Hoofdstuk 8 - Lineaire differentiaaloperatoren

Doel van dit hoofdstuk

$$ % Math operators % %

% VECTORS

% specifically for vectors in F^n

% MATRICES

% SCALARS

% LINEAR MAPS

% FIELDS

% RELATIONS

% % % % % % % % %

%

$$

• Lineaire differentiaalvergelijkingen + randvoorwaarden
  • Beginvoorwaardeproblemen
  • Randvoorwaardeproblemen
• Algemene eigenschappen van differentiaaloperatoren en randvoorwaarden
• Algemene structuur en eigenschappen van de oplossingen
• Algemene oplossingsstrategieën
• Eigenwaardeproblemen met differentiaaloperatoren

Differentiaaloperatoren en hun toegevoegde

Lineaire differentiaalvergelijkingen

• Lineaire differentiaalvergelijking:

  \[({\hat{L}} u)(x) = f(x),\quad a < x < b\]

  met (lineaire) differentiaaloperator

  \[({\hat{L}}u)(x) = a_p(x) \frac{{\mathrm{d}}^p u}{{\mathrm{d}}x^p}(x) + a_{p-1}(x) \frac{{\mathrm{d}}^{p-1} u}{{\mathrm{d}}x^{p-1}}(x) + \ldots + a_1(x) \frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}x}(x)+ a_0(x) u(x)\]

• Randvoorwaarden: \(B_i[u] = \gamma_i, i=1,\ldots,m\) met hierin

  \[B_i[u] = \sum_{j=1}^{p} \alpha_{i,j} \frac{{\mathrm{d}}^{j-1} u}{{\mathrm{d}}x^{j-1}}(a) + \sum_{j=1}^{p} \alpha_{i,j+p} \frac{{\mathrm{d}}^{j-1} u}{{\mathrm{d}}x^{j-1}}(b)\]

  • randvoorwaarden onafhankelijk als \({\mathsf{B}} = \begin{bmatrix} \alpha_{1,1} &\dots &\alpha_{1,2p}\\ \vdots & & \vdots\\ \alpha_{m,1} &\dots &\alpha_{m,2p} \end{bmatrix}\) rang \(m\) heeft

(Terugkerend) voorbeeld

\[ -u''(x) = x\]

• zonder randvoorwaarden: \(u(x) = c_1 + c_2 x -\frac{1}{2} x^2\)
• één randvoorwaarde:
  • \(u(0)=0 \Rightarrow u(x) = c_2 x - \frac{1}{2} x^2\)
  • \(u'(0) = 0 \Rightarrow u(x) = c_1 - \frac{1}{2} x^2\)
• twee randvoorwaarden:
  • \(u(0) = u(1) = 0 \Rightarrow u(x) = -\frac{1}{2}x^2 +\frac{1}{2} x\) (unieke oplossing)
  • \(u'(0) = u'(1) = 0 \Rightarrow\) geen oplossingen

\(\rightarrow\) hoe kunnen we het bestaan en de uniciteit van de oplossingen karakteriseren?

Bijkomende bemerkingen

1. Met behulp van de positie en afleidingsoperator kunnen we \({\hat{L}}\) schrijven als

   \[{\hat{L}} = \sum_{j=0}^{p} a_j({\hat{X}}) {\hat{D}}^j\]

2. In de fysica: bijna steeds tweede-orde differentiaalvergelijkingen:

   \[({\hat{L}}u)(x) = a_2(x) \frac{{\mathrm{d}}^2 u}{{\mathrm{d}}x^2}(x) + a_{1}(x) \frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}x}(x) + a_0(x) u(x)\]

   • Voor meerdere bewijzen wordt enkel het \(p=2\) geval aan bord gebracht, zelfs al doet de cursus algemene orde \(p\). Ook voor het examen is \(p=2\) voldoende.

Bijkomende bemerkingen

3. Waarde en regulariteit van de coefficiënten \(a_k(x)\)?

   • worden meestal reëel verondersteld \(\Rightarrow\) ook oplossing \(u(x)\) reëel

     • zeker in wiskunde-literatuur
     • in kwantummechanica soms complexe coefficiënten nodig

   • worden voldoende glad verondersteld:

     • voor het definiëren van de toegevoegde operator (zie later) is \(a_k(x) \in C^k([a,b],{\mathbb{R}})\) noodzakelijk

   • \(a_p(x) \neq 0\) voor \(x\in [a,b]\) of minstens \(x\in(a,b)\)

Bijkomende bemerkingen

4. Domein van oplossingen = domein van \({\hat{L}}\)

   • hoogste afgeleide \(u^{(p)}(x)\) moet bestaan en kwadratisch integreerbaar zijn

     \(\Rightarrow u^{(p-1)}(x)\) moet continu zijn

     \(\Rightarrow\) minstens \(u(x) \in C^{(p-1)}([a,b])\)

   • technisch: \(p\)de afgeleide kan in zwakke zin bestaan (zie H9)

     \(\rightarrow u \in H^p([a,b])\) = Sobolevruimte

   • soms willen we ook de (homogene) randvoorwaarden opnemen in het domein van \({\hat{L}}\)

Superpositie

• superpositie = belangrijkste eigenschap/gevolg van lineariteit

  \[\begin{align*} {\hat{L}} u_1 &= f_1 &\text{met}&&B_i[ u_1 ] = \gamma_{1,i}, \forall i =1,\ldots,m\\ {\hat{L}} u_2 &= f_2 &\text{met}&&B_i[ u_2 ] = \gamma_{2,i} \forall i =1,\ldots,m \end{align*}\]

  \(\Rightarrow\) \(u =a^1 u_1 + a^2 u_2\) is de oplossing van \[\begin{align*} {\hat{L}} u&= a^1 f_1 + a^2 f_2 &\text{met}&&B_i[ u ] = a^1 \gamma_{1,i} + a^2 \gamma_{2,i}, \forall i =1,\ldots,m \end{align*}\]

• Vergelijk met \({\mathsf{A}}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}\)

  • Rechterlid \(\boldsymbol{y}\) correspondeert met zowel het rechterlid \(f\) van de differentiaalvergelijking, als het rechterlid \(\gamma\) van de randvoorwaarden
  • Uniciteit hangt samen met het bestaan van niet-triviale oplossingen van de homogene vergelijking

  \(\Rightarrow\) (volledig) homogeen probleem = homogene differentiaalvergelijking met homogene randvoorwaarden

  \[({\hat{L}} u)(x) = 0, \quad \forall a < x < b\qquad \text{with}\ B_i[u] = 0, \forall i=1,\ldots,m\]

Superpositie: structuur van de oplossingen

• We ontbinden de oplossing van het algemene probleem als \(u = u_0 + u_f + u_\gamma\):

  • een oplossing \(u_0\) van het volledig homogene probleem:

    \[({\hat{L}} u_0)(x) = 0, \quad \forall a < x < b\qquad \text{with}\ B_i[u_0] = 0, \forall i=1,\ldots,m\]

    \(\Rightarrow\) \(u_0(x)=0\) is steeds oplossing; indien andere oplossingen \(u_0\) bestaan is de finale oplossing \(u\) niet uniek

  • een particuliere oplossing \(u_f\) van de inhomogene differentiaalvergelijking met homogene randvoorwaarden

    \[({\hat{L}} u_f)(x) = f(x), \quad \forall a < x < b\qquad \text{with}\ B_i[u_f] = 0, \forall i=1,\ldots,m\]

  • een particuliere oplossing \(u_\gamma\) van de homogene differentiaalvergelijking met inhomogene randvoorwaarden

    \[({\hat{L}} u_\gamma)(x) = 0, \quad \forall a < x < b\qquad \text{with}\ B_i[u_\gamma] = \gamma_i, \forall i=1,\ldots,m\]

  \(\rightarrow\) wanneer is het bestaan van \(u_f\) en \(u_\gamma\) gegarandeerd?

