Hoofdstuk 8 - Lineaire differentiaaloperatoren

Doel van dit hoofdstuk

$$ % Math operators % %

% VECTORS

% specifically for vectors in F^n

% MATRICES

% SCALARS

% LINEAR MAPS

% FIELDS

% RELATIONS

% % % % % % % % %

%

$$

• Lineaire differentiaalvergelijkingen + randvoorwaarden
  • Beginvoorwaardeproblemen
  • Randvoorwaardeproblemen
• Algemene eigenschappen van differentiaaloperatoren en randvoorwaarden
• Algemene structuur en eigenschappen van de oplossingen
• Algemene oplossingsstrategieën
• Eigenwaardeproblemen met differentiaaloperatoren

Differentiaaloperatoren en hun toegevoegde

Lineaire differentiaalvergelijkingen

• Lineaire differentiaalvergelijking:

  ({\hat{L}} u)(x) = f(x),\quad a < x < b

  met (lineaire) differentiaaloperator

  ({\hat{L}}u)(x) = a_p(x) \frac{{\mathrm{d}}^p u}{{\mathrm{d}}x^p}(x) + a_{p-1}(x) \frac{{\mathrm{d}}^{p-1} u}{{\mathrm{d}}x^{p-1}}(x) + \ldots + a_1(x) \frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}x}(x)+ a_0(x) u(x)

• Randvoorwaarden: B_i[u] = \gamma_i, i=1,\ldots,m met hierin

  B_i[u] = \sum_{j=1}^{p} \alpha_{i,j} \frac{{\mathrm{d}}^{j-1} u}{{\mathrm{d}}x^{j-1}}(a) + \sum_{j=1}^{p} \alpha_{i,j+p} \frac{{\mathrm{d}}^{j-1} u}{{\mathrm{d}}x^{j-1}}(b)

  • randvoorwaarden onafhankelijk als {\mathsf{B}} = \begin{bmatrix} \alpha_{1,1} &\dots &\alpha_{1,2p}\\ \vdots & & \vdots\\ \alpha_{m,1} &\dots &\alpha_{m,2p} \end{bmatrix} rang m heeft

(Terugkerend) voorbeeld

-u''(x) = x

• zonder randvoorwaarden: u(x) = c_1 + c_2 x -\frac{1}{2} x^2
• één randvoorwaarde:
  • u(0)=0 \Rightarrow u(x) = c_2 x - \frac{1}{2} x^2
  • u'(0) = 0 \Rightarrow u(x) = c_1 - \frac{1}{2} x^2
• twee randvoorwaarden:
  • u(0) = u(1) = 0 \Rightarrow u(x) = -\frac{1}{2}x^2 +\frac{1}{2} x (unieke oplossing)
  • u'(0) = u'(1) = 0 \Rightarrow geen oplossingen

\rightarrow hoe kunnen we het bestaan en de uniciteit van de oplossingen karakteriseren?

Bijkomende bemerkingen

1. Met behulp van de positie en afleidingsoperator kunnen we {\hat{L}} schrijven als

   {\hat{L}} = \sum_{j=0}^{p} a_j({\hat{X}}) {\hat{D}}^j

2. In de fysica: bijna steeds tweede-orde differentiaalvergelijkingen:

   ({\hat{L}}u)(x) = a_2(x) \frac{{\mathrm{d}}^2 u}{{\mathrm{d}}x^2}(x) + a_{1}(x) \frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}x}(x) + a_0(x) u(x)

   • Voor meerdere bewijzen wordt enkel het p=2 geval aan bord gebracht, zelfs al doet de cursus algemene orde p. Ook voor het examen is p=2 voldoende.

Bijkomende bemerkingen

3. Waarde en regulariteit van de coefficiënten a_k(x)?

   • worden meestal reëel verondersteld \Rightarrow ook oplossing u(x) reëel

     • zeker in wiskunde-literatuur
     • in kwantummechanica soms complexe coefficiënten nodig

   • worden voldoende glad verondersteld:

     • voor het definiëren van de toegevoegde operator (zie later) is a_k(x) \in C^k([a,b],{\mathbb{R}}) noodzakelijk

   • a_p(x) \neq 0 voor x\in [a,b] of minstens x\in(a,b)

Bijkomende bemerkingen

4. Domein van oplossingen = domein van {\hat{L}}

   • hoogste afgeleide u^{(p)}(x) moet bestaan en kwadratisch integreerbaar zijn

     \Rightarrow u^{(p-1)}(x) moet continu zijn

     \Rightarrow minstens u(x) \in C^{(p-1)}([a,b])

   • technisch: pde afgeleide kan in zwakke zin bestaan (zie H9)

     \rightarrow u \in H^p([a,b]) = Sobolevruimte

   • soms willen we ook de (homogene) randvoorwaarden opnemen in het domein van {\hat{L}}

Superpositie

• superpositie = belangrijkste eigenschap/gevolg van lineariteit

  \begin{align*} {\hat{L}} u_1 &= f_1 &\text{met}&&B_i[ u_1 ] = \gamma_{1,i}, \forall i =1,\ldots,m\\ {\hat{L}} u_2 &= f_2 &\text{met}&&B_i[ u_2 ] = \gamma_{2,i} \forall i =1,\ldots,m \end{align*}

  \Rightarrow u =a^1 u_1 + a^2 u_2 is de oplossing van \begin{align*} {\hat{L}} u&= a^1 f_1 + a^2 f_2 &\text{met}&&B_i[ u ] = a^1 \gamma_{1,i} + a^2 \gamma_{2,i}, \forall i =1,\ldots,m \end{align*}

• Vergelijk met {\mathsf{A}}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}

  • Rechterlid \boldsymbol{y} correspondeert met zowel het rechterlid f van de differentiaalvergelijking, als het rechterlid \gamma van de randvoorwaarden
  • Uniciteit hangt samen met het bestaan van niet-triviale oplossingen van de homogene vergelijking

  \Rightarrow (volledig) homogeen probleem = homogene differentiaalvergelijking met homogene randvoorwaarden

  ({\hat{L}} u)(x) = 0, \quad \forall a < x < b\qquad \text{with}\ B_i[u] = 0, \forall i=1,\ldots,m

Superpositie: structuur van de oplossingen

• We ontbinden de oplossing van het algemene probleem als u = u_0 + u_f + u_\gamma:

  • een oplossing u_0 van het volledig homogene probleem:

    ({\hat{L}} u_0)(x) = 0, \quad \forall a < x < b\qquad \text{with}\ B_i[u_0] = 0, \forall i=1,\ldots,m

    \Rightarrow u_0(x)=0 is steeds oplossing; indien andere oplossingen u_0 bestaan is de finale oplossing u niet uniek

  • een particuliere oplossing u_f van de inhomogene differentiaalvergelijking met homogene randvoorwaarden

    ({\hat{L}} u_f)(x) = f(x), \quad \forall a < x < b\qquad \text{with}\ B_i[u_f] = 0, \forall i=1,\ldots,m

  • een particuliere oplossing u_\gamma van de homogene differentiaalvergelijking met inhomogene randvoorwaarden

    ({\hat{L}} u_\gamma)(x) = 0, \quad \forall a < x < b\qquad \text{with}\ B_i[u_\gamma] = \gamma_i, \forall i=1,\ldots,m

  \rightarrow wanneer is het bestaan van u_f en u_\gamma gegarandeerd?

Existentie en uniciteit

• Existentie van u_\gamma is voor later

• Voor u_0 en u_f definiëren we de nu het domein van de differentiaaloperator als:

  \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}\,\!_{{\hat{L}}} = \{ u \in L^2([a,b]) | u^{(p)}\ \text{bestaat en}\ u^{(p)} \in L^2([a,b])\ \text{en}\ B_i[u] = 0, \forall i=1,\ldots,m\}

  • voor uniciteit: u_0 \in \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) \Rightarrow \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) = \{{o}\}?
  • voor bestaan van u_f: f \in \mathcal{R}_{{\hat{L}}} = \{{\hat{L}}u,\forall u \in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}_{{\hat{L}}}\}? \rightarrow niet echt praktisch

• Voor begrensde operator {\hat{A}}: \mathcal{R}_{{\hat{A}}} = \mathop{\mathrm{im}}({\hat{A}}) voldoet aan \overline{\mathop{\mathrm{im}}({\hat{A}})} = \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}}^\dagger)^\perp

  • f \in \overline{\mathop{\mathrm{im}}({\hat{A}})} \iff \forall w \in \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}}^\dagger): {\left\langle w,f\right\rangle}=0

  • {\hat{L}} is geen begrensde operator:

    \forall v \in \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}}^\dagger): {\left\langle v,f\right\rangle}={\left\langle v,{\hat{L}}u\right\rangle}={\left\langle L^\dagger v,u\right\rangle} = 0: noodzakelijk!

  • zonder bewijs: ook voldoende voorwaarde (gekend als “Fredholm alternative theorem”) voor zogenaamde Fredholm operatoren: omvat bepaalde klassen van differentiaaloperatoren

Toegevoegde operator

• We zijn geïnteresseerd in de kernel van de toegevoegde operator, i.e.

  \begin{align} ({\hat{L}}^\dagger v)(x) = 0, \quad \forall a < x < b\qquad \text{met}\ v\in\mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}\,\!_{{\hat{L}}^\dagger}\rightarrow\text{randvoorwaarden?} \end{align}

• formeel toegevoegde operator:

  {\hat{L}}^\dagger = \sum_{j=0}^{p} (-1)^{j} {\hat{D}}^j \overline{a_j}({\hat{X}})\implies ({\hat{L}}^\dagger v)(x) = \sum_{j=0}^{p} (-1)^j \frac{{\mathrm{d}}^j\ }{{\mathrm{d}}x^j} (\overline{a_j(x)} v(x))

  (met behulp van {\hat{D}}^\dagger = -{\hat{D}})

  • als {\hat{L}}={\hat{L}}^\dagger: formeel zelf-toegevoegd

• identiteit van Lagrange: (bewijs aan bord)

  \overline{v(x)} ({\hat{L}}u)(x) - \overline{({\hat{L}}^\dagger v)(x)}u(x) = \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} J(u(x),v(x))

  met hierin J(u(x),v(x)) = \sum_{j=0}^{p} \sum_{k=0}^{j-1} (-1)^k \left(\frac{{\mathrm{d}}^k\ }{{\mathrm{d}}x^k}[ a_j(x) \overline{v(x)}]\right)\left(\frac{{\mathrm{d}}^{j-1-k}\ }{{\mathrm{d}}x^{j-1-k}}u(x)\right)
  (bilineaire concomitant)

