Hoofdstuk 9 - Fourieranalyse en distributies

Doel van dit hoofdstuk

$$ % Math operators % %

% VECTORS

% specifically for vectors in F^n

% MATRICES

% SCALARS

% LINEAR MAPS

% FIELDS

% RELATIONS

% % % % % % % % %

%

$$

• Fouriertransformaties
  • voornaamste eigenschappen
  • Fouriertransformatie als unitaire transformatie \(L^2({\mathbb{R}}) \to L^2({\mathbb{R}})\)
  • toepassing: Gaussische distributies en centrale limietstelling
• Theorie van distributies en testfuncties
  • Reguliere en singuliere distributies = Dirac delta
  • Distributionele afgeleiden en limieten
  • Diracrijen
  • Andere voorbeelden: Cauchy-hoofdwaarde
  • Distributies en Fouriertransformaties
• Verband tussen verschillende types Fouriertransformaties
  • Discrete tijd Fourier transformatie
  • Nyquist sampling theorema
  • Fouriertransformaties en translatie-invariante operatoren

Fouriertransformaties

Fouriertransformatie: motivatie

• Herhaling Fourierreeks: \(f \in L^2(I)\) met \(I = [-L/2,+L/2]\)

  \[\begin{align*} &\widehat{f}_k = {\left\langle\varphi_k,f\right\rangle} = \frac{1}{\sqrt{L}}\int_I f(x)\, {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\\ & \qquad \iff \qquad f(x) = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k \varphi_k = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x} \end{align*}\]

• Limiet \(L \to \infty\) ?

  met \(k/L \to \xi \in {\mathbb{R}}\) en \(\widehat{f}_k \to \frac{1}{\sqrt{L}} \widehat{f}(\xi)\):

  \[\begin{align*} &\widehat{f}(\xi) = \int_{-L/2}^{+L/2} f(x)\, {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x \to \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x\\ &\qquad \iff \qquad f(x) = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \frac{1}{L} \widehat{f}(k/L) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi (k/L) x} \to \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}\xi. \end{align*}\]

  • niet rigorous: geen orthonormale aftelbare basis meer

Fouriertransformatie: definitie en varianten

• Fouriertransformatie: \(\widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x){\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}x\)

  inverse Fouriertransformatie: \(\check{f}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(\xi){\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}\xi\)

  • relatie tussen \(f(x)\) en \(\check{f}(x)\)? zodadelijk

  • \(\lambda = \xi^{-1}\) golflengte

• Andere varianten:

  • tijd:

    \(\widetilde{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\omega t}\,{\mathrm{d}}t\quad\text{en}\quad \breve{f}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \widetilde{f}(\omega) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\omega t}\,{\mathrm{d}}\omega\)

    • \(+{\mathrm{i}}\) en \(-{\mathrm{i}}\) omgedraaid
    • in termen van “hoekfrequentie” \(\omega = 2 \pi \nu\) met \(T = 1/\nu\) de periode

  • meerdimensionaal:

    \(\widetilde{f}(\boldsymbol{k}) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \int_{{\mathbb{R}}^d} f(\boldsymbol{x}) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}}\,{\mathrm{d}}^d \boldsymbol{x}\quad\text{en}\quad \breve{f}(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}} \int_{{\mathbb{R}}^d} \widetilde{f}(\boldsymbol{k}) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}}\,{\mathrm{d}}^d \boldsymbol{k}\)

    • \(\boldsymbol{k}\) de golfvector

Fouriertransformatie: voorbeelden

• \(f(x) = \exp(-a {\left\lvert x\right\rvert})\) met een parameter \(a > 0\):

  \[\begin{align} \widehat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a {\left\lvert x\right\rvert}} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}x = \int_0^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-(a + {\mathrm{i}}2\pi \xi) x}\,{\mathrm{d}}x + \int_{-\infty}^{0} {\mathrm{e}}^{+(a - {\mathrm{i}}2 \pi \xi) x}\,{\mathrm{d}}x\nonumber\\ &= \frac{1}{a + {\mathrm{i}}2\pi \xi} + \frac{1}{a - {\mathrm{i}}2\pi \xi} = \frac{2a}{ a^2 + 4\pi^2 \xi^2} \end{align}\]

• \(f(x) = \exp(-a x^2)\) met een parameter \(a > 0\):

  \[\begin{align} \widehat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-a x^2} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}x = \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-a \left(x + {\mathrm{i}}\frac{\pi \xi}{a}\right)^2 - \frac{\pi^2 \xi^2}{a} }\,{\mathrm{d}}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}} {\mathrm{e}}^{-\frac{\pi^2 \xi^2}{a}} \end{align}\]

  gebruik makende van

  \[\begin{align*} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-a (x + {\mathrm{i}}t)^2}\,{\mathrm{d}}x &= - {\mathrm{i}}2a \int_{-\infty}^{+\infty} (x + {\mathrm{i}}t) {\mathrm{e}}^{-a (x + {\mathrm{i}}t)^2}\,{\mathrm{d}}x \\ &= {\mathrm{i}}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} {\mathrm{e}}^{-a (x + {\mathrm{i}}t)^2}\,{\mathrm{d}}x = {\mathrm{i}}\left[{\mathrm{e}}^{-a (x + {\mathrm{i}}t)^2}\right]_{x=-\infty}^{x=+\infty} = 0 \end{align*}\]

Fouriertransformatie: voorbeelden

• \(f(x) = H(a - {\left\lvert x\right\rvert})\) met een parameter \(a>0\) (box functie)

  \[\begin{align} \widehat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{+\infty} H(a-{\left\lvert x\right\rvert}) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}x = \int_{-a}^{+a} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x \nonumber\\ &= \frac{{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi a} - {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi a}}{-{\mathrm{i}}2\pi \xi} = \frac{\sin(2\pi \xi a)}{\pi \xi}=2 a \mathop{\mathrm{sinc}}(\pi 2 a \xi)\label{eq:fourier:ftbox} \end{align}\] met \(\mathop{\mathrm{sinc}}(x) = \sin(x)/x\)

  • voorbeeld waarbij \(\widehat{f}(\xi)\) niet absoluut integreerbaar is
  • is inverse Fouriertransformatie wel goed gedefinieerd?

Fouriertransformatie: eigenschappen

Fourierbeeld: \(\widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x){\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x} \,{\mathrm{d}}x\quad\) (gedefinieerd voor \(f \in L^1({\mathbb{R}})\))

• belangrijkste eigenschappen (bewijs eenvoudige oefening)
  • lineariteit: \(h(x) = a f(x) + b g(x) \implies \widehat{h}(\xi) = a \widehat{f}(\xi) + b \widehat{g}(\xi)\)
  • translatie: \(h(x) = f(x-x_0) \implies \widehat{h}(\xi) = {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x_0} \widehat{f}(\xi)\)
  • modulatie: \(h(x) = f(x) {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi \xi_0 x} \implies \widehat{h}(\xi) = \widehat{f}(\xi -\xi_0)\)
  • conjugatie: \(h(x) = \overline{f(x)} \implies \widehat{h}(\xi) = \overline{\widehat{f}(-\xi)}\)
  • Tijd/frequentie-omkering: \(h(x) = f(-x) \implies \widehat{h}(\xi) = \widehat{f}(-\xi)\)
  • Schaling: \(h(x) = f(s x) \implies \widehat{h}(\xi) = \frac{1}{s} \widehat{f}(\xi/s)\)
• Bijkomende eigenschappen (bewijs aan bord):
  • continu: \(\widehat{f}(\xi) \in C^0({\mathbb{R}})\)
  • begrensd: \({\left\lVert\widehat{f}\right\rVert}_\infty = \sup_{\xi} {\left\lvert\widehat{f}(\xi)\right\rvert} \leq {\left\lVert f\right\rVert}_1\)
  • verdwijnt op oneindig: \(\lim_{\xi \to \pm \infty} {\left\lvert\widehat{f}(\xi)\right\rvert} = 0\) (Riemann-Lebesgue lemma)

Fouriertransformatie: eigenschappen

• Convolutie: \(f,g \in L^1({\mathbb{R}}) \implies h = f \ast g \in L^1({\mathbb{R}})\) met

  \[h(x) = (f \ast g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-y) g(y)\,{\mathrm{d}}y = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) g(x-y)\,{\mathrm{d}}y = (g \ast f)(x)\]

  \[\Rightarrow \widehat{h}(\xi) = \widehat{f}(\xi) \widehat{g}(\xi)\]

• Afgeleide: \(f\) afleidbaar met stuksgewijs continue afgeleide \(g=f'\) (en \(f, g = f' \in L^1({\mathbb{R}})\) en \(\lim_{x \to \pm \infty} {\left\lvert f(x)\right\rvert}=0\))

  \[\Rightarrow \widehat{g}(\xi) = {\mathrm{i}}2\pi \xi f(\xi)\]

  bij uitbreiding indien voldoende regulier:

  \[g(x) = f^{(p)}(x) \implies \widehat{f^{(p)}}(\xi) = ({\mathrm{i}}2\pi \xi)^p \widehat{f}(\xi)\]

  • Riemann-Lebesgue: \(\widehat{f}(\xi)\) daalt sneller dan \(\mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(\xi^{-p})\)

Fouriertransformatie als unitaire transformatie

• We verwachten \({\hat{F}}: L^2({\mathbb{R}}) \to L^2({\mathbb{R}}) : f \mapsto \widehat{f}\) een unitaire transformatie

• \(\widehat{f}\) is enkel gedefinieerd voor \(f \in L^1({\mathbb{R}})\):

  • voor eindig interval \(I\) geldt \(L^2(I) {\preccurlyeq}L^1(I)\)
  • maar niet voor \(L^2({\mathbb{R}})\) (vb \(f(x)= (1+x^2)^{-1/2}\))