Existentie en uniciteit

• Existentie van \(u_\gamma\) is voor later

• Voor \(u_0\) en \(u_f\) definiëren we de nu het domein van de differentiaaloperator als:

  \[\mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}\,\!_{{\hat{L}}} = \{ u \in L^2([a,b]) | u^{(p)}\ \text{bestaat en}\ u^{(p)} \in L^2([a,b])\ \text{en}\ B_i[u] = 0, \forall i=1,\ldots,m\}\]

  • voor uniciteit: \(u_0 \in \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) \Rightarrow \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) = \{{o}\}\)?
  • voor bestaan van \(u_f\): \(f \in \mathcal{R}_{{\hat{L}}} = \{{\hat{L}}u,\forall u \in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}_{{\hat{L}}}\}\)? \(\rightarrow\) niet echt praktisch

• Voor begrensde operator \({\hat{A}}\): \(\mathcal{R}_{{\hat{A}}} = \mathop{\mathrm{im}}({\hat{A}})\) voldoet aan \(\overline{\mathop{\mathrm{im}}({\hat{A}})} = \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}}^\dagger)^\perp\)

  • \(f \in \overline{\mathop{\mathrm{im}}({\hat{A}})} \iff \forall w \in \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}}^\dagger): {\left\langle w,f\right\rangle}=0\)

  • \({\hat{L}}\) is geen begrensde operator:

    \(\forall v \in \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}}^\dagger): {\left\langle v,f\right\rangle}={\left\langle v,{\hat{L}}u\right\rangle}={\left\langle L^\dagger v,u\right\rangle} = 0\): noodzakelijk!

  • zonder bewijs: ook voldoende voorwaarde (gekend als “Fredholm alternative theorem”) voor zogenaamde Fredholm operatoren: omvat bepaalde klassen van differentiaaloperatoren

Toegevoegde operator

• We zijn geïnteresseerd in de kernel van de toegevoegde operator, i.e.

  \[\begin{align} ({\hat{L}}^\dagger v)(x) = 0, \quad \forall a < x < b\qquad \text{met}\ v\in\mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}\,\!_{{\hat{L}}^\dagger}\rightarrow\text{randvoorwaarden?} \end{align}\]

• formeel toegevoegde operator:

  \[{\hat{L}}^\dagger = \sum_{j=0}^{p} (-1)^{j} {\hat{D}}^j \overline{a_j}({\hat{X}})\implies ({\hat{L}}^\dagger v)(x) = \sum_{j=0}^{p} (-1)^j \frac{{\mathrm{d}}^j\ }{{\mathrm{d}}x^j} (\overline{a_j(x)} v(x))\]

  (met behulp van \({\hat{D}}^\dagger = -{\hat{D}}\))

  • als \({\hat{L}}={\hat{L}}^\dagger\): formeel zelf-toegevoegd

• identiteit van Lagrange: (bewijs aan bord)

  \[\overline{v(x)} ({\hat{L}}u)(x) - \overline{({\hat{L}}^\dagger v)(x)}u(x) = \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} J(u(x),v(x))\]

  met hierin \(J(u(x),v(x)) = \sum_{j=0}^{p} \sum_{k=0}^{j-1} (-1)^k \left(\frac{{\mathrm{d}}^k\ }{{\mathrm{d}}x^k}[ a_j(x) \overline{v(x)}]\right)\left(\frac{{\mathrm{d}}^{j-1-k}\ }{{\mathrm{d}}x^{j-1-k}}u(x)\right)\)
  (bilineaire concomitant)

Toegevoegde operator: randvoorwaarden

• De identiteit van Lagrange geïntegreerd over \([a,b]\) = identiteit van Green:

  \[{\left\langle v,{\hat{L}}u\right\rangle} - {\left\langle{\hat{L}}^\dagger v,u\right\rangle} =\left. J(u(x),v(x))\right|^b_a = \left. J(u(x),v(x))\right|_{x=b} - \left. J(u(x),v(x))\right|_{x=a}\]

• Met behulp van \[\begin{align} \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix}u(a) & u'(a) & \dots & u^{(p-1)}(a) & u(b) & u'(b) & \dots & u^{(p-1)}(b)\end{bmatrix}^{\mathsf{T}}\nonumber\\ \boldsymbol{y} = \begin{bmatrix}v(a) & v'(a) & \dots & v^{(p-1)}(a) & v(b) & v'(b) & \dots & v^{(p-1)}(b)\end{bmatrix}^{\mathsf{T}} \end{align}\]

  \(\Rightarrow \left. J(u(x),v(x))\right|^b_a = \boldsymbol{y}^{\mathsf{H}}{\mathsf{P}} \boldsymbol{x}\) met \({\mathsf{P}}\) een \(2p \times 2p\) matrix

• Randvoorwaarden voor \({\hat{L}}\): \({\mathsf{B}} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) met \({\mathsf{B}}\) een \(m \times 2p\) matrix met volle rang (\(=m\))

  • stel: \({\mathsf{K}}\) een \(2p \times (2p-m)\) matrix met kolommen een basis voor \(\mathop{\mathrm{ker}}({\mathsf{B}})\)

    \(\Rightarrow\) \((2p-m)\) randvoorwaarden voor toegevoegde operator:

    \[\boldsymbol{y}^{\mathsf{H}}{\mathsf{P}}{\mathsf{K}} = \boldsymbol{0}^{\mathsf{H}}\Leftrightarrow ({\mathsf{P}}{\mathsf{K}})^{\mathsf{H}}\boldsymbol{y} = \boldsymbol{0}\]

Toegevoegde operator: voorbeeld

• \({\hat{L}}=-{\hat{D}}^2\) op het interval \([0,1]\):
  • formeel toegevoegde: \({\hat{L}}^\dagger = -{\hat{D}}^2\) (formeel zelftoegevoegd)
  • identiteit van Green: \[\begin{align*} &\int_0^1 \overline{v(x)} (-u''(x))\,{\mathrm{d}}x - \int_0^1 (-\overline{v''(x)}) u(x)\,{\mathrm{d}}x\\ &\quad= [-v(1) u'(1) + v(0) u'(0)] + [v'(1) u(1) - v'(0) u(0)]. \end{align*}\]
  • randvoorwaarden voor \({\hat{L}}\) \(\rightarrow\) randvoorwaarden voor \({\hat{L}}^\dagger\)

    • \(m=0\) \(\rightarrow\) \(v(0)=v(1)=v'(0)=v'(1)=0\) (\(2p-m = 4\))

    • \(m=1\): \(u(0)=0\) \(\rightarrow\) \(v(0)=v(1)=v'(1)=0\) (\(2p-m=3\))

    • \(m=2\): \(u'(0)=u'(1)=0\) \(\rightarrow\) \(v'(0)=v'(1)=0\) (\(2p-m=2\))

      \(\rightarrow\) \({\hat{L}}\) is zelftoegevoegd

    • \(m=3\): \(u(0)=u'(0)=u'(1)\) \(\rightarrow\) \(v'(1)=0\) (\(2p-m=1\))

      \(\rightarrow\) \({\hat{L}}\) is symmetrisch maar niet zelftoegevoegd

Toegevoegde operator en existentie: voorbeeld

\[-u''(x) = f(x)\]