Toegevoegde operator: randvoorwaarden

• De identiteit van Lagrange geïntegreerd over [a,b] = identiteit van Green:

  {\left\langle v,{\hat{L}}u\right\rangle} - {\left\langle{\hat{L}}^\dagger v,u\right\rangle} =\left. J(u(x),v(x))\right|^b_a = \left. J(u(x),v(x))\right|_{x=b} - \left. J(u(x),v(x))\right|_{x=a}

• Met behulp van \begin{align} \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix}u(a) & u'(a) & \dots & u^{(p-1)}(a) & u(b) & u'(b) & \dots & u^{(p-1)}(b)\end{bmatrix}^{\mathsf{T}}\nonumber\\ \boldsymbol{y} = \begin{bmatrix}v(a) & v'(a) & \dots & v^{(p-1)}(a) & v(b) & v'(b) & \dots & v^{(p-1)}(b)\end{bmatrix}^{\mathsf{T}} \end{align}

  \Rightarrow \left. J(u(x),v(x))\right|^b_a = \boldsymbol{y}^{\mathsf{H}}{\mathsf{P}} \boldsymbol{x} met {\mathsf{P}} een 2p \times 2p matrix

• Randvoorwaarden voor {\hat{L}}: {\mathsf{B}} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} met {\mathsf{B}} een m \times 2p matrix met volle rang (=m)

  • stel: {\mathsf{K}} een 2p \times (2p-m) matrix met kolommen een basis voor \mathop{\mathrm{ker}}({\mathsf{B}})

    \Rightarrow (2p-m) randvoorwaarden voor toegevoegde operator:

    \boldsymbol{y}^{\mathsf{H}}{\mathsf{P}}{\mathsf{K}} = \boldsymbol{0}^{\mathsf{H}}\Leftrightarrow ({\mathsf{P}}{\mathsf{K}})^{\mathsf{H}}\boldsymbol{y} = \boldsymbol{0}

Toegevoegde operator: voorbeeld

• {\hat{L}}=-{\hat{D}}^2 op het interval [0,1]:
  • formeel toegevoegde: {\hat{L}}^\dagger = -{\hat{D}}^2 (formeel zelftoegevoegd)
  • identiteit van Green: \begin{align*} &\int_0^1 \overline{v(x)} (-u''(x))\,{\mathrm{d}}x - \int_0^1 (-\overline{v''(x)}) u(x)\,{\mathrm{d}}x\\ &\quad= [-v(1) u'(1) + v(0) u'(0)] + [v'(1) u(1) - v'(0) u(0)]. \end{align*}
  • randvoorwaarden voor {\hat{L}} \rightarrow randvoorwaarden voor {\hat{L}}^\dagger

    • m=0 \rightarrow v(0)=v(1)=v'(0)=v'(1)=0 (2p-m = 4)

    • m=1: u(0)=0 \rightarrow v(0)=v(1)=v'(1)=0 (2p-m=3)

    • m=2: u'(0)=u'(1)=0 \rightarrow v'(0)=v'(1)=0 (2p-m=2)

      \rightarrow {\hat{L}} is zelftoegevoegd

    • m=3: u(0)=u'(0)=u'(1) \rightarrow v'(1)=0 (2p-m=1)

      \rightarrow {\hat{L}} is symmetrisch maar niet zelftoegevoegd

Toegevoegde operator en existentie: voorbeeld

-u''(x) = f(x)

• zonder randvoorwaarden:

  u(x) = c_1 + c_2 x + \int_0^x{\mathrm{d}}y\left[\int_0^y {\mathrm{d}}z f(z)\right] = c_1 + c_2 x + \int_0^x {\mathrm{d}}z (x - z) f(z)

  • \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}): -u''(x)=0 \rightarrow \{u_0(x)=1, u_0(x)=x\} \implies 2 vrije paramaters
  • {\hat{L}}^\dagger heeft vier randvoorwaarden: \mathop{\mathrm{ker}}{{\hat{L}}^\dagger} =\{{o}\} \implies existentie voor elke f

• u(0) = u(1)=0: c_1=0, c_2 = -\int_0^1{\mathrm{d}}y\left[\int_0^y {\mathrm{d}}z f(z)\right] = \int_0^1 (1-z) f(z)\,{\mathrm{d}}z

  • \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) = \{{o}\} \implies uniciteit
  • {\hat{L}}^\dagger heeft randvoorwaarden v(0)=v(1)=0 (zelf-toegevoegd) \Rightarrow \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}^\dagger)=\{{o}\} \implies existentie voor elke f

• u'(0) = u'(1)=0: u'(0)=c_2 = 0 en u'(1) = c_2 + \int_0^1 \,{\mathrm{d}}z f(z)=0

  • \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) = \{u_0(x)=1\} \implies 1 vrije parameter (c_1)
  • {\hat{L}}^\dagger heeft randvoorwaarden v'(0)=v'(1)=0 \Rightarrow \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}^\dagger)=\{v_0(x)=1\} \implies existentie enkel als {\left\langle v_0,f\right\rangle}=0 = \int_0^1\,{\mathrm{d}}z f(z)

Toegevoegde operator en existentie: voorbeeld

-u''(x) = f(x)

• u(0) = u'(0) =u'(1) = 0: c_0=0, c_2=0, c_2 + \int_0^1 \,{\mathrm{d}}z f(z)=0
  • \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) = \{{o}\} \implies uniciteit
  • {\hat{L}}^\dagger heeft randvoorwaarden v'(1)=0 \Rightarrow \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}^\dagger)=\{v_0(x)=1\} \implies existentie enkel als {\left\langle v_0,f\right\rangle}=0 = \int_0^1\,{\mathrm{d}}z f(z)

Algemene conclusies: voor een fysisch probleem willen graag dat de oplossing:

• bestaat voor een willekeurige bronterm: \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}^\dagger) = \{{o}\}
• de oplossing uniek is: \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) = \{{o}\}

\Rightarrow dit zullen we enkel kunnen bereiken met m = 2p-m = p randvoorwaarden

Zelftoegevoegde differentiaaloperatoren

• Zelftoegevoegde operatoren hebben nuttige eigenschappen (vb spectrum)
• Eindig-dimensionaal:
  • {\hat{A}} = {\hat{A}}^\dagger \implies {\mathsf{A}} = {\mathsf{A}}^{\mathsf{H}} als orthonormale basis
  • meer algemeen: {\mathsf{A}}^\dagger = {\mathsf{g}}^{-1} {\mathsf{A}}^{\mathsf{H}}{\mathsf{g}} met {\mathsf{g}} inwendig product van de basisvectoren
• Voor een differentiaaloperator op [a,b]:
  • misschien niet (formeel) zelf-toegevoegd t.o.v. standaard inwendig product
  • maar wel ten opzichte van {\left\langle v,u\right\rangle}_w, dus voor functies u \in L^2_w([a,b])

    • voor positie-operator: {\left\langle v,{\hat{X}}u\right\rangle}_w = {\left\langle{\hat{X}}^\dagger v,u\right\rangle}_w \rightarrow ({\hat{X}}^\dagger v)(x) = x v(x) = ({\hat{X}} v)(x)

      (altijd zelftoegevoegd)

    • {\left\langle v,{\hat{D}}u\right\rangle}_w = {\left\langle{\hat{D}}^\dagger v,u\right\rangle}_w \rightarrow ({\hat{D}}^\dagger v)(x) = -\frac{1}{w(x)} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} \left[w(x)v(x)\right]

Zelftoegevoegde differentiaaloperatoren

• Veralgemeende Lagrange-identiteit: w(x) \overline{v(x)} ({\hat{L}}u)(x) - w(x) \overline{({\hat{L}}^\dagger v)(x)} u(x) = \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} J(u(x),v(x)) met J(u(x),v(x)) = \sum_{j=0}^{p} \sum_{k=0}^{j-1} (-1)^k \left(\frac{{\mathrm{d}}^k\ }{{\mathrm{d}}x^k}[ w(x) a_j(x) \overline{v(x)}]\right)\left(\frac{{\mathrm{d}}^{j-1-k}\ }{{\mathrm{d}}x^{j-1-k}}u(x)\right)

• Een reële 2de-orde differentiaaloperator is formeel zelf-toegevoegd t.o.v. {\left\langle\ ,\ \right\rangle}_w als en slechts als hij kan geschreven worden in de vorm van een Sturm-Liouville operator: (bewijs aan bord) ({\hat{L}}u)(x) = -\frac{1}{w(x)} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} \left( p(x) \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} u (x)\right) + \frac{q(x)}{w(x)} u(x)

• Er bestaat een keuze van w die elke reële 2de-orde differentiaaloperator met a_2(x)\neq 0 voor x \in [a,b] formeel zelf-toegevoegd maakt (bewijs aan bord)

Sturm-Liouville operator: randvoorwaarden

• voor Sturm-Liouville operator {\hat{L}}: J(u(x),v(x)) = -p(x) \left[\overline{v(x)} u'(x) - \overline{v'(x)} u(x)\right]

  \begin{align} \left[J(u(x),v(x))\right]_a^b &= \boldsymbol{y}^{\mathsf{H}}{\mathsf{P}}\boldsymbol{x} =\begin{bmatrix}v(a)\\v'(a)\\v(b)\\v'(b)\end{bmatrix}^{\mathsf{H}}\begin{bmatrix} 0 & +p(a) & 0 & 0 \\ -p(a) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -p(b) \\ 0 & 0 & +p(b) & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u(a)\\u'(a)\\u(b)\\u'(b)\end{bmatrix}\label{eq:diff:boundarygeneralsturmliouville}\\ &= p(b) \det\left(\begin{bmatrix} u(b) & \overline{v(b)} \\ u'(b) & \overline{v'(b)} \end{bmatrix}\right) - p(a) \det\left(\begin{bmatrix} u(a) & \overline{v(a)} \\ u'(a) & \overline{v'(a)} \end{bmatrix}\right). \end{align}

• reguliere Sturm-Liouville operator: p(a)\neq 0, p(b)\neq 0

Sturm-Liouville operator: randvoorwaarden

Reguliere Sturm-Liouville operator is zelftoegevoegd voor:

• gescheiden randvoorwaarden: \begin{align} {\mathsf{B}} \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} \alpha_{1} & \alpha_{2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \beta_{1} & \beta_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u(a)\\u'(a)\\u(b)\\u'(b)\end{bmatrix} = \boldsymbol{0} \quad \iff\quad \begin{cases} \alpha_{1} u(a) + \alpha_{2} u'(a) = 0\\ \beta_{1} u(b) + \beta_{2} u'(b) = 0\end{cases}.\label{eq:diff:seperatedbc} \end{align}

• p(a) = p(b) en periodieke randvoorwaarden: \begin{align} {\mathsf{B}} \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u(a)\\u'(a)\\u(b)\\u'(b)\end{bmatrix} = \boldsymbol{0} \quad \iff\quad \begin{cases} u(a) = u(b)\\ u'(a) = u'(b)\end{cases} \end{align}

• andere oplossingen voor de randvoorwaarden, maar dit zijn de twee fysisch meest relevante gevallen

Beginvoorwaardeproblemen

Beginvoorwaardeprobleem

({\hat{L}} u)(t) = \sum_{j=0}^{p} a_j(t) \frac{{\mathrm{d}}^j u}{{\mathrm{d}}t^j}(t) = f(t),\ a<t<b,\quad \text{met}\ u^{(i)}(a) = \gamma_i,\ i=0,\ldots,p-1.