• Definieer eerst \({\hat{F}}\) op dichte deelruimte \(C^0_c({\mathbb{R}}) {\preccurlyeq}L^2({\mathbb{R}})\)

  (continue functies met compacte drager)

  • er geldt: \({\left\lVert f\right\rVert}_2 = {\left\lVert\widehat{f}\right\rVert}_2\)

    \(\Rightarrow {\hat{F}}\) is begrensd (zelfs isometrisch) en kan dus uitgebreid worden tot \(L^2({\mathbb{R}})\)

  • bewijs: als \(supp(f) \in [-L/2,+L/2]\) : \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\)

    met \(\widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{L}} \int_{-L/2}^{+L/2} f(x){\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\,{\mathrm{d}}x = \frac{1}{\sqrt{L}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x){\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\,{\mathrm{d}}x = \frac{1}{\sqrt{L}} \widehat{f}(k/L)\)

    en dus voor \(g(x) = {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi \xi x} f(x)\): \(\widehat{g}_k = \frac{1}{\sqrt{L}}\widehat{f}(k/L + \xi)\)

    \(\Rightarrow {\left\lVert f\right\rVert}_2 = {\left\lVert g\right\rVert}_2 = \frac{1}{L}\sum_{k\in{\mathbb{Z}}} {\left\lvert\widehat{f}(k/L + \xi)\right\rvert}^2\) en integreer over \(\xi \in [0,1/L]\)

Fouriertransformatie als unitaire transformatie

Voor elke functie \(f \in L^2({\mathbb{R}})\) kunnen we de Plancherel-Fourier constructie gebruiken:

• benader \(f = \lim_{n\to \infty}f_n\) met \(f_n(x) = f(x) H({\left\lvert x\right\rvert}-n)\)
• bereken \(\widehat{f_n}(\xi) = \int_{-n}^{+n} f(x) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x\)
• er geldt \({\left\lVert\widehat{f_n}\right\rVert}_2 ={\left\lVert f_n\right\rVert}_2\) en dus is \(\widehat{f_n}\) een Cauchy-rij
• definieer \(\widehat{f} = \lim_{n\to \infty} \widehat{f_n}\)

Eigenschappen (wegens continuïteit van norm/inwendig product)

• Plancherel: \({\left\lVert f\right\rVert} ={\left\lVert\widehat{f}\right\rVert}\) voor alle \(f \in L^2({\mathbb{R}})\) (en dus \({\hat{F}}:f \mapsto \widehat{f}\) is isometrisch)

• Parseval: \({\left\langle f,g\right\rangle} = {\left\langle\widehat{f},\widehat{g}\right\rangle}\) voor alle \(f,g \in L^2({\mathbb{R}})\)

• “zwakke Parseval-relatie”: \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \widehat{g}(x) \,{\mathrm{d}}x = \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(x) g(x)\,{\mathrm{d}}x\)

• \({\hat{F}}^\dagger(f) = {\overline{{\hat{F}}({\overline{f}})}}\) en dus is \({\hat{F}}^\dagger\) ook isometrisch

  \(\Rightarrow\) \({\hat{F}}\) is unitaire transformatie \(L^2({\mathbb{R}}) \to L^2({\mathbb{R}})\): \({\hat{F}}^\dagger = {\hat{F}}^{-1}\)

Toepassing: Gaussiche distributie

• Gaussische distributie: \(f_\sigma(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} {\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\)

  \(\Rightarrow \frac{{\mathrm{d}}\widehat{f}_\sigma}{{\mathrm{d}}\xi} (\xi) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} (-{\mathrm{i}}2\pi x) {\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2} - {\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x\)

  vanwege \(\frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x}\left({\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2} - {\mathrm{i}}2\pi \xi x}\right) = -\left(\frac{x}{\sigma^2} +{\mathrm{i}}2\pi \xi\right) {\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2} - {\mathrm{i}}2\pi \xi x}\)

  \(\Rightarrow \frac{{\mathrm{d}}\widehat{f}_\sigma}{{\mathrm{d}}\xi} (\xi) = -4\pi^2 \sigma^2 \xi \widehat{f}_\sigma(\xi)\)

  in combinatie met \(\widehat{f}_\sigma(0) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\,{\mathrm{d}}x = 1\) geldt dan \(\widehat{f}_\sigma(\xi) = {\mathrm{e}}^{-2\pi^2\sigma^2 \xi^2}\)

  \(\Rightarrow\) \((f_{\sigma_1} \ast f_{\sigma_2})(x) = f_{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}(x)\)

Toepassing: karakteristieke functie

• Voor willekeurige probabiliteitsdistributie \(f_X(x)\):

  • karakteristieke functie \(\varphi_X(\xi) = \langle {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi X}\rangle = \widehat{f}_X(x)\)
  • genereert momenta: \(\varphi_X^{(k)}(0) = (-{\mathrm{i}}2\pi)^k\langle X^k \rangle \implies \varphi_X(\xi) = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-{\mathrm{i}}2\pi)^k}{k!} \langle X^k \rangle \xi^k\)
  • Gaussische distributie met gemiddelde \(\mu\): \(\varphi_{\mu,\sigma}(\xi) = {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi \mu - 2\pi^2\sigma^2 \xi^2} = 1 -{\mathrm{i}}2\pi \mu \xi - 2\pi^2 (\mu^2+\sigma^2) \xi^2 + \ldots\)

  beter via logaritme: \(\kappa_X(\xi) = \log \varphi_X(\xi) = \log \langle{{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}}\rangle\)

  • genereert cumulanten

  • \(\kappa_{\mu,\sigma}(\xi) = -{\mathrm{i}}2\pi \mu \xi - 2\pi^2\sigma^2 \xi^2\)

    \(\Rightarrow\) Gaussische distributie: unieke distributie waarvoor alle cumulanten hoger dan 2de orde verdwijnen

Toepassing: centrale limietstelling

Stel \(n\) stochastische variabelen \(X_1\),, \(X_n\), en hun gemiddelde \(\boldsymbol{X} = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \ldots + X_n)\)

\[\begin{align} \varphi_X(\xi) = \langle{{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi X}\rangle} &= \int{\mathrm{d}}x_1 \int {\mathrm{d}}x_2 \ldots \int{\mathrm{d}}x_n {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi (x_1+x_2 + \ldots + x_n)/n} f_1(x_1) f_2(x_2) \ldots f_n(x_n)\nonumber\\ & = \varphi_{X_1}(\xi/n) \varphi_{X_2}(\xi/n) \ldots \varphi_{X_n}(\xi/n) . \end{align}\]

Als alle \(\varphi_{X_i}(x)\) gelijk, met \(\varphi_{X_i}(x) = \varphi(x) = {\mathrm{e}}^{\kappa(\xi)} = {\mathrm{e}}^{-2\pi {\mathrm{i}}\mu \xi - 2\pi^2 \sigma^2 \xi^2 + \mathcal{O}(\xi^3)}\):

\[\begin{align} \kappa_X(\xi) = n \log(\varphi(\xi/n)) = n \kappa(\xi/n) = -2\pi {\mathrm{i}}\mu \xi - 2\pi^2 \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2 \xi^2 + \mathcal{O}(\xi^3/n^2). \end{align}\]

\(\Rightarrow\) Centrale limietstelling: gemiddelde van \(n\) identiek verdeelde stochastische variabelen volgt een Gaussische verdeling met gemiddelde \(\mu_X=\mu\), \(\sigma_X = \sigma/\sqrt{n}\), op correcties \(\mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(1/n^2)\) en kleiner na.

Distributies

Distributies: motivatie

• Motivatie komt uit de fysica (vb elektromagnetisme): brontermen zijn grillig op microscopische schaal maar de details hiervan zijn irrelevant voor observaties om macroscopische schaal

• Distributietheorie: wiskundig rigorous formalisme om met concepten zoals “Dirac delta” (puntbron) en gelijkaardige constructies te werken. Twee ingrediënten:

  • bijzondere limiet of veralgemening van reguliere functies \(f\) met irrelevante microscopische details

  • macroscopische uitmiddeling \(\int f(x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x\), met \(\varphi(x)\) een “brave” testfunctie die bijvoorbeeld het profiel van een fysisch meettoestel modelleert

  • \(T_f:\varphi \mapsto \int f(x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x\) is een lineaire functionaal van \(\varphi\); kunnen we deze constructie veralgemenen naar lineaire functionalen \(T[\varphi]\) die strict gesproken niet als zulke integraal kunnen worden beschreven, maar wel dezelfde eigenschappen hebben?

    • continuïteit: \(\lim_{n\to \infty} T[\varphi_n(x)] = T[\varphi(x)]\) als \(\lim_{n\to \infty} \varphi_n(x)=\varphi(x)\)

      \(\Rightarrow\) hangt af van wat de limiet \(\lim_{n\to \infty} \varphi_n(x)=\varphi(x)\) betekent.

