{F}}{\hat{A}}{\hat{F}}^\dagger = {\hat{M}}_{\widehat{a}(\xi)} (multiplicatie-operator op Fourierbeeld)

  • Translatie-invariante differentiaaloperatoren EN integraaloperatoren worden door Fouriertransformatie omgezet in multiplicatie-operatoren (\approx diagonaal):

    • eenvoudig te inverteren
    • Fouriertransformatie om Greense functie te bereken