• meestal t in plaats van x
• nooit zelftoegevoegd, toegevoegde operator heeft randvoorwaarden v^{(i)}(b) voor i=0,\ldots,p-1
• a_p(t) \neq 0 voor alle t \in [a,b], en a_k(t) continu voor alle t\in[a,b]
• oplossing splitsen in:
  • inhomogene oplossing u_f met u^{(i)}_f(a)=0
  • homogene oplossing u_\gamma die voldoet aan de randvoorwaarden u^{(i)}_\gamma(a) = \gamma_i

Homogene oplossing

Herschrijven als (en veralgemenen tot voorwaarde op willekeurig punt c \in [a,b]) \frac{{\mathrm{d}}\boldsymbol{z}}{{\mathrm{d}}t}(t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t),\ a<t<b,\quad \text{met}\ \boldsymbol{z}(c) = \boldsymbol{\zeta}

\begin{align} \boldsymbol{z}(t)&= \begin{bmatrix} u(t)\\ \dot{u}(t)\\ \vdots\\ u^{(p-1)}(t) \end{bmatrix},&\boldsymbol{\zeta}&= \begin{bmatrix} \gamma_0\\ \gamma_1\\ \vdots\\ \gamma_{p-1} \end{bmatrix} \end{align} \begin{align} {\mathsf{A}}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ -\frac{a_0(t)}{a_p(t)} & -\frac{a_1(t)}{a_p(t)} & -\frac{a_2(t)}{a_p(t)} & -\frac{a_3(t)}{a_p(t)} & \dots & -\frac{a_{p-1}(t)}{a_p(t)} \end{bmatrix}\label{eq:diff:Acompanion} \end{align}

Homogene oplossing

• autonome geval ({\mathsf{A}}(t) ={\mathsf{A}}(0)={\mathsf{A}}): \boldsymbol{z}(t) = \exp\left((t-c){\mathsf{A}} \right) \boldsymbol{\zeta} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} (t-c)^n {\mathsf{A}}^n \boldsymbol{\zeta}

• veralgemening: \boldsymbol{z}(t) = \exp\left(\int_{c}^{t} {\mathsf{A}}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau\right) \boldsymbol{\zeta} ? \qquad\rightarrow NEEN!

  (enkel als {\left[{\mathsf{A}}(t),{\mathsf{A}}(t')\right]}={\mathsf{O}} voor alle t,t' \in [a,b], bvb als p=1)

• Herschrijf probleem als

  \boldsymbol{z}(t) = \int_{c}^{t} {\mathsf{A}}(\tau) \boldsymbol{z}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau + \boldsymbol{\zeta} = ({\hat{{\mathsf{K}}}}\boldsymbol{z})(t) + \boldsymbol{\zeta}\quad \implies\quad ([{\hat{1}}- {\hat{{\mathsf{K}}}}]\boldsymbol{z})(t) = \boldsymbol{\zeta}

  met {\hat{{\mathsf{K}}}} een matrix-waardige integraaloperator op vector-waardige functies \boldsymbol{z}(t)

  ({\hat{{\mathsf{K}}}}\boldsymbol{z})(t) = \int_c^t {\mathsf{A}}(\tau)\boldsymbol{z}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau = \int_{a}^{b} {\mathsf{K}}(t,\tau)\boldsymbol{z}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau

  met kern {\mathsf{K}}(t,\tau) = \begin{cases} {\mathsf{A}}(\tau) H(t - \tau) H(\tau - c),& t \geq c\\ {\mathsf{A}}(\tau) H(\tau - t) H(c-\tau), & t < c \end{cases}

Homogene oplossing

Oplossing voor ([{\hat{1}}- {\hat{{\mathsf{K}}}}]\boldsymbol{z})(t) = \boldsymbol{\zeta}:

\boldsymbol{z}(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} ({\hat{{\mathsf{K}}}}^n \boldsymbol{\zeta})(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_c^t {\mathrm{d}}t_1\int_c^{t_1} {\mathrm{d}}t_2 \cdots \int_c^{t_{n-1}} {\mathrm{d}}t_n\, {\mathsf{A}}(t_1) {\mathsf{A}}(t_2) \cdots {\mathsf{A}}(t_n) \zeta

(in de eerste uitdrukking beschouwen we \boldsymbol{\zeta} als de constante vectorfunctie t \mapsto \boldsymbol{\zeta})

Bewijs (deels aan bord):

• ruimte van vectorfuncties \boldsymbol{z}: [a,b] \to {\mathbb{F}}^p : t \mapsto \boldsymbol{z}(t)

  • inwendig product en toegevoegde niet belangrijk in deze context
  • {\left\lVert\boldsymbol{z}\right\rVert} = \sup_{t\in[a,b]} {\left\lVert\boldsymbol{z}(t)\right\rVert}_v met {\left\lVert\cdot\right\rVert}_v een arbitraire vectornorm op {\mathbb{F}}^p

• we bewijzen: {\left\lVert{\hat{{\mathsf{K}}}}^n \boldsymbol{z}\right\rVert} \leq \frac{(b-a)^n}{n!} \left(\sup_{t\in[a,b]} {\left\lVert{\mathsf{A}}(t)\right\rVert}_{v,\text{op}}\right)^n {\left\lVert\boldsymbol{z}\right\rVert}

  \Rightarrow reeks convergeert absoluut

Tijdsordening en tijdsgeordende exponentiële

In de (kwantum)fysica wordt vaak de tijdsordening “operator” (procedure) ingevoerd:

\mathcal{T}\left[{\mathsf{A}}(t_1){\mathsf{A}}(t_2)\right] = \begin{cases} {\mathsf{A}}(t_1){\mathsf{A}}(t_2),&t_1 > t_2\\ {\mathsf{A}}(t_2){\mathsf{A}}(t_1),&t_2 > t_1\\ \end{cases}

Daarmee geldt: \int_c^t{\mathrm{d}}t_1\int_c^{t_1}{\mathrm{d}}t_2 {\mathsf{A}}(t_1){\mathsf{A}}(t_2) =\frac{1}{2} \int_c^t{\mathrm{d}}t_2\int_{c}^{t}{\mathrm{d}}t_1 \mathcal{T}\left[{\mathsf{A}}(t_1){\mathsf{A}}(t_2)\right]

\begin{align} \Rightarrow \boldsymbol{z}(t) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \int_c^t {\mathrm{d}}t_1\int_c^{t_1} {\mathrm{d}}t_2 \cdots \int_c^{t_{n-1}} {\mathrm{d}}t_n\, {\mathsf{A}}(t_1) {\mathsf{A}}(t_2) \cdots {\mathsf{A}}(t_n)\boldsymbol{\zeta} \nonumber\\ &= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!} \int_c^t {\mathrm{d}}t_1\int_c^{t} {\mathrm{d}}t_2 \cdots \int_c^{t} {\mathrm{d}}t_n\, \mathcal{T}\left[{\mathsf{A}}(t_1) {\mathsf{A}}(t_2) \cdots {\mathsf{A}}(t_n)\right]\boldsymbol{\zeta}\nonumber\\ &= \mathcal{T}\exp\left(\int_{c}^{t} {\mathsf{A}}(\tau){\mathrm{d}}\tau\right) \boldsymbol{\zeta} \end{align}

\Rightarrow \mathcal{T}\exp = tijdsgeordende exponentiële

Fundamentale matrixoplossing

Beschouw een matrixfunctie [a,b]\to{\mathbb{F}}^{p \times r}: t \mapsto {\mathsf{Z}}(t), zodat de kolommen van {\mathsf{Z}}(t) oplossingen zijn van de homogene differentiaalvergelijking \dot{\boldsymbol{z}}(t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t) zonder randvoorwaarden:

• als kolommen lineair onafhankelijk zijn op 1 tijdstip t_0, dan zijn ze op elk ander tijdstip lineair onafhankelijk (bewijs aan bord)

• er bestaan precies p lineair onafhankelijke oplossingen ten opzichte waarvan elke andere oplossing kan worden geëxpandeerd

• fundamentele (oplossings)matrix:

  [a,b]\to{\mathbb{F}}^{p \times p}: t \mapsto {\mathsf{Z}}(t) met \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t}{\mathsf{Z}}(t) = {\mathsf{A}}(t){\mathsf{Z}}(t) en \det({\mathsf{Z}}(c)) \neq 0

  \Rightarrow stelling van Liouville (bewijs aan bord)

  \det\big({\mathsf{Z}}(t)\big) = \det\big({\mathsf{Z}}(c)\big) \exp\left[\int_c^{t} \mathop{\mathrm{tr}}\big({\mathsf{A}}(\tau)\big)\,{\mathrm{d}}\tau\right]

  (m.b.v. Jacobi’s formule uit H2: \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} \det\big({\mathsf{A}}(t)\big) = \det\big({\mathsf{A}}(t)\big) \mathop{\mathrm{tr}}\left({\mathsf{A}}(t)^{-1} \frac{{\mathrm{d}}{\mathsf{A}}}{{\mathrm{d}}t}(t)\right))