Testfuncties

Testfuncties: gladde functies met eventuele lokaliteitsvoorwaarden, gedefinieerd op gebied \(\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^d\)

(hier meestal \(d=1\) maar we hebben ook hoger-dimensionale veralgemening nodig)

3 families \(\mathcal{D}(\Omega) {\preccurlyeq}\mathcal{S}(\Omega) {\preccurlyeq}\mathcal{E}(\Omega)\) (samenvallend voor compacte \(\Omega\)):

• \(\mathcal{E}(\Omega) = C^{\infty}(\Omega)\): oneindig afleidbare (=gladde) functies

• \(\mathcal{D}(\Omega) = C^{\infty}_c(\Omega)\): gladde functies met compacte drager

• \(\mathcal{S}(\Omega)\): Schwarz-ruimte: gladde en voldoende snel dalende functies, zodat \(\sup_{\boldsymbol{x} \in {\mathbb{R}}^d} {\left\lvert x_1^{k_1} \cdots x_d^{k_d} \frac{\partial^{l_1}\ }{\partial x_1^{l_1}}\cdots \frac{\partial^{l_d}\ }{\partial x_d^{l_d}} \varphi(\boldsymbol{x})\right\rvert} < \infty\), voor alle \(k_1,\ldots,k_d,l_1, \ldots, l_d \in {\mathbb{N}}\)

  \(\Rightarrow\) voor \(\varphi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}})\): alle functies \(\varphi_{k,l}(x) = x^k \frac{\partial^l \varphi(x)}{\partial x^l}\) continu en in \(L^1({\mathbb{R}})\)

  \(\Rightarrow\) \(\widehat{\varphi_{k,l}}(\xi)\) bestaat, continu en gaat naar nul op oneindig, met \(\widehat{\varphi}_{k,l}(\xi) =\left(-\frac{1}{2\pi{\mathrm{i}}}\right)^k \left(2\pi{\mathrm{i}}\right)^l \frac{{\mathrm{d}}^k\ }{{\mathrm{d}}\xi^k}\left[ \xi^l \widehat{\varphi}(\xi)\right]\)

  \(\Rightarrow\) \(\widehat{\varphi}\) ook in \(\mathcal{S}({\mathbb{R}})\)

Testfuncties: voorbeelden

• \(\varphi(x) \in \mathcal{S}({\mathbb{R}})\): bekendste voorbeeld is \(\varphi(x) = \exp(-x^2)\)

  • ook \(\varphi(x) = p(x) \exp(-x^2)\) voor arbitraire veelterm \(p(x)\)

• \(\varphi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}})\): gladde functie en toch compacte drager?

  • glad \(\neq\) analytisch (in elk punt Taylorreeks met eindige convergentieradius)

  voorbeelden:

  • “bump”functies \(\rho_a(x) = \begin{cases} 0, & {\left\lvert x\right\rvert} > a\\ \exp\left(-\frac{a^2}{a^2 - x^2}\right),& {\left\lvert x\right\rvert} \leq a \end{cases}\)
  • \((f \ast \rho_a)(x)\) met \(f\) een continue functie met compacte drager
  • \(f(x)\rho_a(x)\) met \(f\) een gladde functie (\(f \in \mathcal{E}({\mathbb{R}})\))

Testfuncties en limieten

• Distributies zijn continue lineaire functionalen op ruimte van testfuncties:

  • notatie: \(\mathcal{D}^\ast(\Omega)\), \(\mathcal{S}^\ast(\Omega)\), \(\mathcal{E}^\ast(\Omega)\)
  • we bekijken in eerste instantie \(\mathcal{D}^\ast(\Omega)\)
  • we focussen op \(\Omega = {\mathbb{R}}\)

• Continuïteit van distributies zal afhangen van definitie van limiet van testfuncties: hoe strikter de definitie van convergentie, hoe gemakkelijker er zal voldaan zijn aan \(\lim_{n \to \infty}T[\varphi_n] = T[\lim_{n \to \infty}\varphi_n]\)

• Convergentie in \(\mathcal{D}(\Omega)\): \(\lim_{n \to \infty}\varphi_n = \varphi\) als en slechts als

  • er bestaat een compacte deelverzameling \(K \subseteq \Omega\) zodat \(\mathrm{supp}(f_n) \subseteq K\)

  • uniforme convergentie van alle afgeleiden:

    \(\lim_{n\to\infty} \sup_{x \in \Omega} {\left\lvert\varphi_n^{(p)}(x) - \varphi^{(p)}(x)\right\rvert} = \lim_{n\to\infty} \sup_{x \in K} {\left\lvert\varphi_n^{(p)}(x) - \varphi^{(p)}(x)\right\rvert} = 0\)

• Convergentie in \(\mathcal{S}(\Omega)\) (en \(\mathcal{E}(\Omega)\)): zie later \(\rightarrow\) zodanig dat \(\mathcal{E}^\ast(\Omega) {\preccurlyeq}\mathcal{S}^\ast(\Omega) {\preccurlyeq}\mathcal{D}^\ast(\Omega)\)

• Dit soort definitie voor limiet komt niet uit norm of metriek

Reguliere en singuliere distributies

• reguliere distributie: voor elke functie \(f\) die “lokaal integreerbaar is”: \(\int_K {\left\lvert f(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x\) bestaat voor elke compacte subset \(K \subset {\mathbb{R}}\):

  \[T_f[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)\,{\mathrm{d}}x\]

  • Voorbeeld: \(T_H[\varphi] = \int_0^{+\infty} \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x\)

    \(\rightarrow\) Reguliere distributie horende bij \(H(x) = \theta(x) = \begin{cases} 0, & x < 0\\ 1, & x \geq 0 \end{cases}\)

  • Goed gedefinieerd:

    \({\left\lvert T_f[\varphi]\right\rvert} \leq \int_{\Omega} {\left\lvert f(x)\right\rvert} {\left\lvert\varphi(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x= \int_{K} {\left\lvert f(x)\right\rvert} {\left\lvert\varphi(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x \leq \left(\sup_{x \in K} {\left\lvert\varphi(x)\right\rvert}\right)\left(\int_K {\left\lvert f(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x\right)\)

  • Continu

    \({\left\lvert T_f[\varphi] - T_f(\varphi_n)\right\rvert} = {\left\lvert\int_\Omega f(x) (\varphi(x) - \varphi_n(x))\,{\mathrm{d}}x\right\rvert}\leq \int_K {\left\lvert f(x)\right\rvert} {\left\lvert\varphi(x) - \varphi_n(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x\) \(\qquad\leq \left(\sup_{x \in [a,b]} {\left\lvert\varphi(x) - \varphi_n(x)\right\rvert}\right) \left(\int_K {\left\lvert f(x)\right\rvert}\,{\mathrm{d}}x\right)\)

Reguliere en singuliere distributies

• singuliere of anomale distributie: elke distributie die niet regulier is

  • Bekendste voorbeeld: \(\delta_a[\varphi] = \varphi(a)\) (Dirac delta)

  • Schrijven als \(\delta[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)\varphi(x)\,{\mathrm{d}}x\)?

    • Er bestaat geen functie \(\delta\) met deze eigenschap
    • “Veralgemeende functies” (vooral in Russische literatuur)

  • Analoog in hogere dimensies: \(\delta_{\boldsymbol{a}}[\varphi] = \int_{{\mathbb{R}}^d} \delta_{\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{x}) \varphi(\boldsymbol{x}) \,{\mathrm{d}}x = \varphi(\boldsymbol{a})\)

Elementaire bewerkingen met distributies

Bewerkingen op distributies: translatie, herschaling, afgeleide, Fourier …

• eerst op reguliere distributies \(T_f\): doe bewerking op \(f\) en vind manier om dit om te zetten naar bewerking op testfunctie \(\varphi\)
• neem dit als een definitie die ook geldt voor singuliere distributies

Translatie en herschaling: \(({\hat{\tau}}_a f)(x) = f(x-a)\) en \(({\hat{\sigma}}_s f)(x) = f(s x)\)

• \({\hat{\tau}}_a T_f[\varphi] = \int_{{\mathbb{R}}} f(x-a) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \int_{{\mathbb{R}}} f(y) \varphi(x+a)\,{\mathrm{d}}y = T_f[{\hat{\tau}}_{-a} \varphi]\)
• \({\hat{\sigma}}_s T_f[\varphi] = \int_{{\mathbb{R}}} f(s x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}} \int_{{\mathbb{R}}} f(y) \varphi(y/s)\,{\mathrm{d}}y = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}} T_f[{\hat{\tau}}_{1/s} \varphi]\)

Daaruit volgt (veralgemening naar meer dimensies)

• \(({\hat{\tau}}_{\boldsymbol{a}} )\delta[\varphi] = (\tau_{-\boldsymbol{a}} \varphi)(\boldsymbol{0}) = \varphi(\boldsymbol{0}+\boldsymbol{a}) = \delta_{\boldsymbol{a}}[\varphi]\)

  \(\Rightarrow \int_{{\mathbb{R}}^d}\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})\varphi(\boldsymbol{x})\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x} =\int_{{\mathbb{R}}^d}\delta_{\boldsymbol{a}} (\boldsymbol{x})\varphi(\boldsymbol{x})\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x}\)

• \(({\hat{\sigma}}_s \delta)[\varphi] = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} \delta[{\hat{\sigma}}_{1/s}\varphi] = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} \varphi(\boldsymbol{0}/s) = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} \varphi(\boldsymbol{0}) = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} \delta[\varphi]\)

  \(\Rightarrow \int_{{\mathbb{R}}^d}\delta(s \boldsymbol{x})\varphi(\boldsymbol{x})\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x} = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} \int_{{\mathbb{R}}^d}\delta(\boldsymbol{x})\varphi(\boldsymbol{x})\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x}\)

Elementaire bewerkingen met distributies

• Product van distributies? Niet gedefinieerd

• Product van een distributie en een gladde functie:

  • voor reguliere distributie: \((\psi T_f)[\varphi] = T_{\psi f}[\varphi] =\int_{{\mathbb{R}}^d} f(\boldsymbol{x}) \psi(\boldsymbol{x})\varphi(\boldsymbol{x}) \,{\mathrm{d}}^d\boldsymbol{x} = T_f[\psi \varphi]\)

  • algemene definitie: \((\psi T)[\varphi] = T[\psi \varphi]\)

    inderdaad: voor \(\varphi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}})\) en \(\psi \in C^{\infty}({\mathbb{R}})\): puntsgewijs product \(\psi \varphi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}})\)