• zonder randvoorwaarden:

  \(u(x) = c_1 + c_2 x + \int_0^x{\mathrm{d}}y\left[\int_0^y {\mathrm{d}}z f(z)\right] = c_1 + c_2 x + \int_0^x {\mathrm{d}}z (x - z) f(z)\)

  • \(\mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}})\): \(-u''(x)=0 \rightarrow \{u_0(x)=1, u_0(x)=x\}\) \(\implies\) 2 vrije paramaters
  • \({\hat{L}}^\dagger\) heeft vier randvoorwaarden: \(\mathop{\mathrm{ker}}{{\hat{L}}^\dagger} =\{{o}\}\) \(\implies\) existentie voor elke \(f\)

• \(u(0) = u(1)=0\): \(c_1=0\), \(c_2 = -\int_0^1{\mathrm{d}}y\left[\int_0^y {\mathrm{d}}z f(z)\right] = \int_0^1 (1-z) f(z)\,{\mathrm{d}}z\)

  • \(\mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) = \{{o}\}\) \(\implies\) uniciteit
  • \({\hat{L}}^\dagger\) heeft randvoorwaarden \(v(0)=v(1)=0\) (zelf-toegevoegd) \(\Rightarrow \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}^\dagger)=\{{o}\}\) \(\implies\) existentie voor elke \(f\)

• \(u'(0) = u'(1)=0\): \(u'(0)=c_2 = 0\) en \(u'(1) = c_2 + \int_0^1 \,{\mathrm{d}}z f(z)=0\)

  • \(\mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) = \{u_0(x)=1\}\) \(\implies\) 1 vrije parameter (\(c_1\))
  • \({\hat{L}}^\dagger\) heeft randvoorwaarden \(v'(0)=v'(1)=0\) \(\Rightarrow \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}^\dagger)=\{v_0(x)=1\}\) \(\implies\) existentie enkel als \({\left\langle v_0,f\right\rangle}=0 = \int_0^1\,{\mathrm{d}}z f(z)\)

Toegevoegde operator en existentie: voorbeeld

\[-u''(x) = f(x)\]

• \(u(0) = u'(0) =u'(1) = 0\): \(c_0=0\), \(c_2=0\), \(c_2 + \int_0^1 \,{\mathrm{d}}z f(z)=0\)
  • \(\mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) = \{{o}\}\) \(\implies\) uniciteit
  • \({\hat{L}}^\dagger\) heeft randvoorwaarden \(v'(1)=0\) \(\Rightarrow \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}^\dagger)=\{v_0(x)=1\}\) \(\implies\) existentie enkel als \({\left\langle v_0,f\right\rangle}=0 = \int_0^1\,{\mathrm{d}}z f(z)\)

Algemene conclusies: voor een fysisch probleem willen graag dat de oplossing:

• bestaat voor een willekeurige bronterm: \(\mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}^\dagger) = \{{o}\}\)
• de oplossing uniek is: \(\mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}) = \{{o}\}\)

\(\Rightarrow\) dit zullen we enkel kunnen bereiken met \(m = 2p-m = p\) randvoorwaarden

Zelftoegevoegde differentiaaloperatoren

• Zelftoegevoegde operatoren hebben nuttige eigenschappen (vb spectrum)
• Eindig-dimensionaal:
  • \({\hat{A}} = {\hat{A}}^\dagger \implies {\mathsf{A}} = {\mathsf{A}}^{\mathsf{H}}\) als orthonormale basis
  • meer algemeen: \({\mathsf{A}}^\dagger = {\mathsf{g}}^{-1} {\mathsf{A}}^{\mathsf{H}}{\mathsf{g}}\) met \({\mathsf{g}}\) inwendig product van de basisvectoren
• Voor een differentiaaloperator op \([a,b]\):
  • misschien niet (formeel) zelf-toegevoegd t.o.v. standaard inwendig product
  • maar wel ten opzichte van \({\left\langle v,u\right\rangle}_w\), dus voor functies \(u \in L^2_w([a,b])\)

    • voor positie-operator: \({\left\langle v,{\hat{X}}u\right\rangle}_w = {\left\langle{\hat{X}}^\dagger v,u\right\rangle}_w\) \(\rightarrow\) \(({\hat{X}}^\dagger v)(x) = x v(x) = ({\hat{X}} v)(x)\)

      (altijd zelftoegevoegd)

    • \({\left\langle v,{\hat{D}}u\right\rangle}_w = {\left\langle{\hat{D}}^\dagger v,u\right\rangle}_w\) \(\rightarrow\) \(({\hat{D}}^\dagger v)(x) = -\frac{1}{w(x)} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} \left[w(x)v(x)\right]\)

Zelftoegevoegde differentiaaloperatoren

• Veralgemeende Lagrange-identiteit: \[w(x) \overline{v(x)} ({\hat{L}}u)(x) - w(x) \overline{({\hat{L}}^\dagger v)(x)} u(x) = \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} J(u(x),v(x))\] met \(J(u(x),v(x)) = \sum_{j=0}^{p} \sum_{k=0}^{j-1} (-1)^k \left(\frac{{\mathrm{d}}^k\ }{{\mathrm{d}}x^k}[ w(x) a_j(x) \overline{v(x)}]\right)\left(\frac{{\mathrm{d}}^{j-1-k}\ }{{\mathrm{d}}x^{j-1-k}}u(x)\right)\)

• Een reële 2de-orde differentiaaloperator is formeel zelf-toegevoegd t.o.v. \({\left\langle\ ,\ \right\rangle}_w\) als en slechts als hij kan geschreven worden in de vorm van een Sturm-Liouville operator: (bewijs aan bord) \[({\hat{L}}u)(x) = -\frac{1}{w(x)} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} \left( p(x) \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} u (x)\right) + \frac{q(x)}{w(x)} u(x)\]

• Er bestaat een keuze van \(w\) die elke reële 2de-orde differentiaaloperator met \(a_2(x)\neq 0\) voor \(x \in [a,b]\) formeel zelf-toegevoegd maakt (bewijs aan bord)

Sturm-Liouville operator: randvoorwaarden

• voor Sturm-Liouville operator \({\hat{L}}\): \(J(u(x),v(x)) = -p(x) \left[\overline{v(x)} u'(x) - \overline{v'(x)} u(x)\right]\)

  \[\begin{align} \left[J(u(x),v(x))\right]_a^b &= \boldsymbol{y}^{\mathsf{H}}{\mathsf{P}}\boldsymbol{x} =\begin{bmatrix}v(a)\\v'(a)\\v(b)\\v'(b)\end{bmatrix}^{\mathsf{H}}\begin{bmatrix} 0 & +p(a) & 0 & 0 \\ -p(a) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -p(b) \\ 0 & 0 & +p(b) & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u(a)\\u'(a)\\u(b)\\u'(b)\end{bmatrix}\label{eq:diff:boundarygeneralsturmliouville}\\ &= p(b) \det\left(\begin{bmatrix} u(b) & \overline{v(b)} \\ u'(b) & \overline{v'(b)} \end{bmatrix}\right) - p(a) \det\left(\begin{bmatrix} u(a) & \overline{v(a)} \\ u'(a) & \overline{v'(a)} \end{bmatrix}\right). \end{align}\]

• reguliere Sturm-Liouville operator: \(p(a)\neq 0\), \(p(b)\neq 0\)

Sturm-Liouville operator: randvoorwaarden

Reguliere Sturm-Liouville operator is zelftoegevoegd voor:

• gescheiden randvoorwaarden: \[\begin{align} {\mathsf{B}} \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} \alpha_{1} & \alpha_{2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \beta_{1} & \beta_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u(a)\\u'(a)\\u(b)\\u'(b)\end{bmatrix} = \boldsymbol{0} \quad \iff\quad \begin{cases} \alpha_{1} u(a) + \alpha_{2} u'(a) = 0\\ \beta_{1} u(b) + \beta_{2} u'(b) = 0\end{cases}.\label{eq:diff:seperatedbc} \end{align}\]

• \(p(a) = p(b)\) en periodieke randvoorwaarden: \[\begin{align} {\mathsf{B}} \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u(a)\\u'(a)\\u(b)\\u'(b)\end{bmatrix} = \boldsymbol{0} \quad \iff\quad \begin{cases} u(a) = u(b)\\ u'(a) = u'(b)\end{cases} \end{align}\]

• andere oplossingen voor de randvoorwaarden, maar dit zijn de twee fysisch meest relevante gevallen

Beginvoorwaardeproblemen

Beginvoorwaardeprobleem

\[({\hat{L}} u)(t) = \sum_{j=0}^{p} a_j(t) \frac{{\mathrm{d}}^j u}{{\mathrm{d}}t^j}(t) = f(t),\ a<t<b,\quad \text{met}\ u^{(i)}(a) = \gamma_i,\ i=0,\ldots,p-1.\]

• meestal \(t\) in plaats van \(x\)
• nooit zelftoegevoegd, toegevoegde operator heeft randvoorwaarden \(v^{(i)}(b)\) voor \(i=0,\ldots,p-1\)
• \(a_p(t) \neq 0\) voor alle \(t \in [a,b]\), en \(a_k(t)\) continu voor alle \(t\in[a,b]\)
• oplossing splitsen in:
  • inhomogene oplossing \(u_f\) met \(u^{(i)}_f(a)=0\)
  • homogene oplossing \(u_\gamma\) die voldoet aan de randvoorwaarden \(u^{(i)}_\gamma(a) = \gamma_i\)

Homogene oplossing

Herschrijven als (en veralgemenen tot voorwaarde op willekeurig punt \(c \in [a,b]\)) \[\frac{{\mathrm{d}}\boldsymbol{z}}{{\mathrm{d}}t}(t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t),\ a<t<b,\quad \text{met}\ \boldsymbol{z}(c) = \boldsymbol{\zeta}\]

\[\begin{align} \boldsymbol{z}(t)&= \begin{bmatrix} u(t)\\ \dot{u}(t)\\ \vdots\\ u^{(p-1)}(t) \end{bmatrix},&\boldsymbol{\zeta}&= \begin{bmatrix} \gamma_0\\ \gamma_1\\ \vdots\\ \gamma_{p-1} \end{bmatrix} \end{align}\] \[\begin{align} {\mathsf{A}}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ -\frac{a_0(t)}{a_p(t)} & -\frac{a_1(t)}{a_p(t)} & -\frac{a_2(t)}{a_p(t)} & -\frac{a_3(t)}{a_p(t)} & \dots & -\frac{a_{p-1}(t)}{a_p(t)} \end{bmatrix}\label{eq:diff:Acompanion} \end{align}\]

Homogene oplossing

• autonome geval (\({\mathsf{A}}(t) ={\mathsf{A}}(0)={\mathsf{A}}\)): \(\boldsymbol{z}(t) = \exp\left((t-c){\mathsf{A}} \right) \boldsymbol{\zeta} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} (t-c)^n {\mathsf{A}}^n \boldsymbol{\zeta}\)

• veralgemening: \(\boldsymbol{z}(t) = \exp\left(\int_{c}^{t} {\mathsf{A}}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau\right) \boldsymbol{\zeta}\) ? \(\qquad\rightarrow\) NEEN!

  (enkel als \({\left[{\mathsf{A}}(t),{\mathsf{A}}(t')\right]}={\mathsf{O}}\) voor alle \(t,t' \in [a,b]\), bvb als \(p=1\))

• Herschrijf probleem als

  \[\boldsymbol{z}(t) = \int_{c}^{t} {\mathsf{A}}(\tau) \boldsymbol{z}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau + \boldsymbol{\zeta} = ({\hat{{\mathsf{K}}}}\boldsymbol{z})(t) + \boldsymbol{\zeta}\quad \implies\quad ([{\hat{1}}- {\hat{{\mathsf{K}}}}]\boldsymbol{z})(t) = \boldsymbol{\zeta}\]

  met \({\hat{{\mathsf{K}}}}\) een matrix-waardige integraaloperator op vector-waardige functies \(\boldsymbol{z}(t)\)

  \[({\hat{{\mathsf{K}}}}\boldsymbol{z})(t) = \int_c^t {\mathsf{A}}(\tau)\boldsymbol{z}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau = \int_{a}^{b} {\mathsf{K}}(t,\tau)\boldsymbol{z}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau\]

  met kern \({\mathsf{K}}(t,\tau) = \begin{cases} {\mathsf{A}}(\tau) H(t - \tau) H(\tau - c),& t \geq c\\ {\mathsf{A}}(\tau) H(\tau - t) H(c-\tau), & t < c \end{cases}\)

Homogene oplossing

Oplossing voor \(([{\hat{1}}- {\hat{{\mathsf{K}}}}]\boldsymbol{z})(t) = \boldsymbol{\zeta}\):

\[\boldsymbol{z}(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} ({\hat{{\mathsf{K}}}}^n \boldsymbol{\zeta})(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_c^t {\mathrm{d}}t_1\int_c^{t_1} {\mathrm{d}}t_2 \cdots \int_c^{t_{n-1}} {\mathrm{d}}t_n\, {\mathsf{A}}(t_1) {\mathsf{A}}(t_2) \cdots {\mathsf{A}}(t_n) \zeta\]

(in de eerste uitdrukking beschouwen we \(\boldsymbol{\zeta}\) als de constante vectorfunctie \(t \mapsto \boldsymbol{\zeta}\))

Bewijs (deels aan bord):

• ruimte van vectorfuncties \(\boldsymbol{z}: [a,b] \to {\mathbb{F}}^p : t \mapsto \boldsymbol{z}(t)\)

  • inwendig product en toegevoegde niet belangrijk in deze context
  • \({\left\lVert\boldsymbol{z}\right\rVert} = \sup_{t\in[a,b]} {\left\lVert\boldsymbol{z}(t)\right\rVert}_v\) met \({\left\lVert\cdot\right\rVert}_v\) een arbitraire vectornorm op \({\mathbb{F}}^p\)

• we bewijzen: \({\left\lVert{\hat{{\mathsf{K}}}}^n \boldsymbol{z}\right\rVert} \leq \frac{(b-a)^n}{n!} \left(\sup_{t\in[a,b]} {\left\lVert{\mathsf{A}}(t)\right\rVert}_{v,\text{op}}\right)^n {\left\lVert\boldsymbol{z}\right\rVert}\)

  \(\Rightarrow\) reeks convergeert absoluut

Tijdsordening en tijdsgeordende exponentiële

In de (kwantum)fysica wordt vaak de tijdsordening “operator” (procedure) ingevoerd:

\[\mathcal{T}\left[{\mathsf{A}}(t_1){\mathsf{A}}(t_2)\right] = \begin{cases} {\mathsf{A}}(t_1){\mathsf{A}}(t_2),&t_1 > t_2\\ {\mathsf{A}}(t_2){\mathsf{A}}(t_1),&t_2 > t_1\\ \end{cases}\]