Fundamentale matrices

• Fundamentale matrices {\mathsf{Z}}(t) en \tilde{{\mathsf{Z}}}(t) van dezelfde vergelijking \dot{\boldsymbol{z}}(t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t):

  er bestaat constante inverteerbare matrix {\mathsf{C}} \in {\mathbb{F}}^{p\times p} zodat \tilde{{\mathsf{Z}}}(t) = {\mathsf{Z}}(t) {\mathsf{C}}

• “principale” fundamentele matrix {\mathsf{Z}}(t,t_0):

  \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} {\mathsf{Z}}(t,t_0) = {\mathsf{A}}(t) {\mathsf{Z}}(t,t_0) en {\mathsf{Z}}(t_0,t_0) = {\mathsf{I}} voor elke t_0 \in [a,b]

  Eigenschappen (bewijs aan bord):

  • \dot{\boldsymbol{z}}(t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t) en \boldsymbol{z}(t_0) = \boldsymbol{\zeta}: \boldsymbol{z}(t) = {\mathsf{Z}}(t,t_0) \boldsymbol{\zeta}
  • {\mathsf{Z}}(t,t_0) = \tilde{{\mathsf{Z}}}(t)\tilde{{\mathsf{Z}}}(t_0)^{-1} voor elke fundamental matrix \tilde{{\mathsf{Z}}}
  • {\mathsf{Z}}(t_2,t_1){\mathsf{Z}}(t_1,t_0) = {\mathsf{Z}}(t_2,t_0) en {\mathsf{Z}}(t_0,t_1) = {\mathsf{Z}}(t_1,t_0)^{-1}
  • \det({\mathsf{Z}}(t,t_0)) = \exp\left[\int_{t_0}^t \mathop{\mathrm{tr}}({\mathsf{A}}(\tau))\,{\mathrm{d}}\tau\right]

  Fysica-notatie: {\mathsf{Z}}(t,t_0) = \mathcal{T} \exp\left(\int_{t_0}^t {\mathsf{A}}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau\right) (propagator)

  \rightarrow \det\left[\mathcal{T} \exp\left(\int_{t_0}^t {\mathsf{A}}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau\right)\right] = \exp\left[\int_{t_0}^{t} \mathop{\mathrm{tr}}\big({\mathsf{A}}(\tau)\big)\,{\mathrm{d}}\tau\right] veralgemening van \det\left[\exp({\mathsf{A}})\right] = \exp\left(\mathop{\mathrm{tr}}[{\mathsf{A}}]\right)

Fundamentele matrices en Wronskiaan

terug naar scalaire functies u(t)

• Gegeven een verzameling functies \{u_i(t):[a,b] \to {\mathbb{F}}; i=1,\dots,p\}

• Wronskiaan: W(t) = \det\left(\begin{bmatrix} u_1(t) & u_2(t) & \dots & u_p(t)\\ \dot{u}_1(t) & \dot{u}_2(t) & \dots & \dot{u}_p(t)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ u_1^{(p-1)}(t) & u_2^{(p-1)}(t) & \dots & u_p^{(p-1)}(t)\\ \end{bmatrix}\right)

  • functies lineair afhankelijk \implies W(t)=0; W(t_0)\neq 0 impliceert functies lineair onafhankelijk

    (soms W(t_0)=0 voor lineair onafhankelijke functies)

• Voor p lineair onafhankelijke oplossingen van ({\hat{L}} u)(t) = \sum_{j=0}^{p} a_j(t) \frac{{\mathrm{d}}^j u}{{\mathrm{d}}t^j}(t) =0:

  Wronskiaan = determinant van fundamentele matrix voor equivalent eerste-orde probleem \Rightarrow Liouville = Abel’s formule: W(t) = W(t_0) {\mathrm{e}}^{-\int_{t_0}^t \frac{a_{p-1}(\tau)}{a_p(\tau)}\,{\mathrm{d}}\tau}

Wronskiaan en Abel’s formule

Voor p=2

• Abel’s formule kan eenvoudig rechtstreeks bewezen worden:

  • W(t) = u_1(t) \dot{u}_2(t) - \dot{u}_1(t) u_2(t)

    \Rightarrow \dot{W}(t) = u_1(t) \ddot{u}_2(t) - \ddot{u}_1(t) u_2(t) = -\frac{a_1(t)}{a_2(t)}\left( u_1(t) \dot{u}_2(t) - \dot{u}_1(t) u_2(t)\right) = -\frac{a_1(t)}{a_2(t)} W(t)

• Abel’s formule kan gebruikt worden om een 2de lineaire onafhankelijke oplossing te construeren:

  • gegeven een eerste oplossing u(t) met u(t_0)\neq 0, tweede oplossing v(t) gegeven door

    v(t) = u(t)\int_{t_0}^{t} \frac{1}{p(\tau) u(\tau)^2}\,{\mathrm{d}}\tau

    met \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} \log p(t) = \frac{1}{p(t)} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} p(t) = \frac{a_1(t)}{a_2(t)}

    (bewijs aan bord)

Theorema van Floquet

\frac{{\mathrm{d}}\boldsymbol{z}}{{\mathrm{d}}t} (t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t) met {\mathsf{A}}(t+T) ={\mathsf{A}}(t) (periodiek)

• Floquet: (bewijs aan bord)

  • elke fundamentele matrix is van de vorm {\mathsf{Z}}(t) = {\mathsf{Q}}(t) {\mathrm{e}}^{\mathrm{B} t} met periodieke {\mathsf{Q}}(t)={\mathsf{Q}}(t+T) en constante {\mathsf{B}}.

  • {\mathsf{C}} = \exp(T {\mathsf{B}}) = {\mathsf{Z}}(t+T){\mathsf{Z}}(t)^{-1} staat gekend als de monodromie matrix

  • {\mathsf{B}} = \frac{1}{T} \log({\mathsf{C}}) is niet uniek

  • voor diagonaliseerbare {\mathsf{B}}: lineair onafhankelijke oplossingen van de vorm

    \boldsymbol{z}(t) = \boldsymbol{q}(t) {\mathrm{e}}^{\lambda t}

• Toepassingen in de fysica:
  • periodieke aandrijving: zowel in de klassieke als de kwantumfysica (lasers)
  • periodieke potentialen voor electronen: Bloch-golven (vastestoffysica)

Inhomogene oplossing

\frac{{\mathrm{d}}\boldsymbol{z}}{{\mathrm{d}}t}(t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t) + \boldsymbol{b}(t),\quad a < t < b\qquad \text{met}\ \boldsymbol{z}(t_0) = \boldsymbol{\zeta}

(voor pde orde scalaire differentiaalvergelijking: \boldsymbol{b}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & f(t)/a_p(t) \end{bmatrix}^{\mathsf{T}})

• na integratie: \boldsymbol{z}(t) - ({\hat{{\mathsf{K}}}}\boldsymbol{z})(t) = \boldsymbol{\zeta} + \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{b}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau

  \begin{align} \Rightarrow \boldsymbol{z}(t) &= {\mathsf{Z}}(t,t_0) \boldsymbol{\zeta} + \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{t_0}^t {\mathrm{d}}t_1\int_{t_0}^{t_1} {\mathrm{d}}t_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} {\mathrm{d}}t_n\int_{t_0}^{t_n} {\mathrm{d}}\tau\, {\mathsf{A}}(t_1) {\mathsf{A}}(t_2) \cdots {\mathsf{A}}(t_n) \boldsymbol{b}(\tau)\nonumber\\ &={\mathsf{Z}}(t,t_0) \boldsymbol{\zeta} + \int_{t_0}^{t} {\mathrm{d}}\tau \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\tau}^t {\mathrm{d}}t_1\int_{\tau}^{t_1} {\mathrm{d}}t_2 \cdots \int_{\tau}^{t_{n-1}} {\mathrm{d}}t_n\, {\mathsf{A}}(t_1) {\mathsf{A}}(t_2) \cdots {\mathsf{A}}(t_n) \boldsymbol{b}(\tau)\nonumber\\ &= {\mathsf{Z}}(t,t_0) \boldsymbol{\zeta} + \int_{t_0}^{t} {\mathsf{Z}}(t,\tau) \boldsymbol{b}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau.\label{eq:diff:firstorderinhomogeneousgeneralsolution} \end{align}

Analyciteit van de oplossingen

• {\mathsf{A}}(t) en {\mathsf{b}}(t) analytisch zijn in [a,b]:

  • de oplossing \boldsymbol{z}(t) is analytisch in [a,b]
  • de fundamentale matrix {\mathsf{Z}}(t) van homogeen probleem is analytisch in [a,b]

  (zonder bewijs)

  • voor ({\hat{L}} u)(t) = \sum_{j=0}^{p} a_j(t) \frac{{\mathrm{d}}^j u}{{\mathrm{d}}t^j}(t) = f(t):

    analytisch als a_j(t) (j=0,\ldots,p) en f(t) analytisch in [a,b] EN a_p(t) \neq 0 in [a,b]

• Praktisch nut: Taylorreeks als “ansatz”

  u(t)=\sum_{k \in {\mathbb{N}}} u_k (t-t_0)^k

  differentiaalvergelijking \rightarrow recursierelatie voor coefficiënten u_k

Voorbeeld Taylorreeks (1)

Airy-vergelijking / Stokes-vergelijking (toepassingen in kwantummechanica en optica):

\ddot{u}(t) - t u(t) = 0

• u(t)=\sum_{k \in {\mathbb{N}}} u_k t^k: 2 u_2 + \sum_{k=1}^{+\infty}((k+2)(k+1) u_{k+2} -u_{k-1})t^k = 0

  \Rightarrow u_{k} = \frac{1}{k(k-1)} u_{k-3}\qquad \text{en}\qquad u_2 = 0

  \begin{align*} u_a(t) &= 1 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{t^{3k}}{(3k)\cdot (3k-1)\cdot (3k-3)\cdot (3k-4)\cdots 6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}\\ u_b(t) &= t + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{t^{3k+1}}{(3k+1)\cdot (3k)\cdot (3k-2)\cdot (3k-1)\cdots 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3} \end{align*}

  • u_a(t) en u_b(t) monotoon stijgend voor t>0, oscillerend voor t<0

    (vergelijk met \ddot{u}(t) - k u(t)=0 voor k>0 en k<0)

  • Airy-functie \mathrm{Ai}(t) = \frac{1}{3^{2/3} \Gamma\left(\frac{2}{3}\right)} u_a(t) - \frac{1}{3^{1/3} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)} u_b(t) daalt naar nul voor t>0