  • voorbeeld: \((\psi \delta)[\varphi] = \delta[\psi \varphi] = \psi(0)\varphi(0) = \psi(0) \delta[\varphi]\)

    \(\Rightarrow\) “\(\psi(x) \delta(x) = \psi(0) \delta(x)\)”

• Afgeleide van een distributie:

  • voor reguliere distributie:

    \(T'_f[\varphi] = T_{f'}[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x)\varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = - \int f(x) \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x = -T_f[\varphi']\)

  • algemene definitie: \(T'[\varphi] = T[-\varphi']\)

Distributionele afgeleide: voorbeelden

• \(f(x) = {\left\lvert x\right\rvert}\): lokaal integreerbaar, niet afleidbaar voor \(x=0\)

  \(T'_f[\varphi]= T_f[-\varphi'] = -\int_{-\infty}^{+\infty} {\left\lvert x\right\rvert} \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x = +\int_{-\infty}^{0} x \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x - \int_{0}^{+\infty} x \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x\) \(= -\int_{-\infty}^{0} \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x + \int_{0}^{+\infty} \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \int_{-\infty}^{+\infty} (-1 + 2 H(x)) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = T_g[\varphi]\)

  \(\Rightarrow\) zelf reguliere distributie met \(g(x) = (-1 + 2 H(x))\) (zwakke afgeleide van \(f(x)\))

• \(f(x) = H(x)\):

  \(T'_H[\varphi] = -\int_0^{+\infty} \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x = \varphi(0) = \delta[\varphi]\)

  \(\Rightarrow\) distributionele afgeleide “\(H'(x) = \delta(x)\)”

• \(\delta^{(n)}[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta^{(n)}(x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = (-1)^n \varphi^{(n)}(0)\)

• Leibniz-regel voor distributionele afgeleide van product met gladde functie:

  \[\begin{align*} (\psi T)'[\varphi] &= - (\psi T)[\varphi'] = - T[\psi \varphi'] = -T[(\psi\varphi)' - \psi' \varphi] \nonumber\\ &= -T[(\psi\varphi)'] + T[\psi'\varphi] = T'[\psi\varphi] + (\psi' T)[\varphi] = (\psi T' + \psi' T)[\varphi]. \end{align*}\]

Uitgebreid voorbeeld: Cauchy hoofdwaarde

• \(\log{\left\lvert x\right\rvert}\): absoluut integreerbaar (ondanks divergentie), niet afleidbaar bij \(x=0\)

  voor \(x\neq 0\): \(\frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} \log{\left\lvert x\right\rvert} = \frac{1}{x}\)

• distributionele afgeleide:

  \[\begin{align*} T_f'[\varphi] &= - \int_{-\infty}^{+\infty} \log{\left\lvert x\right\rvert} \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{{\left\lvert x\right\rvert}\geq \epsilon} \log{\left\lvert x\right\rvert} \varphi'(x)\,{\mathrm{d}}x\\ &= \lim_{\epsilon\to 0^+} \left[-\log(\epsilon) \varphi(-\epsilon) + \log(\epsilon) \varphi(+\epsilon) + \int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{\varphi(x)}{x}\,{\mathrm{d}}x + \int_{+\epsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,{\mathrm{d}}x\right] \end{align*}\]

  • tussenwaardestelling: \(\exists x \in [-\epsilon,+\epsilon]\) zodat \(\varphi(\epsilon) - \varphi(-\epsilon) = \varphi'(x) (2\epsilon)\)

  • \({\left\lvert\varphi(\epsilon) - \varphi(-\epsilon)\right\rvert} \leq 2\epsilon \sup_{x} {\left\lvert\varphi'(x)\right\rvert} \Rightarrow \lim_{\epsilon \to 0} \log(\epsilon) \big(\varphi(\epsilon) - \varphi(-\epsilon)\big) = 0\)

  \[\begin{align} T_f'[\varphi] = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left(\int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{\varphi(x)}{x}\,{\mathrm{d}}x + \int_{+\epsilon}^{+\infty}\frac{\varphi(x)}{x}\,{\mathrm{d}}x\right) = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_\epsilon^{+\infty} \frac{\varphi(x) - \varphi(-x)}{x}\,{\mathrm{d}}x \end{align}\]

Uitgebreid voorbeeld: Cauchy hoofdwaarde

• beschouw een functie \(g(x)\) op \(I=[a,c]\) met een eerste-orde pool in \(x=b \in I\): \(g(x) = \frac{\varphi(x)}{x-b}\) met \(\varphi(x)\) glad voor \(x\in I\):

  • integraal \(\int_a^c g(x)\,{\mathrm{d}}x\) bestaat niet op standaard (Riemann of Lebesgue) manier:

    daarvoor moet gelden dat beide limieten \(\lim_{\delta \to 0^+}\int_a^{b-\delta} g(x)\,{\mathrm{d}}x\) en \(\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{b+\epsilon}^{c} g(x)\,{\mathrm{d}}x\) onafhankelijk van elkaar bestaan

  • Cauchy hoofdwaarde:

    \(\mathop{\mathrm{Pv}}\int_{a}^{c} g(x)\,{\mathrm{d}}x = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left[\int_a^{b-\epsilon} g(x)\,{\mathrm{d}}x + \int_{b+\epsilon}^{c} g(x)\,{\mathrm{d}}x\right]\)

    bestaat wel

• conclusie uit vorige slide:

  \[T'_f[\varphi] = \mathop{\mathrm{Pv}}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x}\,{\mathrm{d}}x\]

  \(\Rightarrow\) distributionele afgeleide \((\log{\left\lvert x\right\rvert})' = \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{x}\)

Coördinatentransformatie

• Coördinatentransformatie: \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y})\) met een glad isomorfisme \(\boldsymbol{g}:{\mathbb{R}}^d \to {\mathbb{R}}^d\) (en dus goed gedefinieerd inverse \(\boldsymbol{g}^{-1}\))

  • binnen integraal (uit H2): \({\mathrm{d}}\boldsymbol{x} = {\left\lvert\det {\mathsf{J}}_{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{y})\right\rvert}\, {\mathrm{d}}\boldsymbol{y}\)

  • reguliere distributie geassocieerd aan \(f:{\mathbb{R}}^d \to {\mathbb{F}}\)

    \[\begin{align} (T_f \circ \boldsymbol{g})[\varphi] &= T_{f \circ g}[\varphi] = \int_{{\mathbb{R}}^d} f(g(\boldsymbol{y}))\varphi(\boldsymbol{y})\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{y} = \int_{{\mathbb{R}}^d} \frac{f(\boldsymbol{x}) \varphi\big(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{x})\big)}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{x}))\right\rvert}}\,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x} \end{align}\]

  • algemene definitie: \((T \circ \boldsymbol{g})[\varphi] = T[\varphi_{\boldsymbol{g}}]\) met \(\varphi_{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_{\boldsymbol{g}}(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{x}))\right\rvert}} \varphi(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{x}))\)

Coördinatentransformatie: voorbeelden

• \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}) = s \boldsymbol{y}\): \((T \circ \boldsymbol{g})[\varphi] = ({\hat{\sigma}}_s T)[\varphi] = T[{\left\lvert s\right\rvert}^{-d} ({\hat{\sigma}}_{1/s}\varphi)] = \frac{1}{{\left\lvert s\right\rvert}^d} T[{\hat{\sigma}}_{1/s} \varphi]\)

• \((\delta \circ \boldsymbol{g})[\varphi] = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_g(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{0}))\right\rvert}} \varphi(\boldsymbol{g}^{-1}(\boldsymbol{0})) = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_g(\boldsymbol{y}^\ast)\right\rvert}} \varphi(\boldsymbol{y}^\ast) = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_g(\boldsymbol{y}^\ast)\right\rvert}} \delta_{\boldsymbol{y}^\ast}[\varphi]\)

  \(\Rightarrow \delta \circ \boldsymbol{g} = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_g(\boldsymbol{y}^\ast)\right\rvert}} \delta_{\boldsymbol{y}^\ast} = \frac{1}{{\left\lvert\det {\mathsf{J}}_g(\boldsymbol{y})\right\rvert}}\delta_{\boldsymbol{y}^\ast}\) met \(\boldsymbol{y}^\ast\) het nulpunt van \(\boldsymbol{g}\)

• uitbreiding voor niet-monotone functie \(x=g(y)\) in één-dimensie:

  • splits \(g\) in meerdere monotone stukken

  • \(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(g(x)) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \sum_{i} \frac{1}{{\left\lvert g'(y^\ast_i)\right\rvert}}\varphi(y^\ast_i)\)

    \(\Rightarrow \delta(g(x)) = \sum_{i} \frac{1}{{\left\lvert g'(y^\ast_i)\right\rvert}} \delta(y - y^\ast_i)\) met \(y^\ast_i\) de verschillende nulpunten van \(g\)

• poolcoördinaten: \(x = r \cos \theta, y = r \sin \theta\) \(\rightarrow \det {\mathsf{J}}(r,\theta) = r\)

  \(\delta( \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0) = \delta((x-x_0) \boldsymbol{e}_x + (y-y_0) \boldsymbol{e}_y ) = \delta(x-x_0) \delta(y-y_0)\)

  \(\delta( (r\cos \theta - x_0) \boldsymbol{e}_x + (r \sin \theta - y_0)\boldsymbol{e}_y) = \frac{1}{r} \delta(r-r_0) \delta(\theta - \theta_0)=\frac{1}{r_0} \delta(r-r_0) \delta(\theta - \theta_0)\)