Daarmee geldt: \(\int_c^t{\mathrm{d}}t_1\int_c^{t_1}{\mathrm{d}}t_2 {\mathsf{A}}(t_1){\mathsf{A}}(t_2) =\frac{1}{2} \int_c^t{\mathrm{d}}t_2\int_{c}^{t}{\mathrm{d}}t_1 \mathcal{T}\left[{\mathsf{A}}(t_1){\mathsf{A}}(t_2)\right]\)

\[\begin{align} \Rightarrow \boldsymbol{z}(t) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \int_c^t {\mathrm{d}}t_1\int_c^{t_1} {\mathrm{d}}t_2 \cdots \int_c^{t_{n-1}} {\mathrm{d}}t_n\, {\mathsf{A}}(t_1) {\mathsf{A}}(t_2) \cdots {\mathsf{A}}(t_n)\boldsymbol{\zeta} \nonumber\\ &= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!} \int_c^t {\mathrm{d}}t_1\int_c^{t} {\mathrm{d}}t_2 \cdots \int_c^{t} {\mathrm{d}}t_n\, \mathcal{T}\left[{\mathsf{A}}(t_1) {\mathsf{A}}(t_2) \cdots {\mathsf{A}}(t_n)\right]\boldsymbol{\zeta}\nonumber\\ &= \mathcal{T}\exp\left(\int_{c}^{t} {\mathsf{A}}(\tau){\mathrm{d}}\tau\right) \boldsymbol{\zeta} \end{align}\]

\(\Rightarrow \mathcal{T}\exp\) = tijdsgeordende exponentiële

Fundamentale matrixoplossing

Beschouw een matrixfunctie \([a,b]\to{\mathbb{F}}^{p \times r}: t \mapsto {\mathsf{Z}}(t)\), zodat de kolommen van \({\mathsf{Z}}(t)\) oplossingen zijn van de homogene differentiaalvergelijking \(\dot{\boldsymbol{z}}(t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t)\) zonder randvoorwaarden:

• als kolommen lineair onafhankelijk zijn op 1 tijdstip \(t_0\), dan zijn ze op elk ander tijdstip lineair onafhankelijk (bewijs aan bord)

• er bestaan precies \(p\) lineair onafhankelijke oplossingen ten opzichte waarvan elke andere oplossing kan worden geëxpandeerd

• fundamentele (oplossings)matrix:

  \([a,b]\to{\mathbb{F}}^{p \times p}: t \mapsto {\mathsf{Z}}(t)\) met \(\frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t}{\mathsf{Z}}(t) = {\mathsf{A}}(t){\mathsf{Z}}(t)\) en \(\det({\mathsf{Z}}(c)) \neq 0\)

  \(\Rightarrow\) stelling van Liouville (bewijs aan bord)

  \[\det\big({\mathsf{Z}}(t)\big) = \det\big({\mathsf{Z}}(c)\big) \exp\left[\int_c^{t} \mathop{\mathrm{tr}}\big({\mathsf{A}}(\tau)\big)\,{\mathrm{d}}\tau\right]\]

  (m.b.v. Jacobi’s formule uit H2: \(\frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} \det\big({\mathsf{A}}(t)\big) = \det\big({\mathsf{A}}(t)\big) \mathop{\mathrm{tr}}\left({\mathsf{A}}(t)^{-1} \frac{{\mathrm{d}}{\mathsf{A}}}{{\mathrm{d}}t}(t)\right)\))

Fundamentale matrices

• Fundamentale matrices \({\mathsf{Z}}(t)\) en \(\tilde{{\mathsf{Z}}}(t)\) van dezelfde vergelijking \(\dot{\boldsymbol{z}}(t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t)\):

  er bestaat constante inverteerbare matrix \({\mathsf{C}} \in {\mathbb{F}}^{p\times p}\) zodat \(\tilde{{\mathsf{Z}}}(t) = {\mathsf{Z}}(t) {\mathsf{C}}\)

• “principale” fundamentele matrix \({\mathsf{Z}}(t,t_0)\):

  \(\frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} {\mathsf{Z}}(t,t_0) = {\mathsf{A}}(t) {\mathsf{Z}}(t,t_0)\) en \({\mathsf{Z}}(t_0,t_0) = {\mathsf{I}}\) voor elke \(t_0 \in [a,b]\)

  Eigenschappen (bewijs aan bord):

  • \(\dot{\boldsymbol{z}}(t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t)\) en \(\boldsymbol{z}(t_0) = \boldsymbol{\zeta}\): \(\boldsymbol{z}(t) = {\mathsf{Z}}(t,t_0) \boldsymbol{\zeta}\)
  • \({\mathsf{Z}}(t,t_0) = \tilde{{\mathsf{Z}}}(t)\tilde{{\mathsf{Z}}}(t_0)^{-1}\) voor elke fundamental matrix \(\tilde{{\mathsf{Z}}}\)
  • \({\mathsf{Z}}(t_2,t_1){\mathsf{Z}}(t_1,t_0) = {\mathsf{Z}}(t_2,t_0)\) en \({\mathsf{Z}}(t_0,t_1) = {\mathsf{Z}}(t_1,t_0)^{-1}\)
  • \(\det({\mathsf{Z}}(t,t_0)) = \exp\left[\int_{t_0}^t \mathop{\mathrm{tr}}({\mathsf{A}}(\tau))\,{\mathrm{d}}\tau\right]\)

  Fysica-notatie: \({\mathsf{Z}}(t,t_0) = \mathcal{T} \exp\left(\int_{t_0}^t {\mathsf{A}}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau\right)\) (propagator)

  \(\rightarrow \det\left[\mathcal{T} \exp\left(\int_{t_0}^t {\mathsf{A}}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau\right)\right] = \exp\left[\int_{t_0}^{t} \mathop{\mathrm{tr}}\big({\mathsf{A}}(\tau)\big)\,{\mathrm{d}}\tau\right]\) veralgemening van \(\det\left[\exp({\mathsf{A}})\right] = \exp\left(\mathop{\mathrm{tr}}[{\mathsf{A}}]\right)\)

Fundamentele matrices en Wronskiaan

terug naar scalaire functies \(u(t)\)

• Gegeven een verzameling functies \(\{u_i(t):[a,b] \to {\mathbb{F}}; i=1,\dots,p\}\)

• Wronskiaan: \(W(t) = \det\left(\begin{bmatrix} u_1(t) & u_2(t) & \dots & u_p(t)\\ \dot{u}_1(t) & \dot{u}_2(t) & \dots & \dot{u}_p(t)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ u_1^{(p-1)}(t) & u_2^{(p-1)}(t) & \dots & u_p^{(p-1)}(t)\\ \end{bmatrix}\right)\)

  • functies lineair afhankelijk \(\implies W(t)=0\); \(W(t_0)\neq 0\) impliceert functies lineair onafhankelijk

    (soms \(W(t_0)=0\) voor lineair onafhankelijke functies)

• Voor \(p\) lineair onafhankelijke oplossingen van \(({\hat{L}} u)(t) = \sum_{j=0}^{p} a_j(t) \frac{{\mathrm{d}}^j u}{{\mathrm{d}}t^j}(t) =0\):

  Wronskiaan = determinant van fundamentele matrix voor equivalent eerste-orde probleem \(\Rightarrow\) Liouville = Abel’s formule: \(W(t) = W(t_0) {\mathrm{e}}^{-\int_{t_0}^t \frac{a_{p-1}(\tau)}{a_p(\tau)}\,{\mathrm{d}}\tau}\)

Wronskiaan en Abel’s formule

Voor \(p=2\)