Voorbeeld Taylorreeks (2)

Legendre vergelijking (gerelateerd aan Laplace vergelijking in sferische coördinaten):

(1-t^2) \ddot{u}(t) - 2t \dot{u}(t) +\nu(\nu+1) = 0

• u(t)=\sum_{k \in {\mathbb{N}}} u_k t^k:

  \Rightarrow u_{k+2} = \frac{k(k+1) - \nu(\nu+1)}{(k+1)(k+2)} u_k = \frac{(k-\nu)(k+\nu+1)}{(k+1)(k+2)} u_k

  • even functie u_+(t) startende van \begin{cases} u_+(0) = (u_+)_0 = 1\\ u_+'(0) = (u_+)_1 = 0 \end{cases}

  • oneven functie u_-(t) startende van \begin{cases} u_-(0) = (u_-)_0 = 0\\ u_-'(0) = (u_-)_1 = 1 \end{cases}

  • \nu = n \in {\mathbb{N}}_0: u_{n+2} = 0:

    \rightarrow één van beide oplossingen is een veelterm: Legendre-veeltermen uit H7

    \rightarrow andere oplossing: “Legendre-functies van het tweede type”

Singulier beginvoorwaardeproblemen (zonder bewijs)

• {\mathsf{A}}(t) analytisch in (0,\rho) maar met singulariteit voor t=0

  \Rightarrow fundamentele matrix {\mathsf{Z}}(t) is analytische functie van \log(t)

• regulier singulier punt:

  {\mathsf{A}}(t)= \frac{{\mathsf{A}}_{-1}}{t} + {\mathsf{A}}_\text{reg}(t) = \frac{{\mathsf{A}}_{-1}}{t} + \sum_{k=0}^{+\infty} {\mathsf{A}}_k t^k

  • {\mathsf{Z}}(t) = \left(\sum_{k=0}^{+\infty} X_k t^k\right) t^{{\mathsf{B}}} met {\mathsf{X}}(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} X_k t^k

  • als {\mathsf{A}}_{-1} geen twee eigenwaarden heeft die aan \lambda_i-\lambda_j \in {\mathbb{N}}_0:

    {\mathsf{Z}}(t) kan gekozen worden zodat {\mathsf{X}}(0)={\mathsf{X}}_0={\mathsf{I}} en {\mathsf{B}}={\mathsf{A}}_{-1}

• regulier singulier punt / zwak singulier punt voor pde orde scalaire differentiaalvergelijking:

  punt \tau waar a_{p-j}(t)/a_p(t) \sim (t-\tau)^{j} (of minder singulier) voor j=1,\ldots,p

  (via \boldsymbol{z}(t) = \begin{bmatrix}u(t) & (t-\tau) \dot{u}(t) & (t-\tau)^2 \ddot{u}(t) & \ldots & (t-\tau)^{p-1} u^{(p-1)}(t)\end{bmatrix}^{\mathsf{T}})

Methode van Frobenius

pde orde differentiaalvergelijking met zwak singulier punt bij t=\tau:

• testoplossing u(t) = (t-\tau)^\lambda \sum_{k=0}^{+\infty} u_k (t-\tau)^k

• factor bij laagste-orde term: indiciële vergelijking I(\lambda)=0 (pde orde veelterm)

• voor oplossing \lambda met multipliciteit q zodat I(\lambda + n) \neq 0 voor alle n \in {\mathbb{N}}_0:

  \begin{align*} u_1(t) &= t^\lambda x_1(t)\\ u_2(t) &= t^\lambda \big(x_1(t) (\log t) + x_2(t)\big)\\ u_3(t) &= t^\lambda \left(\frac{1}{2} x_1(t) (\log t)^2 + x_2(t) (\log t) + x_3(t)\right)\\ \ldots\\ u_q(t) &= t^\lambda \left(\frac{1}{(q-1)!} x_1(t) (\log t)^{q-1} + \frac{1}{(q-2)!} x_2(t) (\log t)^{q-2} + \ldots + x_{q}(t)\right) \end{align*}

  met x_i(t) analytisch (Taylorreeksen)

• voor oplossing \lambda en \mu = \lambda+n met n \in {\mathbb{N}}_0 (maar geen oplossingen \mu+n'): u_1(t) = t^\mu x_1(t) en u_2(t) = c u_1(t) \log t + t^\lambda x_2(t)

Methode van Frobenius voor 2de orde

Voor 2de orde differentiaalvergelijking:

• indiciële vergelijking heeft twee oplossingen \lambda_1 en \lambda_2, gesorteerd zodat \mathop{\mathrm{Re}}{\lambda_1} \geq \mathop{\mathrm{Re}}{\lambda_2}.

  • u(t) = t^{\lambda_1} x(t) = t^{\lambda_1} \sum_{k\in {\mathbb{N}}} x_k t^k

  • als \lambda_2 = \lambda_1 + n voor een n \in {\mathbb{N}}:

    v(t) = c u(t) \log(t) + t^{\lambda_2} y(t) = c u(t) \log(t) + t^{\lambda_2} \sum_{k\in {\mathbb{N}}} y_k t^k

    indien \lambda_2 \neq \lambda_1 + n voor een n \in {\mathbb{N}}:

    v(t) = t^{\lambda_2} y(t) = t^{\lambda_2} \sum_{k\in {\mathbb{N}}} y_k t^k

  • of: via Abel’s vergelijking:

    v(t) = u(t)\int_{t_0}^{t} \frac{1}{p(\tau) u(\tau)^2}\,{\mathrm{d}}\tau

Voorbeeld zwak singulier punt

Besselvergelijking (radieel deel van Laplacevergelijking cylindrische coördinaten):

t^2 \ddot{u}(t) + t \dot{u}(t) + (t^2 - \nu^2) u(t) = 0

• indiciële vergelijking: \lambda(\lambda-1) + \lambda - \nu^2 \rightarrow \lambda_{\pm} = \pm \nu

• \nu = 0:

  J_0(t) = \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{(m!)^2} \left(\frac{t}{2}\right)^{2m},\;K_0(t) = J_0(t) \log(t) + \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{(m!)^2} \Phi(m)\left(\frac{t}{2}\right)^{2m}

  met \Phi(m) = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{m} (harmonische functie)

• 2\nu \not\in {\mathbb{Z}}: J_{\pm \nu}(t) met

  J_{\nu}(t)=\left(\frac{t}{2}\right)^\nu \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{\Gamma(m+1)\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{t}{2}\right)^{2m}

Voorbeeld zwak singulier punt

Besselvergelijking (radieel deel van Laplacevergelijking cylindrische coördinaten):

t^2 \ddot{u}(t) + t \dot{u}(t) + (t^2 - \nu^2) u(t) = 0

• \nu = n met n \in {\mathbb{N}}_0:

  J_n(t)=\left(\frac{t}{2}\right)^n \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{\Gamma(m+1)\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{t}{2}\right)^{2m} = \left(\frac{t}{2}\right)^n \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m!(m+n)!}\left(\frac{t}{2}\right)^{2m} = (-1)^n J_{-n}(t)

  K_n(t) = J_n(t) \log(t) - \frac{1}{2} \left(\frac{t}{2}\right)^{-n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\Gamma(n-k)}{\Gamma(k+1)} \left(\frac{t}{2}\right)^{2k} - \frac{1}{2} \left(\frac{t}{2}\right)^{n}\sum_{m=0}^{n-1} (-1)^m \frac{ \Phi(m)+\Phi(m+n)}{\Gamma(m+1)\Gamma(m+n+1)} \left(\frac{t}{2}\right)^{2m}

  Met behulp van Y_n(t) = \frac{2}{\pi} \left(K_n(t) + (\gamma - \log 2) J_n(t)\right) (Neumann functie):

  • J_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \left[\cos\left(x - n\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}\left(\frac{1}{x}\right)\right]

  • Y_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \left[\sin\left(x - n\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}\left(\frac{1}{x}\right)\right]

  • \Rightarrow H_n^{(1)}(t) = J_n(t) + {\mathrm{i}}Y_n(t) en H_n^{(2)}(t) = J_n(t) + {\mathrm{i}}Y_n(t):

    Hankel functies van de eerste en tweede soort

Voorbeeld zwak singulier punt

Besselvergelijking (radieel deel van Laplacevergelijking cylindrische coördinaten):

t^2 \ddot{u}(t) + t \dot{u}(t) + (t^2 - \nu^2) u(t) = 0

• \nu = n + \frac{1}{2} met n \in {\mathbb{N}}:

  u(t) = t^{1/2} y(t)

  • sferische Besselvergelijking:

    t^2 \ddot{y}(t) + 2 t \dot{y}(t) + (t^2 - n(n+1))y(t)=0

  • sferische Besselfunctie van de eerste soort:

    j_n(t) = \left(\frac{\pi}{2t}\right)^{1/2} J_{n+1/2}(t)

Randvoorwaardeproblemen

Randvoorwaarden

• ({\hat{L}}u)(x) = \sum_{j=0}^{p} a_j(x) \frac{{\mathrm{d}}^j u}{{\mathrm{d}}x^j}(x) =0 zonder randvoorwaarden:

  • p lineair onafhankelijke oplossingen u_j(x), j=1,\ldots,p
  • fundamentele matrix {\mathsf{Z}}(x) = \begin{bmatrix} u_j^{(i)}(x) \end{bmatrix}_{i=0,\ldots,p-1; j=1,\ldots,p}
  • willekeurige oplossing is u(x) = \sum_j c^j u_j(x)

• randvoorwaarden B_i[u]=\gamma_i voor i=1,\ldots,m: {\mathsf{B}} {\mathsf{X}} \boldsymbol{c} = \boldsymbol{\gamma} met

  • {\mathsf{B}} de matrix zodat B_i[u] = \sum_{j=0}^{p-1} B_{i,j} u^{(j)}(a) + B_{i,j+p} u^{(j)}(b)

  • {\mathsf{X}} = \begin{bmatrix} {\mathsf{Z}}(a)\\ {\mathsf{Z}}(b) \end{bmatrix} de matrix met als jde kolom \boldsymbol{x}_j = \begin{bmatrix} u_j(a) & u_j'(a) & \ldots & u^{(p-1)}_j(a) & u_j(b) & u_j'(b) & \dots & u_j^{(p-1)}(b) \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}