Convergentie van rijen van distributies

• een rij distributies \((T_n \in \mathcal{D}^\ast(\Omega))_{n\in{\mathbb{N}}_0}\) convergeert naar een distributie \(T\in \mathcal{D}^\ast(\Omega)\) als voor alle \(\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)\):

  \(\lim_{n\to \infty} T_n[\varphi] = T[\varphi]\) (limiet van rij getallen)

  • “weak-\(\ast\) convergence”: heel “zwakke” vorm van convergentie

    (zie onderstaand voorbeeld)

  • eigenschappen:

    • \(\lim_{n\to\infty} T_n' = T'\)
    • \(\lim_{n\to \infty} \psi T_n = \psi T\)

  • voorbeeld: \(T_{f_n}[\varphi] = n^3 \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}n x} \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}n x}}{n} \varphi^{(4)}(x)\,{\mathrm{d}}x\)

    \(\Rightarrow \lim_{n \to +\infty} T_{f_n} = 0\)

    \(\Rightarrow\) “\(\lim_{n \to +\infty} n^3 {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}n x} = 0\)” (geldt voor geen enkele vorm van convergentie)

Sokhotski-Plemelj formule

• distributionele limiet \(\lim_{s\to 0^+} \frac{1}{x \pm {\mathrm{i}}s} = \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{x} \mp {\mathrm{i}}\pi \delta(x)\)

• bewijs:

  • voor \(z=r {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\theta}\) met \(\theta \in (-\pi,+\pi)\) (voor alle \(z \in {\mathbb{C}}\setminus {\mathbb{R}}_{\leq 0}\))

    complex logaritme \(\log(z) = \log(r) + {\mathrm{i}}\theta\)

  • \(\lim_{s\to 0^+} \log(x \pm {\mathrm{i}}s) = \log {\left\lvert x\right\rvert} \pm {\mathrm{i}}\pi H(-x)\)

  • \(\lim_{s\to 0^+} \log(x \pm {\mathrm{i}}s)' = \lim_{s\to 0^+} \frac{1}{x \pm {\mathrm{i}}s} = (\log{\left\lvert x\right\rvert} \pm {\mathrm{i}}\pi H(-x))'\)

Dirac-rijen

Dirac-rij: een rij functies \((f_n)_{n \in {\mathbb{N}}_0}\) zodat distributionele limiet \(\lim_{n\to\infty} T_{f_n} = \delta\)

• Stelling: gegeven \(f \in L^1({\mathbb{R}}^d)\) zodat \(f(\boldsymbol{x}) \geq 0\) voor alle \(\boldsymbol{x}\in{\mathbb{R}}^d\) en \(\int_{{\mathbb{R}}^d} f(\boldsymbol{x}) \,{\mathrm{d}}x = 1\)

  \(\Rightarrow\) \(f_n = n^d {\hat{\sigma}}_n f\) of dus \(f_n(\boldsymbol{x}) = n^d f(n\boldsymbol{x})\) is Dirac-rij (zonder bewijs)

• Vele voorbeelden die hier en daar in de fysica opduiken:

  • \(f(x) = \begin{cases} 1,&{\left\lvert x\right\rvert} \leq 1/2\\ 0,&{\left\lvert x\right\rvert} > 1/2 \end{cases}\quad \implies \quad \delta(x) = \lim_{n\to\infty} \begin{cases} n,&{\left\lvert x\right\rvert}\leq \frac{1}{2n}\\ 0, &{\left\lvert x\right\rvert}> \frac{1}{2n} \end{cases}\)

  • \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\quad\implies\quad \delta(x)=\lim_{s\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{2\pi} s}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2s^2}}\)

  • \(f(x) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2}\quad\implies\quad\delta(x)=\lim_{s \to 0^+} \frac{1}{\pi} \frac{s}{x^2+s^2}\) (Breit-Wigner formule)

Dirac-rijen en Fouriertransformatie

• “bewijs” van inverse Fourier-transformatie:

  • voor \(\varphi(x) \in \mathcal{D}({\mathbb{R}})\) en \(\widehat{\varphi}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(y) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi y}\,{\mathrm{d}}y\)

  • regulariseer inverse Fouriertransformatie

    \[\begin{align*} \lim_{s\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x - s{\left\lvert\xi\right\rvert}} \widehat{\varphi}(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi = \lim_{s\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi (x-y) \xi - s {\left\lvert\xi\right\rvert}} {\mathrm{d}}\xi\right] \varphi(y)\,{\mathrm{d}}y. \end{align*}\]

  • Hierin geldt inderdaad

    \[\begin{align} \lim_{s\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi \xi x - s {\left\lvert\xi\right\rvert}}\,{\mathrm{d}}\xi &= \lim_{s\to 0^+} \left[ \int_{-\infty}^{0} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi \xi x + s \xi}\,{\mathrm{d}}\xi + \int_{0}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi \xi x - s\xi}\,{\mathrm{d}}\xi\right]\nonumber\\ &= \lim_{s\to 0^+} \left[ \frac{1}{{\mathrm{i}}(2\pi x) + s} - \frac{1}{{\mathrm{i}}(2\pi x) - s}\right]\nonumber\\ &= \lim_{s\to 0^+} \left[\frac{2s}{(2\pi x)^2 + s^2}\right] = 2\pi \delta(2\pi x) = \delta(x) \end{align}\]

    via Breit-Wigner (laatste lijn) of Sokhotski-Plemelj (op termen uit voorlaatste lijn)

Dirac-rijen en Fouriertransformatie

Bemerk: voor regularisatie in Fourier-Plancherel constructie:

• \(\lim_{n \to \infty} \int_{-n}^{+n} \widehat{\varphi}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}\xi = \lim_{n\to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(y) \left[\int_{-n}^{+n} {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi (x-y)}\,{\mathrm{d}}\xi\right]\,{\mathrm{d}}y\)

• kern van de integraal gegeven door \[\begin{align*} \int_{-n}^{+n} {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi (x-y)}\,{\mathrm{d}}\xi = \frac{{\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi n (x-y)} - {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi n (x-y)}}{2\pi {\mathrm{i}}(x-y)} = \frac{\sin\left[2\pi n (x-y)\right]}{\pi (x-y)} \end{align*}\]

  \(\Rightarrow\) is \(f_n(x) = \frac{\sin(2\pi n x)}{\pi x} = n \frac{\sin(2\pi n x)}{\pi n x}\) een Dirac-rij?

  Volgt niet uit algemeen resultaat want niet voldaan aan \(f_n(x) \geq 0\)

• algemeen resultaat (zonder bewijs):

  • \(f_n(x) = \frac{1}{\pi} \frac{ \sin( nx)}{x} = \frac{n}{\pi} \mathop{\mathrm{sinc}}(n x)\) is Dirac-rij

  • \(\Rightarrow \forall s>0\): \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \frac{ \sin( n sx)}{x} = s \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \frac{ \sin( n sx)}{sx} = s \delta(s x) = \delta(x)\)

Reeksen van distributies

• Herhaling convergentie Fourierreeks \(f_n(x) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k=-n}^{+n} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\)

  • als \({\left\lVert f\right\rVert}_2 = \sum_{k\in{\mathbb{Z}}} {\left\lvert\widehat{f}_k\right\rvert}^2 < \infty\): \({\left\lvert f\right\rvert}_k < \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(1/k^{1/2+\epsilon})\) voor een \(\epsilon>0\)

    \(\lim_{n\to \infty} {\left\lVert f_n - f\right\rVert}_2 = 0\)

  • als \(\sum_{k\in{\mathbb{Z}}} {\left\lvert\widehat{f}_k\right\rvert} < \infty\): absoluut sommeerbaar: \({\left\lvert f\right\rvert}_k < \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(1/k^{1+\epsilon})\) voor een \(\epsilon>0\)

    \(\Rightarrow\) uniforme convergentie \(\lim_{n\to \infty} \sup_{x \in [0,L]} {\left\lvert f_n(x) - f(x)\right\rvert} = 0\)

    (continuïteit van \(f(x)\) is noodzakelijke voorwaarde)

• voorbeeld: zaagtandfunctie (periodieke extensie van \(f(x)=x-\pi\) op \([0,2\pi]\) naar \({\mathbb{R}}\))

  \(f(x) = x-\pi - 2\pi \left\lfloor \frac{x}{2\pi} \right\rfloor =(x-\pi) + \sum_{n=-\infty}^{0} 2\pi H(2\pi n - x) - \sum_{n=1}^{+\infty} 2\pi H(x - 2\pi n)\)

  \(\widehat{f}_0 = 0\) en voor \(k \neq 0\):

  \(\widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{2\pi} (x-\pi) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}k x}\,{\mathrm{d}}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\left[\frac{(x-\pi){\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}k x}}{-{\mathrm{i}}k}\right]_{0}^{2\pi} +\frac{1}{{\mathrm{i}}k} \int_{0}^{2\pi} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}k x}\,{\mathrm{d}}x\right) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{2 \pi}{{\mathrm{i}}k}\)

  \(\Rightarrow\) \(\sum_{\substack{k \in {\mathbb{Z}}\\ k\neq 0}} -\frac{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k x}}{{\mathrm{i}}k} = -\sum_{k =1}^{+\infty} \frac{2\sin(k x)}{k}\) convergeert in \(2\)-norm maar niet uniform (Gibbs-fenomeen)

Reeksen van distributies

\(f(x) = x-\pi - 2\pi \left\lfloor \frac{x}{2\pi} \right\rfloor =(x-\pi) + \sum_{n=-\infty}^{0} 2\pi H(2\pi n - x) - \sum_{n=1}^{+\infty} 2\pi H(x - 2\pi n)\)

• primitieve:

  \(F(x) = \int_{\pi}^{x} f(x)\,{\mathrm{d}}x = \frac{1}{2}\left(x-\pi - 2\pi \left\lfloor \frac{x}{2\pi}\right\rfloor\right)^2 = 2 \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos(kx)-(-1)^k}{k^2}\)

  \(\Rightarrow\) uniforme convergentie

• afgeleide: \(f\) is afleidbaar voor \(x \neq n 2\pi\) met \(f'(x) = 1\)

• distributionele afgeleide: \(f'(x) = 1 - \sum_{n\in {\mathbb{Z}}} 2\pi \delta(x - n 2\pi) = - \sum_{\substack{k=-\infty \\ k\neq 0}}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k x}\) \(\Rightarrow 2\pi\sum_{n\in {\mathbb{Z}}} \delta(x - n 2\pi) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k x}\) (Dirac’s kam-distributie)

• “bewijst” convergentie Fourierreeks voor \(\varphi \in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}([0,2\pi])=\mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}([0,2\pi]) = C^{\infty}([0,2\pi])\):

  \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{\varphi}_k {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k x} = \frac{1}{2\pi} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \left[\int_{0}^{2\pi} \varphi(y) {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k (x - y)}\,{\mathrm{d}}y \right]\) \(\qquad= \int_{0}^{2\pi} \varphi(y) \sum_{n\in {\mathbb{Z}}} \delta(x - y - n 2\pi)\,{\mathrm{d}}y = \varphi(x)\)

• polynomiaal stijgende Fourierreeks: \(\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (ik)^p {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}k x} = 2\pi \sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \delta^{(p)}(x - 2\pi n)\)

Fouriertransformatie van distributies

• Reguliere distributie met \(f \in L^1({\mathbb{R}}) {\preccurlyeq}L^1_{\text{loc}}({\mathbb{R}})\):

  \[\begin{align*} \widehat{T}_f[\varphi] = T_{\widehat{f}}[\varphi] &= \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(y) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2 \pi x y} \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x \,{\mathrm{d}}y \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \widehat{\varphi}(y)\,{\mathrm{d}}y = T_f[\widehat{\varphi}] \end{align*}\]

• Algemene definitie?

  • enkel als \(\widehat{\varphi}\) ook een testfunctie is
  • voor \(\varphi(x)\) met compacte drager is \(\widehat{\varphi}(\xi)\) analytisch en kan het geen compacte drager hebben: \(\widehat{\varphi}\not\in \mathcal{D}({\mathbb{R}})\)

• Voor \(\varphi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}})\): \(\widehat{\varphi}\in \mathcal{S}({\mathbb{R}})\) \(\Rightarrow\) we beperken ons tot distributies in \(\mathcal{S}^\ast({\mathbb{R}})\)

• We moeten nog bespreken wat convergentie \(\lim_{n\to \infty} \varphi_n = \varphi\) in \(\mathcal{S}({\mathbb{R}})\) betekent:

  \(\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in {\mathbb{R}}} {\left\lvert x^k \frac{{\mathrm{d}}^l\ }{{\mathrm{d}}x^l} (\varphi_n(x) - \varphi(x)) \right\rvert} = 0\) voor alle \(k, l \in {\mathbb{N}}\)

Getemperde distributies

• Met grotere ruimte van testfuncties en bijbehorende convergentiemaat:

  kleinere verzameling continue lineaire functionalen \(\mathcal{S}^\ast({\mathbb{R}}) {\preccurlyeq}\mathcal{D}^\ast({\mathbb{R}})\)

• Welke distributies zitten er in \(\mathcal{S}^\ast({\mathbb{R}})\)?

  • reguliere distributies \(T_f\) met \(f\) die niet “te snel” stijgt:

    • er moet gelden, voor grote \({\left\lvert x\right\rvert}\): \(f(x) < \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}({\left\lvert x\right\rvert}^p)\) voor een bepaalde \(p \in {\mathbb{N}}\)

    • \(f(x) = \exp(x)\) of \(f(x) =\exp(x^2)\) definieert geen reguliere distributie in \(\mathcal{S}^\ast({\mathbb{R}})\)

  • singuliere distributies:

    • bevat Dirac delta en zijn afgeleiden
    • bevat \(\mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{x}\) (als afgeleide van \(\log {\left\lvert x\right\rvert}\) die trager dan elke macht stijgt)

\(\rightarrow\) getemperde distributies (niet te snel stijgend)

• Algemene definitie: \(\widehat{T}[\varphi] = T[\widehat{\varphi}]\) voor \(T \in \mathcal{S}^\ast({\mathbb{R}})\) en \(\varphi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}})\)

Fouriertransformatie van getemperde distributies

Voorbeelden:

• \(\widehat{\delta_a}[\varphi] = \delta_a[\widehat{\varphi}] = \widehat{\varphi}(a) = T_{{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi a x}}[\varphi]\) \(\Rightarrow\) “\(\widehat{\delta}_a(x) = {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi a x}\)” en “\(\widehat{\delta}(x) = 1\)”

• \(\widehat{T'} = J \widehat{T}\) met \(J:\xi \mapsto {\mathrm{i}}2\pi \xi\) en dus \(\widehat{H'} = \widehat{\delta} = 1 = J \widehat{H}\)

  • daaruit volgt niet dat \(\widehat{H}(\xi) = 1/({\mathrm{i}}2\pi \xi)\)

  • als (distributionele) limiet: \(H(x) = \lim_{s \to 0^+} {\mathrm{e}}^{-s x} H(x)\)

    \[\begin{align} \widehat{H}(\xi) &= \lim_{s\to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-s x} H(x) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x = \lim_{s\to 0^+} \int_0^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-(s + {\mathrm{i}}2\pi \xi) x}\,{\mathrm{d}}x \nonumber\\ &= \lim_{s\to 0^+} \frac{1}{s + {\mathrm{i}}2\pi \xi} = -{\mathrm{i}}\lim_{s\to 0^+} \frac{1}{2\pi \xi - {\mathrm{i}}s} = -\frac{{\mathrm{i}}}{2\pi} \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{\xi} + \frac{1}{2} \delta(\xi). \end{align}\]

    (compatibel met \((J \widehat{H})(\xi)=1\) want \(\xi \delta(\xi) = 0\) en \(\xi \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{\xi} = 1\))

• \(\widehat{\mathrm{sgn}}(\xi) = \frac{1}{2}(\widehat{H}(x) - \widehat{H}(-x)) = -\frac{{\mathrm{i}}}{2\pi} \mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{x}\) (gevolg van voorgaande)

Poisson sommatieformule

• voor \(\varphi \in \mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}({\mathbb{R}})\) (gladde functie die sneller dan elke macht van \({\left\lvert x\right\rvert}\) daalt) geldt \[\sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \varphi(n) = \sum_{k\ \in {\mathbb{Z}}} \widehat{\varphi}(k)\]

• bewijs:

  • start van Dirac’s kamdistributie: \(\sum_{n\in{\mathbb{Z}}} \delta(x - n) = \sum_{k\in {\mathbb{Z}}} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi k x}\)

  • herken \(\widehat{\delta_k}(\xi) = {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi k \xi}\) \(\Rightarrow \sum_{n\in{\mathbb{Z}}} \delta(x - n) = \sum_{k\in {\mathbb{Z}}} \widehat{\delta_k}(x)\)

    of dus \(\sum_{n\in {\mathbb{Z}}} \delta_n = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{\delta}_k\)

  • toegepast op testfunctie:

    \(\sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \varphi(n)= \sum_{n\in {\mathbb{Z}}} \delta_n[\varphi] = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{\delta}_k[\varphi] = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{\varphi}(k)\)

• toegepast op Gaussische distributie: \(\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \sum_{n\in {\mathbb{Z}}} {\mathrm{e}}^{-\frac{n^2}{2\sigma^2}} = \sum_{k\in {\mathbb{Z}}} {\mathrm{e}}^{-2 \pi^2 \sigma^2 k^2}\)

  als ene som snel convergeert (\(\sigma\) groot of klein) convergeert andere traag

Distributies en convoluties?

Voor reguliere distributies geassocieerd aan \(f,g \in L^1({\mathbb{R}})\): \(f \ast g \in L^1({\mathbb{R}})\)

\[\begin{align*} (T_f \ast T_g)[\varphi] &= T_{f \ast g}[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} (f \ast g)(x) \varphi(x)\,{\mathrm{d}}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{d}}y \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{d}}x f(x-y) g(y) \varphi(x) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{d}}y \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{d}}x f(x) g(y) \varphi(x+y)\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} g(y) T_f[{\hat{\tau}}_{-y} \varphi] = T_g[\psi]\ \text{with}\ \psi(y) = T_f[{\hat{\tau}}_{-y} \varphi] = ({\hat{\tau}}_y T_f)[\varphi]\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) T_g[{\hat{\tau}}_{-x} \varphi] = T_f[\chi]\ \text{with}\ \chi(x) = T_g[{\hat{\tau}}_{-x} \varphi] = ({\hat{\tau}}_x T_g)[\varphi] \end{align*}\]

\(\rightarrow\) algemene definitie? vereist dat \(\psi\) of \(\chi\) nog steeds een testfunctie is

• \(f(x) = x\), \(\varphi(x) = {\mathrm{e}}^{-x^2} \in \mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}({\mathbb{R}})\): \(\psi(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} x {\mathrm{e}}^{-(x+y)^2}\,{\mathrm{d}}x = -y \sqrt{\pi}\)

  \(\rightarrow\) geen testfunctie in \(\mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}({\mathbb{R}})\)

Compacte distributies

• “Drager van een distributie” \(T\): gesloten verzameling \(K \subseteq \Omega\) zodat \(T[\varphi] =0\) voor alle \(\varphi\) met \(\mathrm{supp}(\varphi) \subseteq \Omega \setminus K\)