• Abel’s formule kan eenvoudig rechtstreeks bewezen worden:

  • \(W(t) = u_1(t) \dot{u}_2(t) - \dot{u}_1(t) u_2(t)\)

    \(\Rightarrow \dot{W}(t) = u_1(t) \ddot{u}_2(t) - \ddot{u}_1(t) u_2(t) = -\frac{a_1(t)}{a_2(t)}\left( u_1(t) \dot{u}_2(t) - \dot{u}_1(t) u_2(t)\right) = -\frac{a_1(t)}{a_2(t)} W(t)\)

• Abel’s formule kan gebruikt worden om een 2de lineaire onafhankelijke oplossing te construeren:

  • gegeven een eerste oplossing \(u(t)\) met \(u(t_0)\neq 0\), tweede oplossing \(v(t)\) gegeven door

    \[v(t) = u(t)\int_{t_0}^{t} \frac{1}{p(\tau) u(\tau)^2}\,{\mathrm{d}}\tau\]

    met \(\frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} \log p(t) = \frac{1}{p(t)} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} p(t) = \frac{a_1(t)}{a_2(t)}\)

    (bewijs aan bord)

Theorema van Floquet

\(\frac{{\mathrm{d}}\boldsymbol{z}}{{\mathrm{d}}t} (t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t)\) met \({\mathsf{A}}(t+T) ={\mathsf{A}}(t)\) (periodiek)

• Floquet: (bewijs aan bord)

  • elke fundamentele matrix is van de vorm \({\mathsf{Z}}(t) = {\mathsf{Q}}(t) {\mathrm{e}}^{\mathrm{B} t}\) met periodieke \({\mathsf{Q}}(t)={\mathsf{Q}}(t+T)\) en constante \({\mathsf{B}}\).

  • \({\mathsf{C}} = \exp(T {\mathsf{B}}) = {\mathsf{Z}}(t+T){\mathsf{Z}}(t)^{-1}\) staat gekend als de monodromie matrix

  • \({\mathsf{B}} = \frac{1}{T} \log({\mathsf{C}})\) is niet uniek

  • voor diagonaliseerbare \({\mathsf{B}}\): lineair onafhankelijke oplossingen van de vorm

    \[\boldsymbol{z}(t) = \boldsymbol{q}(t) {\mathrm{e}}^{\lambda t}\]

• Toepassingen in de fysica:
  • periodieke aandrijving: zowel in de klassieke als de kwantumfysica (lasers)
  • periodieke potentialen voor electronen: Bloch-golven (vastestoffysica)

Inhomogene oplossing

\[\frac{{\mathrm{d}}\boldsymbol{z}}{{\mathrm{d}}t}(t) = {\mathsf{A}}(t) \boldsymbol{z}(t) + \boldsymbol{b}(t),\quad a < t < b\qquad \text{met}\ \boldsymbol{z}(t_0) = \boldsymbol{\zeta}\]

(voor \(p\)de orde scalaire differentiaalvergelijking: \(\boldsymbol{b}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & f(t)/a_p(t) \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}\))

• na integratie: \(\boldsymbol{z}(t) - ({\hat{{\mathsf{K}}}}\boldsymbol{z})(t) = \boldsymbol{\zeta} + \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{b}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau\)

  \[\begin{align} \Rightarrow \boldsymbol{z}(t) &= {\mathsf{Z}}(t,t_0) \boldsymbol{\zeta} + \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{t_0}^t {\mathrm{d}}t_1\int_{t_0}^{t_1} {\mathrm{d}}t_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} {\mathrm{d}}t_n\int_{t_0}^{t_n} {\mathrm{d}}\tau\, {\mathsf{A}}(t_1) {\mathsf{A}}(t_2) \cdots {\mathsf{A}}(t_n) \boldsymbol{b}(\tau)\nonumber\\ &={\mathsf{Z}}(t,t_0) \boldsymbol{\zeta} + \int_{t_0}^{t} {\mathrm{d}}\tau \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\tau}^t {\mathrm{d}}t_1\int_{\tau}^{t_1} {\mathrm{d}}t_2 \cdots \int_{\tau}^{t_{n-1}} {\mathrm{d}}t_n\, {\mathsf{A}}(t_1) {\mathsf{A}}(t_2) \cdots {\mathsf{A}}(t_n) \boldsymbol{b}(\tau)\nonumber\\ &= {\mathsf{Z}}(t,t_0) \boldsymbol{\zeta} + \int_{t_0}^{t} {\mathsf{Z}}(t,\tau) \boldsymbol{b}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau.\label{eq:diff:firstorderinhomogeneousgeneralsolution} \end{align}\]

Analyciteit van de oplossingen

• \({\mathsf{A}}(t)\) en \({\mathsf{b}}(t)\) analytisch zijn in \([a,b]\):

  • de oplossing \(\boldsymbol{z}(t)\) is analytisch in \([a,b]\)
  • de fundamentale matrix \({\mathsf{Z}}(t)\) van homogeen probleem is analytisch in \([a,b]\)

  (zonder bewijs)

  • voor \(({\hat{L}} u)(t) = \sum_{j=0}^{p} a_j(t) \frac{{\mathrm{d}}^j u}{{\mathrm{d}}t^j}(t) = f(t)\):

    analytisch als \(a_j(t)\) (\(j=0,\ldots,p\)) en \(f(t)\) analytisch in \([a,b]\) EN \(a_p(t) \neq 0\) in \([a,b]\)

• Praktisch nut: Taylorreeks als “ansatz”

  \[u(t)=\sum_{k \in {\mathbb{N}}} u_k (t-t_0)^k\]

  differentiaalvergelijking \(\rightarrow\) recursierelatie voor coefficiënten \(u_k\)

Voorbeeld Taylorreeks (1)

Airy-vergelijking / Stokes-vergelijking (toepassingen in kwantummechanica en optica):

\[\ddot{u}(t) - t u(t) = 0\]

• \(u(t)=\sum_{k \in {\mathbb{N}}} u_k t^k\): \(2 u_2 + \sum_{k=1}^{+\infty}((k+2)(k+1) u_{k+2} -u_{k-1})t^k = 0\)

  \[\Rightarrow u_{k} = \frac{1}{k(k-1)} u_{k-3}\qquad \text{en}\qquad u_2 = 0\]

  \[\begin{align*} u_a(t) &= 1 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{t^{3k}}{(3k)\cdot (3k-1)\cdot (3k-3)\cdot (3k-4)\cdots 6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}\\ u_b(t) &= t + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{t^{3k+1}}{(3k+1)\cdot (3k)\cdot (3k-2)\cdot (3k-1)\cdots 7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3} \end{align*}\]

  • \(u_a(t)\) en \(u_b(t)\) monotoon stijgend voor \(t>0\), oscillerend voor \(t<0\)

    (vergelijk met \(\ddot{u}(t) - k u(t)=0\) voor \(k>0\) en \(k<0\))

  • Airy-functie \(\mathrm{Ai}(t) = \frac{1}{3^{2/3} \Gamma\left(\frac{2}{3}\right)} u_a(t) - \frac{1}{3^{1/3} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)} u_b(t)\) daalt naar nul voor \(t>0\)

Voorbeeld Taylorreeks (2)

Legendre vergelijking (gerelateerd aan Laplace vergelijking in sferische coördinaten):

\[(1-t^2) \ddot{u}(t) - 2t \dot{u}(t) +\nu(\nu+1) = 0\]