  • unieke oplossing voor elke \gamma vereist m=p zodat {\mathsf{B}}{\mathsf{X}} = {\mathsf{M}} een vierkante matrix is \rightarrow noodzakelijk maar niet voldoende

Randvoorwaarden

• voorbeeld -u''(x) = 0: u_1(x) = 1, u_2(x) = x \rightarrow {\mathsf{Z}} = \begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

  • beginvoorwaarden B_1[u] = u(a) en B_2[u] = u'(a):

    {\mathsf{B}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} en dus {\mathsf{M}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}: inverteerbaar

  • randvoorwaarden B_1[u] = u(a) en B_2[u] = u(b):

    {\mathsf{B}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} en dus {\mathsf{M}} = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{bmatrix}: inverteerbaar

  • randvoorwaarden B_1[u] = u'(a) en B_2[u] = u'(b):

    {\mathsf{B}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} en dus {\mathsf{M}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}: niet inverteerbaar

• met exact p randvoorwaarden: existentie van u_\gamma voor elke \boldsymbol{\gamma} komt overeen met uniciteit: enkel triviale u_0(x)=0 voldoet aan volledig homogeen probleem

Gescheiden randvoorwaarden

• tweede-orde differentiaalvergelijking: gescheiden randvoorwaarden:

  B_1[u] = \alpha_1 u(a) + \alpha_2 u'(a) = \gamma_1,\qquad B_2[u] = \beta_1 u(b) + \beta_2 u'(b) = \gamma_2

  • Dirichlet voorwaarden: B_1[u] = u(a) en B_2[u] = u(b)

  • Neumann voorwaarden: B_1[u] = u'(a) en B_2[u] = u'(b)

  • Robin voorwaarden: B_1[u] = u(a) - \ell u'(a) en B_2[u] = u(b) + \ell u'(b) voor een constante \ell

    (tekenwissel heeft te maken met de “buitenwaartse richtingsafgeleide”, zie verder voor hogerdimensionale partiële differentiaalvergelijkingen)

• Met gescheiden randvoorwaarden is {\mathsf{M}} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\end{bmatrix} {\mathsf{Z}}(a)\\ \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\end{bmatrix} {\mathsf{Z}}(b)\\ \end{bmatrix}: \mathop{\mathrm{rank}}({\mathsf{M}}) > 0 \Rightarrow \mathop{\mathrm{nullity}}{\mathsf{M}} < 2 \Rightarrow volledig homogeen probleem heeft hoogstens één lineair onafhankelijke niet-triviale oplossing u_0(x)

Inhomogene oplossing

Oplossing van ({\hat{L}} u_f)(x) = f(x) met B_i[u_f] = 0 voor i=1,\ldots,p

• Herhaling beginvoorwaardeprobleem: \boldsymbol{z}(t) = \int_{t_0}^{t} {\mathsf{Z}}(t,\tau) \boldsymbol{b}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau

  \rightarrow u(t) = u_f(x) = \int_{a}^x u_p(x,\xi) \frac{f(\xi)}{a_p(\xi)}\,{\mathrm{d}}\tau = \int_{a}^b H(x-\xi) u_p(x,\xi) \frac{f(\xi)}{a_p(\xi)}\,{\mathrm{d}}\xi

  met H(x) de Heaviside stapfunctie en u_p(x,\xi) de laatste kolom uit de principieel fundamentele matrix, i.e. de oplossing van het homogeen probleem die voldoet aan

  u_p(x,\xi)|_{x = \xi} = u'_p(x,\xi)|_{x=\xi} = \ldots = u^{(p-2)}_p(x,\xi)|_{x=\xi} = 0,\qquad u^{(p-1)}_p(x,\xi)|_{x = \xi} = 1

• Veralgemening:

  u_f(x) = \int_{a}^b g_\xi(x) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi

  met g_\xi(x) de Greense functie, gedefinieerd door voorwaarden op volgende slide.

Greense functie

u_f(x) = \int_{a}^b g_\xi(x) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi

Greense functie (volledig) gedefinieerd door

• B_i[g_\xi]=0 voor i=1,\ldots,p
• ({\hat{L}} g_\xi)(x) = 0 voor x \in (a,\xi) en x \in (\xi,b)
• g_\xi(x) en zijn afgeleiden g^{(j)}_{\xi}(x) voor j \leq p-2 zijn continu in x=\xi
• g^{(p-1)}_\xi(x) is discontinu bij x = \xi en voldoet aan de “sprongconditie” g^{(p-1)}_\xi(\xi^+) - g^{(p-1)}_\xi(\xi^-) = \frac{1}{a_p(\xi)}

(grote stappen van het bewijs aan bord; niet actief te kennen)

Greense functie

u_f(x) = \int_{a}^b g_\xi(x) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi

\rightarrow met oplossingen u_j(x) (j=1,\ldots,p) van de homogene differentiaalvergelijking zonder randvoorwaarden geldt

g_\xi(x) = H(\xi-x) \sum_{i=1}^{p} c^j(\xi) u_j(x) + H(x - \xi) \sum_{i=1}^{p} d^j(\xi) u_j(x)

• coefficiënten c^j en d^j worden opgelegd door randvoorwaarden, continuïteitsvoorwaarden en sprongconditie

Greense functie

u_f(x) = \int_{a}^b g_\xi(x) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi

• voor p=2:

  • kies u_1 zodat B_1[u_1] = \alpha_1 u_1(a) + \alpha_2 u_1'(a) = 0: u_1(a) = \alpha_2 en u_1'(a) = -\alpha_1
  • kiew u_2 zodat B_2[u_2] = \beta_1 u_2(b) + \beta_2 u_2'(b) = 0: u_2(b) = \beta_2 en u_2'(b) = -\beta_1
  • u_1 en u_2 lineair onafhankelijk voor goed gedefinieerd randvoorwaardeprobleem (\det({\mathsf{M}}\neq 0)

  \Rightarrow g(x,\xi) = \begin{cases} \frac{u_1(x) u_2(\xi)}{a_2(\xi) W(\xi)},&a< x < \xi\\ \frac{u_1(\xi) u_2(x)}{a_2(\xi) W(\xi)},&\xi<x<b \end{cases} = \frac{u_1(\min(x,\xi)) u_2(\max(x,\xi))}{a_2(\xi) W(\xi)}

  met W(x) = u_1(x) u_2'(x) - u_1'(x) u_2(x) \neq 0 voor alle x \in [a,b]

Greense functie: voorbeeld

• -u''(x) = f(x) en B_1[u] = u(a) en B_2[u] = u(b); stel [a,b]=[0,1]:

  • u_1(x) = x
  • u_2(x) = 1-x
  • W(x) = x (-1) - (1-x) = -1 en a_2(x) = -1

  g(x,\xi) = \begin{cases} x(1-\xi),&a < x < \xi\\ \xi (1-x), &\xi < x < b \end{cases}

  \begin{align*} \Rightarrow u_f(x) &= \int_x^1 x(1-\xi) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi + \int_0^x \xi (1-x) f(\xi) \,{\mathrm{d}}\xi\\ &= x\left[ \int_x^1 (1-\xi) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi\right] + (1-x)\left[ \int_0^x \xi f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi\right]. \end{align*}

Greense functie: interpretatie

• ({\hat{L}}u_f)(x) = f(x) en B_i[u_f]=0 met u_f(x) = \int_{a}^b g_\xi(x) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi

  \Rightarrow ({\hat{L}} g_\xi)(x) = \delta(x-\xi) met B_i[g_\xi] = 0?

  \Rightarrow “coördinatenrepresentatie” van {\hat{L}} {\hat{G}} = {\hat{1}}

  \Rightarrow {\hat{G}} = {\hat{L}}^{-1}

• als {\hat{L}} + randvoorwaarden een complete basis van orthonormale eigenvectoren heeft ({\hat{L}} u_n)(x) = \lambda_n u_n(x) met B_i[u_n]=0 (zie volgende sectie):

  {\hat{G}}f = \sum_{n} \lambda_n^{-1} u_n {\left\langle u_n,f\right\rangle} \quad \Rightarrow \quad g_\xi(x) = \sum_{n} \frac{u_n(x) {\overline{u_n(\xi)}}}{\lambda_n}

• {\hat{G}}^{\dagger} = ({\hat{L}}^{-1})^\dagger: integraaloperator met kern g^\dagger(x,\xi) = {\overline{g(\xi,x)}}={\overline{g_x(\xi)}}

  \rightarrow moet automatisch aan toegevoegde randvoorwaarden voldoen

Greense functie en toegevoegde operator: voorbeeld

• -u''(x)=0 met randvoorwaarden u(0) = u(1)= 0: zelftoegevoegd

  \Rightarrow g(x,y) = \begin{cases} x(1-y),&0 < x < y\\ y (1-x), &y < x < 1 \end{cases} =\min(x,y)(1-\max(x,y))

• -u''(x)=0 met randvoorwaarden B_1[u] = u(0) + u(1)=0 and B_2[u]=u'(0)=0:

  • toegevoegde randvoorwaarden: \tilde{B}_1[v] = v'(0) + v'(1)=0 and \tilde{B}_2[v] = v(1)=0

  • kunnen geen gebruik maken van specifieke constructie voor gescheiden randvoorwaarden

  • algemene oplossingen u_1(x)=1 en u_2(x) = x

  • g_y(x) = g(x,y) = (c^1+c^2 x) H(y-x) + (d^1 + d^2 x) H(x-y)

    \rightarrow randvoorwaarden + continuïteit/sprong: g_y(x) = g(x,y) = \frac{y -1}{2} H(y -x) + \frac{2x -y - 1}{2} H(x-y)

  • g^\dagger_y(x) = \overline{g(y,x)} voldoet aan g^\dagger_y(1) = 0 en \frac{{\mathrm{d}}\ g^\dagger_y}{{\mathrm{d}}x}(0) + \frac{{\mathrm{d}}\ g^\dagger_y}{{\mathrm{d}}x}(1) = 0

Sturm-Liouville eigenwaardeproblemen

Eigenwaardeproblemen met differentiaaloperatoren

({\hat{L}}u)(x) = \lambda u(x),\qquad B_i[u] = 0, i =1,\ldots,m

• Motivatie:

  • komt automatisch uit het oplossen van hoger-dimensionale partiële differentiaalvergelijkingen via de techniek van “scheiden der veranderlijken”

  • indien volledige spectrale decompositie: vereenvoudigt berekenen van functies van {\hat{L}}