  • reguliere distributie: \(\mathrm{supp}(T_f) = \mathrm{supp}(f)\)
  • \(\mathrm{supp}(\delta^{(n)}) = \{0\}\)
  • \(\mathrm{supp}(\mathop{\mathrm{Pv}}\frac{1}{x}) = {\mathbb{R}}\)

• als \(K\) compacte deelverzameling is van \(\Omega\): compacte distributie

  (compacte distributies komen overeen met \(\mathcal{E}^\ast(\Omega)\))

• voor \(S\) een compacte distributie en \(\varphi\) een testfunctie in \(\mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}({\mathbb{R}})\) of \(\mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}({\mathbb{R}})\) is \(\psi:y \mapsto ({\hat{\tau}}_y S)[\varphi]\) opnieuw een testfunctie in \(D({\mathbb{R}})\) of \(\mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}({\mathbb{R}})\) (zonder bewijs)

• Convoluties kunnen worden gedefinieerd tussen 1 (getemperde) distributie \(T \in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}^{\ast}({\mathbb{R}})\) of \(\mathop{\mathrm{\mathcal{S}}}^\ast({\mathbb{R}})\) en 1 compacte distributie \(S\) als \[(S \ast T)[\varphi] = T[ y \mapsto ({\hat{\tau}}_y S)[\varphi]]\]

Convoluties van distributies: voorbeelden

• \((\delta_a \ast T)[\varphi] = T[y \mapsto ({\hat{\tau}}_y\delta_a)[\varphi]] = T[y\mapsto \delta_{a+y}[\varphi]] = T[y \mapsto \varphi(y+a)]\) \(\qquad= T[{\hat{\tau}}_{-a} \varphi] = ({\hat{\tau}}_{a} T)[\varphi]\)

  \(\Rightarrow\) \(\delta\) is “neutraal element” voor convolutie

• \((\delta' \ast T)[\varphi] = T[y \mapsto \delta'_y[\varphi]] = T[y\mapsto (-\varphi'(y))] = - T[\varphi'] = T'[\varphi]\)

  en dus \(\delta^{(n)} \ast T = T^{(n)}\)

• niet noodzakelijk associatief:

  \(1 \ast (\delta' \ast H) = 1 \ast H' = 1 \ast \delta = 1\) versus \((1 \ast \delta') \ast H = 0 \ast H = 0\)

• lineair systeem: \(u = {\hat{A}} \varphi\) met \({\hat{A}}\) een lineaire operator op \(\mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}({\mathbb{R}})\) die bovendien translatie-invariant is: \({\hat{\tau}}_a {\hat{A}} = {\hat{A}}{\hat{\tau}}_a\)

  • \(\varphi(t) = (\varphi \ast \delta)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(s) \delta(t - s) \,{\mathrm{d}}s\)
  • \(u(t) = ({\hat{A}} \varphi)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(s) ({\hat{A}} \delta_s) (t) \,{\mathrm{d}}s = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) ({\hat{A}} {\hat{\tau}}_s \delta)(t) \,{\mathrm{d}}s\) \(\qquad = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) ({\hat{\tau}}_s {\hat{A}} \delta)(t) \,{\mathrm{d}}s = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) h(t - s) \,{\mathrm{d}}s\)

  \(\Rightarrow h(t)={\hat{A}}\delta(t)\) is impulsrespons

  (komt overeen met Greense functie als \({\hat{A}}={\hat{G}}\) of dus \({\hat{L}} x = u\))

Fourieranalyse herbekeken

Types Fouriertransformaties

Tot dusver: Fouriertransformaties gedefinieerd voor functies \(f\) met domein

• \(\{0,\ldots,N-1\} = {\mathbb{Z}}/ (N {\mathbb{Z}}) \cong {\mathbb{Z}}_N\): discrete Fouriertransfomratie (DFT) in H6
• \([0,L] \cong {\mathbb{R}}/(L {\mathbb{Z}}) \cong \mathbb{T}^{(1)}_L\): Fourierreeks (H7)
• \({\mathbb{R}}\): Fouriertransformatie (H9)

We kunnen ook een Fouriertransformatie definiëren voor functies \(f\) met domein

• \({\mathbb{Z}}\): discrete “tijd” Fouriertransformatie (DTFT):

  \[\begin{equation} \widehat{f}(\xi) = \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} f_j {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi j} \quad\leftrightarrow\quad f_j = \int_{0}^{1} \widehat{f}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi j} \end{equation}\]

  met frequentie \(\xi \in [0,1]\) of, meer gebruikelijk, met hoekfrequentie \(\omega \in [-\pi,+\pi]\)

  \[\begin{equation} \widehat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} f_j {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\omega j} \quad\leftrightarrow\quad f_j = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{2\pi} \widehat{f}(\omega) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\omega j} \end{equation}\]

Types Fouriertransformaties

• Convergentie van DTFT is volledig analoog aan Fourierreeks (beide zijn gerelateerd via omwisselen interpretatie van origineel en Fourierbeeld)

• Samengevat:

\(\mathop{\mathrm{dom}}(f)\)	Voorwaartse transformatie	Inverse transformatie	\(\mathop{\mathrm{dom}}(\widehat{f})\)
\({\mathbb{Z}}/(N{\mathbb{Z}})\)	\(\widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j \in {\mathbb{Z}}_N} f_j {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{N} k j}\)	\(f_j= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}_N} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{N} k j}\)	\({\mathbb{Z}}/(N{\mathbb{Z}})\)
\({\mathbb{R}}/ (L {\mathbb{Z}})\)	\(\widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{L}} \int_{\mathbb{T}_L} f(x) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\,{\mathrm{d}}x\)	\(f(x)= \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\)	\({\mathbb{Z}}\)
\({\mathbb{Z}}\)	\(\widehat{f}(\xi) = \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} f_j {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi j}\)	\(f_j = \int_{\mathbb{T}_1} \widehat{f}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi j}\,{\mathrm{d}}\xi\)	\({\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}\)
\({\mathbb{R}}\)	\(\widehat{f}(\xi) = \int_{{\mathbb{R}}} f(x) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}x\)	\(f(x) = \int_{{\mathbb{R}}} \widehat{f}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x}\,{\mathrm{d}}\xi\)	\({\mathbb{R}}\)

Fouriertransformaties relateren

• functie \(f\) met domein \([0,L]\) heeft Fourierreeks \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k\in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x}\)

• twee mogelijke uitbreidingen naar een functie op \({\mathbb{R}}\):

  • \(f^{\text{(triv)}}(x) = \begin{cases} f(x), &x \in [0,L]\\ 0,& x \not\in [0,L]\end{cases}\) \(\quad \Rightarrow\) \(\widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{L}} \widehat{f}^{\text{(triv)}}(k/L)\) voor alle \(k \in {\mathbb{Z}}\).

  • \(f^{\text{(per)}}(x) = f(x \mod L)\) (dit is wat de Fourierreeks vanzelf doet)

    \(\Rightarrow\) \(f^{\text{(per)}}\) is niet absoluut integreerbaar en heeft dus geen Fouriertransformatie in de klassieke zin

    \(\Rightarrow\) in de distributionele zin:

    \(\widehat{f}^{\text{(per)}}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k \int_{-\infty}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{-i 2\pi \left(\xi - \frac{k}{L} \right) x}\,{\mathrm{d}}x\) \(\qquad = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}_k \delta\left(\xi - \frac{k}{L}\right) = \frac{1}{L} \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}^{\text{(triv)}}(k/L) \delta\left(\xi-\frac{k}{L}\right)\)

Fouriertransformaties relateren

• analoog voor \(f\) met domein \({\mathbb{Z}}_N\) en zijn uitbreiding naar \({\mathbb{Z}}\)

  • discrete Fouriertransformatie: \(f_j = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k \in {\mathbb{Z}}_N} \widehat{f}_k {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}\frac{2\pi}{N}k j}\)

  • Relatie tussen DFT van \(f\) en DTFT van triviale uitbreiding naar \({\mathbb{Z}}\): \(f^{(\text{triv})}_j = 0\) voor \(j \not \in \{0,\ldots,N-1\}\)

    \(\widehat{f}_k = \frac{1}{\sqrt{N}} \widehat{f}^{\text{(triv)}}(k/N),\quad \forall k \in {\mathbb{Z}}_{N}\)

  • Relatie met DTFT van periodieke uitbreiding naar \({\mathbb{Z}}\):

    \[\begin{align} \widehat{f}^{\text{(per)}}(\xi) &= \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k \in {\mathbb{Z}}_N} \widehat{f}_k \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \left(\xi - \frac{k}{N}\right)j} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k \in {\mathbb{Z}}_N} \widehat{f}_k \sum_{m \in {\mathbb{Z}}} \delta\left(\xi - \frac{k}{N} - m\right) \\ &= \frac{1}{N}\sum_{k \in {\mathbb{Z}}_N} \widehat{f}^{\text{(triv)}}(k/N) \sum_{m \in {\mathbb{Z}}} \delta\left(\xi - \frac{k}{N} - m\right) \end{align}\]

    \(\rightarrow\) DTFT beeld \(\widehat{f}^{\text{(per)}}(\xi)\) is zelf periodiek met periode \(1\):

    daarvoor zorgt de som over \(n\) (Dirac’s kamdistributie)

Sampling en Shannon-Nyquisttheorema

Beschouw functie \(f(x)\) voor \(x \in {\mathbb{R}}\), en zijn samples \(F_j = f(j \epsilon)\) voor \(j \in {\mathbb{Z}}\)