• \(u(t)=\sum_{k \in {\mathbb{N}}} u_k t^k\):

  \[\Rightarrow u_{k+2} = \frac{k(k+1) - \nu(\nu+1)}{(k+1)(k+2)} u_k = \frac{(k-\nu)(k+\nu+1)}{(k+1)(k+2)} u_k\]

  • even functie \(u_+(t)\) startende van \(\begin{cases} u_+(0) = (u_+)_0 = 1\\ u_+'(0) = (u_+)_1 = 0 \end{cases}\)

  • oneven functie \(u_-(t)\) startende van \(\begin{cases} u_-(0) = (u_-)_0 = 0\\ u_-'(0) = (u_-)_1 = 1 \end{cases}\)

  • \(\nu = n \in {\mathbb{N}}_0\): \(u_{n+2} = 0\):

    \(\rightarrow\) één van beide oplossingen is een veelterm: Legendre-veeltermen uit H7

    \(\rightarrow\) andere oplossing: “Legendre-functies van het tweede type”

Singulier beginvoorwaardeproblemen (zonder bewijs)

• \({\mathsf{A}}(t)\) analytisch in \((0,\rho)\) maar met singulariteit voor \(t=0\)

  \(\Rightarrow\) fundamentele matrix \({\mathsf{Z}}(t)\) is analytische functie van \(\log(t)\)

• regulier singulier punt:

  \[{\mathsf{A}}(t)= \frac{{\mathsf{A}}_{-1}}{t} + {\mathsf{A}}_\text{reg}(t) = \frac{{\mathsf{A}}_{-1}}{t} + \sum_{k=0}^{+\infty} {\mathsf{A}}_k t^k\]

  • \({\mathsf{Z}}(t) = \left(\sum_{k=0}^{+\infty} X_k t^k\right) t^{{\mathsf{B}}}\) met \({\mathsf{X}}(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} X_k t^k\)

  • als \({\mathsf{A}}_{-1}\) geen twee eigenwaarden heeft die aan \(\lambda_i-\lambda_j \in {\mathbb{N}}_0\):

    \({\mathsf{Z}}(t)\) kan gekozen worden zodat \({\mathsf{X}}(0)={\mathsf{X}}_0={\mathsf{I}}\) en \({\mathsf{B}}={\mathsf{A}}_{-1}\)

• regulier singulier punt / zwak singulier punt voor \(p\)de orde scalaire differentiaalvergelijking:

  punt \(\tau\) waar \(a_{p-j}(t)/a_p(t) \sim (t-\tau)^{j}\) (of minder singulier) voor \(j=1,\ldots,p\)

  (via \(\boldsymbol{z}(t) = \begin{bmatrix}u(t) & (t-\tau) \dot{u}(t) & (t-\tau)^2 \ddot{u}(t) & \ldots & (t-\tau)^{p-1} u^{(p-1)}(t)\end{bmatrix}^{\mathsf{T}}\))

Methode van Frobenius

\(p\)de orde differentiaalvergelijking met zwak singulier punt bij \(t=\tau\):

• testoplossing \(u(t) = (t-\tau)^\lambda \sum_{k=0}^{+\infty} u_k (t-\tau)^k\)

• factor bij laagste-orde term: indiciële vergelijking \(I(\lambda)=0\) (\(p\)de orde veelterm)

• voor oplossing \(\lambda\) met multipliciteit \(q\) zodat \(I(\lambda + n) \neq 0\) voor alle \(n \in {\mathbb{N}}_0\):

  \[\begin{align*} u_1(t) &= t^\lambda x_1(t)\\ u_2(t) &= t^\lambda \big(x_1(t) (\log t) + x_2(t)\big)\\ u_3(t) &= t^\lambda \left(\frac{1}{2} x_1(t) (\log t)^2 + x_2(t) (\log t) + x_3(t)\right)\\ \ldots\\ u_q(t) &= t^\lambda \left(\frac{1}{(q-1)!} x_1(t) (\log t)^{q-1} + \frac{1}{(q-2)!} x_2(t) (\log t)^{q-2} + \ldots + x_{q}(t)\right) \end{align*}\]

  met \(x_i(t)\) analytisch (Taylorreeksen)

• voor oplossing \(\lambda\) en \(\mu = \lambda+n\) met \(n \in {\mathbb{N}}_0\) (maar geen oplossingen \(\mu+n'\)): \(u_1(t) = t^\mu x_1(t)\) en \(u_2(t) = c u_1(t) \log t + t^\lambda x_2(t)\)

Methode van Frobenius voor 2de orde

Voor 2de orde differentiaalvergelijking:

• indiciële vergelijking heeft twee oplossingen \(\lambda_1\) en \(\lambda_2\), gesorteerd zodat \(\mathop{\mathrm{Re}}{\lambda_1} \geq \mathop{\mathrm{Re}}{\lambda_2}\).

  • \(u(t) = t^{\lambda_1} x(t) = t^{\lambda_1} \sum_{k\in {\mathbb{N}}} x_k t^k\)

  • als \(\lambda_2 = \lambda_1 + n\) voor een \(n \in {\mathbb{N}}\):

    \(v(t) = c u(t) \log(t) + t^{\lambda_2} y(t) = c u(t) \log(t) + t^{\lambda_2} \sum_{k\in {\mathbb{N}}} y_k t^k\)

    indien \(\lambda_2 \neq \lambda_1 + n\) voor een \(n \in {\mathbb{N}}\):

    \(v(t) = t^{\lambda_2} y(t) = t^{\lambda_2} \sum_{k\in {\mathbb{N}}} y_k t^k\)

  • of: via Abel’s vergelijking:

    \(v(t) = u(t)\int_{t_0}^{t} \frac{1}{p(\tau) u(\tau)^2}\,{\mathrm{d}}\tau\)

Voorbeeld zwak singulier punt

Besselvergelijking (radieel deel van Laplacevergelijking cylindrische coördinaten):

\[t^2 \ddot{u}(t) + t \dot{u}(t) + (t^2 - \nu^2) u(t) = 0\]

• indiciële vergelijking: \(\lambda(\lambda-1) + \lambda - \nu^2 \rightarrow \lambda_{\pm} = \pm \nu\)

• \(\nu = 0\):

  \[J_0(t) = \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{(m!)^2} \left(\frac{t}{2}\right)^{2m},\;K_0(t) = J_0(t) \log(t) + \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{(m!)^2} \Phi(m)\left(\frac{t}{2}\right)^{2m}\]

  met \(\Phi(m) = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{m}\) (harmonische functie)

• \(2\nu \not\in {\mathbb{Z}}\): \(J_{\pm \nu}(t)\) met

  \[J_{\nu}(t)=\left(\frac{t}{2}\right)^\nu \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{\Gamma(m+1)\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{t}{2}\right)^{2m}\]

Voorbeeld zwak singulier punt

Besselvergelijking (radieel deel van Laplacevergelijking cylindrische coördinaten):

\[t^2 \ddot{u}(t) + t \dot{u}(t) + (t^2 - \nu^2) u(t) = 0\]

• \(\nu = n\) met \(n \in {\mathbb{N}}_0\):

  \(J_n(t)=\left(\frac{t}{2}\right)^n \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{\Gamma(m+1)\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{t}{2}\right)^{2m} = \left(\frac{t}{2}\right)^n \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m!(m+n)!}\left(\frac{t}{2}\right)^{2m} = (-1)^n J_{-n}(t)\)