    • Greense functie: {\hat{G}} = {\hat{L}}^{-1}

    • tijdsafhankelijke problemen: \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} u_t(x) = ({\hat{L}} u_t)(x) waarbij {\hat{L}} een tijdsonafhankelijke differentiaaloperator is

      \Rightarrow u_t(x) = \exp({\hat{L}}t) u_0(x)

      (voorbeeld: Schrödinger vergelijking)

Eigenwaardeproblemen: voorbeeld

• -u''(x) = \lambda u(x):

  • zonder randvoorwaarden: u(x) = c^1 \sin(\sqrt{\lambda} x) + c^2 \cos(\sqrt{\lambda}x)

  • randvoorwaarden B_1[u] =u(0) + u(1) = 0 en B_2[u] = u'(0) - u'(1)=0:

    \det\bigg(\begin{bmatrix}\sin\sqrt{\lambda} & 1 + \cos\sqrt{\lambda}\\ \sqrt{\lambda}(1-\cos \sqrt{\lambda}) & \sqrt{\lambda}\sin \sqrt{\lambda}\end{bmatrix}\bigg) = \sqrt{\lambda} \left[\sin^2\sqrt{\lambda}+\cos^2\sqrt{\lambda} -1\right] = 0

    \Rightarrow niet-triviale kernel = eigenruimte voor elke \lambda \in {\mathbb{C}}

  • randvoorwaarden B_1[u] = u(0) + 2u_1(1) = 0 en B_2[u] = u'(0) - 2 u'(1) = 0:

    \sqrt{\lambda} \left[4\sin^2\sqrt{\lambda}+4\cos^2\sqrt{\lambda} -1\right] =0

    \Rightarrow geen enkele eigenwaarde \lambda \in {\mathbb{C}} (ook niet \lambda=0)

\Rightarrow we beperken ons tot 2de orde zelftoegevoegde operatoren: Sturm-Liouville operatoren met gescheiden (of periodieke) randvoorwaarden

Regulier Sturm-Liouville probleem

\begin{align} ({\hat{L}}u)(x)= -\frac{1}{w(x)} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x}\left(p(x)\frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}x}(x)\right) + \frac{q(x)}{w(x)} u(x) = \lambda u(x) \end{align} of equivalent \begin{align} - \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x}\left(p(x)\frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}x}(x)\right) + q(x) u(x) = \lambda w(x) u(x) \end{align} met

• Bestudeerd voor functies u \in L^2_w(I,{\mathbb{F}}) met compact interval I=[a,b] (typisch {\mathbb{F}}={\mathbb{R}})
• De functies w(x), p(x), p'(x) and q(x) zijn reëel en continu met w(x)>0 en p(x)>0 voor alle x \in [a,b]
• Gescheiden randvoorwaarden B_1[u] = \alpha_1 u(a) + \alpha_2 u'(a)=0 en B_2[u] = \beta_1 u(b) + \beta_2 u'(b) = 0

Regulier Sturm-Liouville probleem

Structuur van de oplossingen voor een regulier Sturm-Liouville probleem:

• (punt)spectrum van {\hat{L}} correspondeert met een oneindige rij reële getallen \lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n < \ldots, met een eindige ondergrens -\infty <M<\lambda_0 maar geen bovengrens: \lim_{n\to \infty} \lambda_n = +\infty
• Voor elke eigenwaarde \lambda_n is er exact één (lineair onafhankelijke) eigenvector u_n(x).
• Eigenvectors corresponderende met verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal met behulp van het gewogen inwendig product {\left\langle\ ,\ \right\rangle}_w van L^2_w([a,b]).
• De eigenvectoren \{u_n, n \in {\mathbb{N}}\} vormen een complete orthonormale basis.

Regulier Sturm-Liouville probleem

Bewijs: niet te kennen, enkele basisintuïties:

• Dimensionaliteit van \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}-\lambda {\hat{1}}) is 0 of 1 voor gescheiden randvoorwaarden (zie eerder)

• Orthonormaliteit van eigenvectoren uit zelf-toegevoegd zijn van {\hat{L}}

• Ondergrens voor \lambda_0 volgt door \frac{{\left\langle u,{\hat{L}}u\right\rangle}_w}{{\left\langle u,u\right\rangle}_w} te bestuderen. Voor Dirichlet of Neumann randvoorwaarden volgt eenvoudig dat \frac{{\left\langle u,{\hat{L}}u\right\rangle}_w}{{\left\langle u,u\right\rangle}_w} \geq \min_{x\in[a,b]} \frac{q(x)}{w(x)}

• Greense functie {\hat{G}} = ({\hat{L}} - M {\hat{1}})^{-1} is een integraaloperator met \int_a^b\int_a^b {\left\lvert g(x,y)\right\rvert}^2\,{\mathrm{d}}x{\mathrm{d}}y < \infty

  • {\hat{G}} is compacte operator met spectrum +\infty > K > \mu_0 \geq \mu_1 \geq \mu_2 \geq \ldots \geq \mu_n \geq \ldots \geq 0 en \lim_{n\to \infty} \mu_n = 0
  • als inverse van een andere operator heeft {\hat{G}} heeft geen exacte eigenwaarden nul

  \Rightarrow \lambda_n = M + \frac{1}{\mu_n}

Regulier Sturm-Liouville probleem

Bijkomende gevolgen en eigenschappen

• Resolutie van de identiteit:

  u(x) = \sum_{n \in {\mathbb{N}}} u_n(x) {\left\langle u_n,u\right\rangle}_w = \sum_{n \in {\mathbb{N}}} u_n(x) \int_a^b w(y) u_n(y) u(y)\,{\mathrm{d}}y

  • \Rightarrow \sum_{n \in {\mathbb{N}}} w(y) u_n(x) u_n(y) \approx \delta(x-y)

  • Convergentie is uniform voor u \in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}_{{\hat{L}}} (en u moet dus zeker voldoen aan randvoorwaarden) (zonder bewijs)

  • (f({\hat{L}})u)(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(\lambda_n) u_n(x) \int_a^b w(y) u_n(y) u(y)\,{\mathrm{d}}y

• Oscillatietheorema (zonder bewijs):

  u_n(x) heeft exact n nulpunten in (a,b)

Regulier Sturm-Liouville probleem: voorbeeld

• {\hat{L}} = -{\hat{D}}^2 op L^2([0,L]) (dus met w(x)=1) met Dirichlet voorwaarden u(0)=u(L)=0:

  • -u''(x) = \lambda u(x)

  • u_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi}{L} (n+1) x\right) met eigenwaarde \lambda_n = \left(\frac{\pi}{L} (n+1)\right)^2

  • alle \lambda_n \neq 0: inverse operator {\hat{G}}={\hat{L}}^{-1} bestaat

  • {\hat{G}} is integraaloperator met kern

    g(x,y) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\pi}{L} (n+1)\right)^{-2} \frac{2}{L} \sin\left(\frac{\pi}{L} (n+1) x\right)\sin\left(\frac{\pi}{L} (n+1) y\right)

    \qquad= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2}{L \pi^2 k^2} \sin\left(\frac{\pi}{L} k x\right)\sin\left(\frac{\pi}{L} k y\right)

    \qquad\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{L \pi^2 k^2} \left[\cos\left(\frac{\pi}{L} k (x-y)\right)- \cos\left(\frac{\pi}{L} k (x+y)\right)\right]

  • voor L=1: g(x,y) = \min(x,y)(1-\max(x,y)) ?

    Oefening op Fourierreeksen!

Rayleigh-Ritz methode

• Voor alle functies u \in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}_{{\hat{L}}} (inclusief randvoorwaarden) geldt

  \mathcal{R}[u] = \frac{{\left\langle u,{\hat{L}}u\right\rangle}_w}{{\left\langle u,u\right\rangle}_w} \geq \lambda_0

  en de gelijkheid geldt enkel als u \sim u_0 (bewijs via spectrale decompositie).

  \rightarrow \mathcal{R}[u]: Rayleigh quotient

• Indien we benadering voor u_0 zoeken binnen een bepaalde deelruimte, opgespannen door een aantal vectoren \{{e}_k, k=1,\ldots,m\}: u = \sum_{k=1}^m c^k e_k

  • Beste benadering:
    • \min_{\{c^k\}}{\left\lVert u - u_0\right\rVert} \Leftrightarrow orthogonale projectie
    • \Rightarrow vereist dat u_0 reeds gekend is
  • Rayleigh-Ritz methode = variationeel principe:
    • \min_{\{c^k\}} \mathcal{R}[u]

Rayleigh-Ritz methode

Algemeen: zoek beste benadering u^\ast binnen een bepaalde deelverzameling U \subseteq \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}_{{\hat{L}}}:

Rayleigh-Ritz methode = variationeel principe:

$u^\ast = \mathop{\mathrm{arg\ min}}_{u \in U} \mathcal{R}[u]

• voor U = {\mathbb{F}}\{{e}_1,\ldots,{e}_m\}: u = \sum_{k=1}^m c^k e_k

  • \boldsymbol{c}^\ast = \mathop{\mathrm{arg\ min}}_{\boldsymbol{c}} \frac{\boldsymbol{c}^{\mathsf{H}}{\mathsf{A}}\boldsymbol{c}}{\boldsymbol{c}^{\mathsf{H}}{\mathsf{B}}\boldsymbol{c}} met A_{kl} = {\left\langle{e}_k,{\hat{L}}{e}_l\right\rangle} en B_{kl} = {\left\langle{e}_k,{e}_l\right\rangle}
  • {\mathsf{A}}\boldsymbol{c}^\ast = \lambda {\mathsf{B}}\boldsymbol{c}^\ast met \lambda = \mathcal{R}[u^\ast] (veralgemeend eigenwaardeprobleem: op te lossen als {\mathsf{B}}^{-1}{\mathsf{A}} \boldsymbol{c} = \lambda \boldsymbol{c})
  • voor {\left\langle{e}_k,{e}_l\right\rangle}=\delta_{kl}: gewoon eigenwaardeprobleem

Uitbreidingen op Sturm-Liouville theorie

• p(a) = p(b) en p(x), p'(x), w(x) en s(x) continue in (a,b]:

  • periodieke randvoorwaarden: B_1[u] = u(a)-u(b) = 0 en B_2[u] = u'(a)-u'(b)=0
  • antiperiodieke randvoorwaarden: \tilde{B}_1[u] = u(a) + u(b)=0 en \tilde{B}_2[u] = u'(a) + u'(b) = 0