• DTFT van samples \(F_j\) kunnen gerelateerd worden aan FT van \(f(x)\):

  \[\begin{align*} \widehat{F}(\chi) &= \sum_{j\in {\mathbb{Z}}} F_j {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \chi j} = \sum_{j\in {\mathbb{Z}}} \left(\int_{{\mathbb{R}}} \widehat{f}(\xi) {\mathrm{e}}^{+{\mathrm{i}}2\pi \xi x_j}\,{\mathrm{d}}\xi\right) {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}2\pi \chi j} \\ &= \int_{{\mathbb{R}}} \widehat{f}(\xi) \left[\sum_{j\in {\mathbb{Z}}} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}2\pi (\xi \epsilon-\chi)j}\right]\,{\mathrm{d}}\xi = \int_{{\mathbb{R}}} \widehat{f}(\xi) \left[\sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \delta(\xi \epsilon - \chi -n )\right]\,{\mathrm{d}}\xi \\ &= \sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \frac{1}{\epsilon} \widehat{f}\left(\frac{\chi}{\epsilon} - \frac{n}{\epsilon}\right) \end{align*}\]

Sampling en Shannon-Nyquisttheorema

• \(f\) heeft een gelimiteerde brandbreedte heeft met maximale frequentie \(\Xi\) als \(\mathrm{supp}(f) \subseteq [-\Xi,+\Xi]\)

• als \(f\) een gelimiteerde bandbreedte heeft met maximale frequentie \(\Xi\), en gesampled wordt met een samplefrequentie \(1/\epsilon > 2 \Xi\) (Nyquistfrequentie), dan kan \(\widehat{f}\) exact gereconstrueerd worden uit de DTFT \(\widehat{F}\) van de samples \(F_j=f(j\epsilon)\) via \[\begin{equation} \widehat{f}(\xi) = \begin{cases} \epsilon \widehat{F}(\epsilon\xi),&{\left\lvert\xi\right\rvert} \leq \frac{1}{2\epsilon}\\ 0,&{\left\lvert\xi\right\rvert} > \frac{1}{2\epsilon} \end{cases}.\label{eq:fourier:reconstructftlimited} \end{equation}\]

• als we een functie \(f\) op \({\mathbb{R}}\) uit zijn samples \(F_j = f(j \epsilon)\) reconstrueren via de Whittaker–Shannon interpolatieformule:

  \(f^{\text{(rec)}}(x) = \sum_{j \in {\mathbb{Z}}} F_j \mathop{\mathrm{sinc}}\left(\pi \frac{x - j\epsilon}{\epsilon}\right)\) (met \(\mathop{\mathrm{sinc}}(x) = \sin(x)/x\))

  dan geldt \(\widehat{f}^{\text{(rec)}}(\xi) = H\left(\frac{1}{2\epsilon}-{\left\lvert\xi\right\rvert}\right) \sum_{n \in {\mathbb{Z}}} \widehat{f}\left(\xi - \frac{n}{\epsilon}\right)\)

  \(\rightarrow\) de reconstructie is exact als \(f\) bandgelimiteerd is met frequentie \(\Xi < \frac{1}{2\epsilon}\)

  \(\rightarrow\) indien \(f\) niet bandgelimiteerd: aliasing / moirépatronen

Translaties

• voor functies op \({\mathbb{R}}\) of \({\mathbb{Z}}\):

  • \(({\hat{\tau}}_a f)(x) = f(x-a)\) of \(({\hat{\tau}}_m f)_j = f_{j-m}\)

  • translaties vormen een Abelse groep: \(({\mathbb{R}},+)\) of \(({\mathbb{Z}},+)\)

    \({\hat{\tau}}_0 = {\hat{1}}\), \({\hat{\tau}}_a {\hat{\tau}}_b = {\hat{\tau}}_b {\hat{\tau}}_a = {\hat{\tau}}_{a+b}\), \({\hat{\tau}}_a {\hat{\tau}}_{-a} = {\hat{1}}\)

  • voor functies op \({\mathbb{R}}/(L{\mathbb{Z}})\) of \({\mathbb{Z}}/(N{\mathbb{Z}})\cong {\mathbb{Z}}_N\): bijkomende voorwaarde:

    \({\hat{\tau}}_L = {\hat{1}}\) of \({\hat{\tau}}_N = {\hat{1}}\)

• translatie-invariante operatoren: \({\hat{A}}{\hat{\tau}} = {\hat{\tau}}{\hat{A}}\)
  • op functies op \(\{0,\ldots,N-1\} \cong {\mathbb{Z}}_N\): circulante matrices
  • op functies op \({\mathbb{R}}\) of \([0,L] \cong {\mathbb{R}}/(L{\mathbb{Z}})\):
    • afgeleide operator \({\hat{D}}\): \(({\hat{D}}{\hat{\tau}}_a f)(x) = \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} f(x-a) = f'(x-a) = ({\hat{\tau}}_a f')(x)= ({\hat{\tau}}_a {\hat{D}} f)(x)\)
    • integraaloperator \({\hat{A}}\): als integraalkern van de vorm \(A(x,y) = a(x-y)\) is \(({\hat{A}}f)(x) = \int A(x,y)f(y)\,{\mathrm{d}}y = \int a(x-y) f(y)\,{\mathrm{d}}y = (a \ast f)(x)\)

Eigenfuncties van translaties

• \({\left[{\hat{A}},{\hat{\tau}}_a\right]}={\hat{0}}\) en alle \({\left[{\hat{\tau}}_a,{\hat{\tau}}_b\right]} = {\hat{0}}\) (abelse groep)

  \(\rightarrow\) hebben \(\tau_a\) voor alle \(a\) en \({\hat{A}}\) gezamelijke eigenfuncties? zijn ze gelijktijdig “diagonaliseerbaar”?

• \(({\hat{\tau}}_a f)(x) = f(x-a) = \lambda_a f(x)\):

  • zonder voorwaarde op de functieruimte: \(f(x) = \exp(s x)\) en \(\lambda_a = \exp(s a)\) voor alle \(s \in {\mathbb{C}}\) (startpunt voor Laplace transformatie: zie cursus Complexe Analyse)

  • voor functies op \([0,L] \cong {\mathbb{R}}/(L{\mathbb{Z}})\):

    \({\hat{\tau}}_L = {\hat{1}}\implies \exp(s L) = 1 \implies s = {\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L}k\) voor \(k \in {\mathbb{Z}}\)

    • eigenfuncties \(\exp({\mathrm{i}}\frac{2\pi}{L} k x)\) vormen basis als we ons beperken tot \(L^2([0,L])\)

  • voor \(L^2({\mathbb{R}})\):

    • de functies \(\psi_s(x) = \exp(s x)\) zijn nooit normaliseerbaar en dus niet in \(L^2({\mathbb{R}})\)
    • de functies \(\exp({\mathrm{i}}2\pi \xi x - \epsilon {\left\lvert x\right\rvert})\) zitten (voor \(\epsilon>0\)) in \(L^2({\mathbb{R}})\) en vormen benaderende eigenvectoren (continue spectrum)

Eigenfuncties van translaties

• \(({\hat{\tau}}_n f)_j = f_{j-n} = \lambda_n f_j\):

  • zonder voorwaarde op de rijruimte: \(f_j = \exp(s j)\) en \(\lambda_n = \exp(s n)\)

  • keuzes \(s\) en \(s + {\mathrm{i}}2\pi k\) voor \(k \in {\mathbb{Z}}\) leiden tot zelfde \(\lambda_n\) voor alle \(n\)

    \(\Rightarrow \mathop{\mathrm{Im}}(s) \in (-\pi,+\pi]\)

    vaak geschreven als \(f_j = z^j\) met \(z = {\mathrm{e}}^s\): startpunt voor Z-transformatie

  • voor functies op \({\mathbb{Z}}_n\): \({\hat{\tau}}_N = {\hat{1}}\implies s = {\mathrm{i}}\frac{2\pi}{N} k\) met \(k \in {\mathbb{Z}}_N\)

  • voor kwadratisch integreerbare functies:

    \(s = {\mathrm{i}}2\pi \xi\) met \(\xi \in [0,1)\) (continu spectrum)

• Pontryagin dualiteit:
  • Discreet versus continu in origineel domein: onbegrensd versus begrensd (compact) in Fourier domein
  • Onbegrensd versus compact in origineel domein: continu versus discreet in Fourier domein

Fouriertransformaties en translatie-invariante operatoren

• we weten al: DFT diagonaliseert circulante matrices

• voor afgeleide-operator: \({\hat{F}}({\hat{D}}f)(\xi) = {\hat{F}}(f')(\xi)= 2\pi {\mathrm{i}}\xi \widehat{f}(\xi) = {\hat{M}}_{2\pi {\mathrm{i}}\xi} ({\hat{F}}f)(\xi)\)

  \(\Rightarrow\) \({\hat{F}}{\hat{D}}{\hat{F}}^\dagger = {\hat{M}}_{2\pi {\mathrm{i}}\xi}\) (multiplicatie-operator op Fourierbeeld)

• voor translatie-invariante integraaloperator:

  \({\hat{F}}({\hat{A}} f)(\xi) = {\hat{F}}(a \ast f)(\xi) = \widehat{a}(\xi) \widehat{f}(\xi) = {\hat{M}}_{\widehat{a}(\xi)} ({\hat{F}}f)(\xi)\)

  \(\Rightarrow\) \({\hat{F}}{\hat{A}}{\hat{F}}^\dagger = {\hat{M}}_{\widehat{a}(\xi)}\) (multiplicatie-operator op Fourierbeeld)

• Translatie-invariante differentiaaloperatoren EN integraaloperatoren worden door Fouriertransformatie omgezet in multiplicatie-operatoren (\(\approx\) diagonaal):

  • eenvoudig te inverteren
  • Fouriertransformatie om Greense functie te bereken