  \Rightarrow Periodiek Sturm-Liouville probleem

• Voorbeeld: {\hat{L}} = - {\hat{D}}^2

  \begin{align*} \lambda_0 &= 0,&u_0(x) &= 1\\ \tilde{\lambda}_{2n+1} =\tilde{\lambda}_{2n+2} &= (\pi (2n+1))^2,& \tilde{u}_{2n+1}(x) &= \sqrt{2} \sin(\pi (2n+1) x),\\ & & \tilde{u}_{2n+2}(x) &= \sqrt{2} \cos(\pi (2n+1) x),\\ \lambda_{2n+1} =\lambda_{2n+2} &= (\pi (2n+2))^2,& u_{2n+1}(x) &= \sqrt{2} \sin(\pi (2n+2) x),\\ & & u_{2n+2}(x) &= \sqrt{2} \cos(\pi (2n+2) x). \end{align*}

• Algemeen: M < \lambda_0 < \tilde{\lambda}_1 \leq \tilde{\lambda}_2 < \lambda_1 \leq \lambda_2 < \tilde{\lambda}_3 \leq \tilde{\lambda}_4 < \ldots

Uitbreidingen op Sturm-Liouville theorie

• singulier Sturm-Liouville probleem:

  • p(a) en/of p(b) = 0: randvoorwaarden niet meer nodig/mogelijk

  en/of

  • a en/of b \to \pm\infty

  \rightarrow geen eenvoudige algemene theorie

• Voorbeeld 1: ({\hat{L}}u)(r) = -\frac{1}{r} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}r} \left(r \frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}r}(r)\right) + \frac{n^2}{r^2} u(r) op r \in [0,1]

  • r = 0 is regulier singulier punt: w(r)=p(r)=r en q(r) = \nu^2/r

  • eigenwaardevergelijking -r^2 u''(r) - r u'(r) + n^2 u(r) = \lambda r^2 u(r)

  • met u(r) = U(\sqrt{\lambda} r): x^2 U''(x) + x U'(x) + (x^2 - n^2) U(x) = 0 (Besselvergelijking)

  • oplossingen J_n(x) en K_n(x): J_n(x) \sim 1 en K_n(x) met K_n(x) \sim \log(x) voor x \to 0

  • randvoorwaarde u(r) blijft eindig bij r=0:

    u_k(r) = J_n(\sqrt{\lambda_k} r) met \lambda_k^2 het kde nulpunt van J_n(x) voor x>0

Uitbreidingen op Sturm-Liouville theorie

• Voorbeelden op oneindig interval x \in (-\infty,+\infty):

  • {\hat{L}} = -{\hat{D}}^2: -u''(x) = \lambda u(x)

    • geen eigenwaarden / eigenvectoren

    • continu spectrum = {\mathbb{R}}_{\geq 0}

    • spectrale decompositie \sim Fouriertransformatie (zie volgend hoofdstuk)

  • {\hat{L}} = -{\hat{D}}^2 + {\hat{X}}^2: -u''(x) + x^2 u(x) = \lambda u(x)

    • eigenwaarden \lambda_n = 2 (n+1/2) met eigenvectoren u_n(x) = H_n(x) \exp(-x^2/2) met H_n(x) de Hermite-polynoom van nde graad

    • spectrale decompositie blijft gelden:

      ({\hat{L}} f)(x) = \sum_{n \in {\mathbb{N}}} \lambda_n u_n(x) {\left\langle u_n,f\right\rangle}

Partiële differentiaalvergelijkingen

Beginvoorwaardeproblemen

• Beschouw:

  • u_t(x) = u(x,t) zodat u_t \in L^2(I) voor elk tijdstip t
  • {\hat{L}} Sturm-Liouville operator op L^2(I) met randvoorwaarden B_i[u]

• Beginvoorwaardeprobleem:

  \frac{\partial\ }{\partial t} u_t(x) = ({\hat{L}}u_t)(x) + f(x,t),\quad B_i[u_t] = \gamma_i,\ i=1,\ldots,p,\qquad \forall t > t_0, x \in I

  met u_{t_0}(x) = v(x) met v \in L^2(I) en B_i[v]=\gamma_i.

• We stellen u_t(x) = u_0(x) + u_\gamma(x) + \breve{u}_t(x) + u_f(x,t) en willen

  • {\hat{L}}u_0 =0 en B_i[u_0] =0 enkel voor triviale oplossing u_0(x)=0

  • {\hat{L}} u_\gamma=0 en B_i[u_\gamma] = \gamma_i: unieke oplossing (tijdsonafhankelijk)

  • \frac{\partial\ }{\partial t} \breve{u}_t(x) = ({\hat{L}}\breve{u}_t)(x) met B_i[\breve{u}_t]=0 en \breve{u}_{t_0}(x) = v(x) - u_\gamma(x)

    \Rightarrow \breve{u}_t = \exp({\hat{L}}(t-t_0)) \breve{u}_{t_0}(x) = \sum_{n\in {\mathbb{N}}} {\mathrm{e}}^{\lambda_n (t-t_0)} u_n(x) {\left\langle u_n,\breve{u}_{t_0}\right\rangle}

  • u_f(x,t) = \int_{t_0}^{t} {\mathrm{d}}\tau \sum_{n=0}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{(t-\tau) \lambda_n} u_n(x) {\left\langle u_n,f_\tau\right\rangle} =\int_{t_0}^{t} {\mathrm{d}}\tau \sum_{n=0}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{(t-\tau) \lambda_n} u_n(x) \int_I u_n(y)f(y,\tau)\,{\mathrm{d}}y

Meerdimensionale Sturm-Liouville operator

• Functies u(\boldsymbol{x}) met \boldsymbol{x} \in \Omega \subseteq {\mathbb{R}}^d

• Afgeleide-operatoren $(_i u)() = ()

  Positie-operaotren ({\hat{X}}_i u)(\boldsymbol{x}) = x_i u(\boldsymbol{x})

• Meerdimensionale Sturm-Liouville operator:

  ({\hat{L}}u)(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{w(\boldsymbol{x})}\left\{ - \sum_{i,j=1}^d \frac{\partial\ }{\partial x^i}\left[p_{ij}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial u}{\partial x^j}(\boldsymbol{x})\right] + q(\boldsymbol{x}) u(\boldsymbol{x})\right\}

  met w(\boldsymbol{x}) positief en continu, q(\boldsymbol{x}) reëel en continu en $p_{ij}(\boldsymbol{x}) = p_{ji}(\boldsymbol{x}) reëel en continu afleidbaar

  • Formeel zelf-toegevoegd ten opzichte van {\left\langle v,u\right\rangle}_w = \int_{\Omega} w(\boldsymbol{x})\overline{v(\boldsymbol{x})} u(\boldsymbol{x}) \,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x}

  • Zelftoegevoegd voor bvb Robin-randvoorwaarden:

    \left[ \alpha u(\boldsymbol{x}) + \beta \sum_{i,j=1}^{d} n^i p_{ij}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial u}{\partial x^j}(\boldsymbol{x}) \right]_{\boldsymbol{x}\in \partial \Omega} = 0 met n_i de normaal op de rand van \Omega

Meerdimensionale Sturm-Liouville operator

Sturm-Liouville probleem: {\hat{L}} u_n(\boldsymbol{x}) = \lambda_n u_n(\boldsymbol{x}) waarbij u_n(\boldsymbol{x}) voldoet aan de randvoorwaarden

• Praktische oplossing: scheiding der veranderlijken (na overgang naar aangepaste coördinaten: cartesisch, cylindrisch, sferisch, …)

• Voorbeeld: {\hat{L}} = - \boldsymbol{\nabla}^2 = - \Delta = - {\hat{D}}_x^2 - {\hat{D}}_y^2 - {\hat{D}}_z^2

  • randvoorwaarden:

    \begin{align*} u(0,y,z) &= 0 & u(a,y,z) &= 0&\forall (y,z) \in [0,b] \times [0,c]\\ u(x,0,z) &= 0 & \frac{\partial u}{\partial y}(0,b,z) &= 0&\forall (x,z) \in [0,a] \times [0,c]\\ \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,0) &= 0 & \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,c) &= 0&\forall (x,y) \in [0,a] \times [0,b] \end{align*}

  • met u(\boldsymbol{x})=X(x)Y(y)Z(z): -\frac{X''(x)}{X(x)} -\frac{Y''(y)}{Y(y)} -\frac{Z''(z)}{Z(z)} = \lambda

Meerdimensionale Sturm-Liouville operator

• Voorbeeld: {\hat{L}} = - \boldsymbol{\nabla}^2 = - \Delta = - {\hat{D}}_x^2 - {\hat{D}}_y^2 - {\hat{D}}_z^2

  • oplossingen:

    \begin{align*} \lambda_{k,m,n} = \left(k\frac{\pi}{a}\right)^2 + \left(\left(m+\frac{1}{2}\right) \frac{\pi}{b}\right)^2 + \left(n \frac{\pi}{c}\right)^2,\qquad u_{k,m,n}(\boldsymbol{x}) = X_k(x) Y_m(y) Z_n(z) \end{align*} met k\in{\mathbb{N}}_0, m,n\in{\mathbb{N}} en \begin{align*} X_k(x) &= \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\frac{k\pi x}{a},& Y_m(x) &= \sqrt{\frac{2}{b}} \sin\frac{(m+\frac{1}{2})\pi x}{b},& Z_n(x) &= \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{c}},&n = 0\\ \sqrt{\frac{2}{c}} \cos \frac{n\pi z}{c},&n \geq 1 \end{cases}. \end{align*}

  • {G}={\mathsf{L}}^{-1}: integraaloperator met kern = Greense functie

    g(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \sum_{k=1}^{+\infty}\sum_{m,n=0}^{+\infty} \frac{u_{k,m,n} (\boldsymbol{x}) u_{k,m,n}(\boldsymbol{y})}{\lambda_{k,m,n}}

  • Propagator: Z(t,t') = \exp\big({\hat{L}}(t-t')\big)

    z(\boldsymbol{x}, t,\boldsymbol{x}',t') = \sum_{k=1}^{+\infty}\sum_{m,n=0}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{\lambda_{k,m,n}(t-t')} u_{k,m,n} (\boldsymbol{x}) u_{k,m,n}(\boldsymbol{x}')