  \(K_n(t) = J_n(t) \log(t) - \frac{1}{2} \left(\frac{t}{2}\right)^{-n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\Gamma(n-k)}{\Gamma(k+1)} \left(\frac{t}{2}\right)^{2k} - \frac{1}{2} \left(\frac{t}{2}\right)^{n}\sum_{m=0}^{n-1} (-1)^m \frac{ \Phi(m)+\Phi(m+n)}{\Gamma(m+1)\Gamma(m+n+1)} \left(\frac{t}{2}\right)^{2m}\)

  Met behulp van \(Y_n(t) = \frac{2}{\pi} \left(K_n(t) + (\gamma - \log 2) J_n(t)\right)\) (Neumann functie):

  • \(J_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \left[\cos\left(x - n\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}\left(\frac{1}{x}\right)\right]\)

  • \(Y_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \left[\sin\left(x - n\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}\left(\frac{1}{x}\right)\right]\)

  • \(\Rightarrow H_n^{(1)}(t) = J_n(t) + {\mathrm{i}}Y_n(t)\) en \(H_n^{(2)}(t) = J_n(t) + {\mathrm{i}}Y_n(t)\):

    Hankel functies van de eerste en tweede soort

Voorbeeld zwak singulier punt

Besselvergelijking (radieel deel van Laplacevergelijking cylindrische coördinaten):

\[t^2 \ddot{u}(t) + t \dot{u}(t) + (t^2 - \nu^2) u(t) = 0\]

• \(\nu = n + \frac{1}{2}\) met \(n \in {\mathbb{N}}\):

  \(u(t) = t^{1/2} y(t)\)

  • sferische Besselvergelijking:

    \[t^2 \ddot{y}(t) + 2 t \dot{y}(t) + (t^2 - n(n+1))y(t)=0\]

  • sferische Besselfunctie van de eerste soort:

    \(j_n(t) = \left(\frac{\pi}{2t}\right)^{1/2} J_{n+1/2}(t)\)

Randvoorwaardeproblemen

Randvoorwaarden

• \(({\hat{L}}u)(x) = \sum_{j=0}^{p} a_j(x) \frac{{\mathrm{d}}^j u}{{\mathrm{d}}x^j}(x) =0\) zonder randvoorwaarden:

  • \(p\) lineair onafhankelijke oplossingen \(u_j(x)\), \(j=1,\ldots,p\)
  • fundamentele matrix \({\mathsf{Z}}(x) = \begin{bmatrix} u_j^{(i)}(x) \end{bmatrix}_{i=0,\ldots,p-1; j=1,\ldots,p}\)
  • willekeurige oplossing is \(u(x) = \sum_j c^j u_j(x)\)

• randvoorwaarden \(B_i[u]=\gamma_i\) voor \(i=1,\ldots,m\): \({\mathsf{B}} {\mathsf{X}} \boldsymbol{c} = \boldsymbol{\gamma}\) met

  • \({\mathsf{B}}\) de matrix zodat \(B_i[u] = \sum_{j=0}^{p-1} B_{i,j} u^{(j)}(a) + B_{i,j+p} u^{(j)}(b)\)

  • \({\mathsf{X}} = \begin{bmatrix} {\mathsf{Z}}(a)\\ {\mathsf{Z}}(b) \end{bmatrix}\) de matrix met als \(j\)de kolom \(\boldsymbol{x}_j = \begin{bmatrix} u_j(a) & u_j'(a) & \ldots & u^{(p-1)}_j(a) & u_j(b) & u_j'(b) & \dots & u_j^{(p-1)}(b) \end{bmatrix}^{\mathsf{T}}\)

  • unieke oplossing voor elke \(\gamma\) vereist \(m=p\) zodat \({\mathsf{B}}{\mathsf{X}} = {\mathsf{M}}\) een vierkante matrix is \(\rightarrow\) noodzakelijk maar niet voldoende

Randvoorwaarden

• voorbeeld \(-u''(x) = 0\): \(u_1(x) = 1\), \(u_2(x) = x\) \(\rightarrow {\mathsf{Z}} = \begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

  • beginvoorwaarden \(B_1[u] = u(a)\) en \(B_2[u] = u'(a)\):

    \({\mathsf{B}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}\) en dus \({\mathsf{M}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\): inverteerbaar

  • randvoorwaarden \(B_1[u] = u(a)\) en \(B_2[u] = u(b)\):

    \({\mathsf{B}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\) en dus \({\mathsf{M}} = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{bmatrix}\): inverteerbaar

  • randvoorwaarden \(B_1[u] = u'(a)\) en \(B_2[u] = u'(b)\):

    \({\mathsf{B}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\) en dus \({\mathsf{M}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\): niet inverteerbaar

• met exact \(p\) randvoorwaarden: existentie van \(u_\gamma\) voor elke \(\boldsymbol{\gamma}\) komt overeen met uniciteit: enkel triviale \(u_0(x)=0\) voldoet aan volledig homogeen probleem

Gescheiden randvoorwaarden

• tweede-orde differentiaalvergelijking: gescheiden randvoorwaarden:

  \[B_1[u] = \alpha_1 u(a) + \alpha_2 u'(a) = \gamma_1,\qquad B_2[u] = \beta_1 u(b) + \beta_2 u'(b) = \gamma_2\]

  • Dirichlet voorwaarden: \(B_1[u] = u(a)\) en \(B_2[u] = u(b)\)

  • Neumann voorwaarden: \(B_1[u] = u'(a)\) en \(B_2[u] = u'(b)\)

  • Robin voorwaarden: \(B_1[u] = u(a) - \ell u'(a)\) en \(B_2[u] = u(b) + \ell u'(b)\) voor een constante \(\ell\)

    (tekenwissel heeft te maken met de “buitenwaartse richtingsafgeleide”, zie verder voor hogerdimensionale partiële differentiaalvergelijkingen)

• Met gescheiden randvoorwaarden is \({\mathsf{M}} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2\end{bmatrix} {\mathsf{Z}}(a)\\ \begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2\end{bmatrix} {\mathsf{Z}}(b)\\ \end{bmatrix}\): \(\mathop{\mathrm{rank}}({\mathsf{M}}) > 0 \Rightarrow \mathop{\mathrm{nullity}}{\mathsf{M}} < 2\) \(\Rightarrow\) volledig homogeen probleem heeft hoogstens één lineair onafhankelijke niet-triviale oplossing \(u_0(x)\)

Inhomogene oplossing

Oplossing van \(({\hat{L}} u_f)(x) = f(x)\) met \(B_i[u_f] = 0\) voor \(i=1,\ldots,p\)

• Herhaling beginvoorwaardeprobleem: \(\boldsymbol{z}(t) = \int_{t_0}^{t} {\mathsf{Z}}(t,\tau) \boldsymbol{b}(\tau)\,{\mathrm{d}}\tau\)

  \[\rightarrow u(t) = u_f(x) = \int_{a}^x u_p(x,\xi) \frac{f(\xi)}{a_p(\xi)}\,{\mathrm{d}}\tau = \int_{a}^b H(x-\xi) u_p(x,\xi) \frac{f(\xi)}{a_p(\xi)}\,{\mathrm{d}}\xi\]

  met \(H(x)\) de Heaviside stapfunctie en \(u_p(x,\xi)\) de laatste kolom uit de principieel fundamentele matrix, i.e. de oplossing van het homogeen probleem die voldoet aan

  \[u_p(x,\xi)|_{x = \xi} = u'_p(x,\xi)|_{x=\xi} = \ldots = u^{(p-2)}_p(x,\xi)|_{x=\xi} = 0,\qquad u^{(p-1)}_p(x,\xi)|_{x = \xi} = 1\]

• Veralgemening:

  \[u_f(x) = \int_{a}^b g_\xi(x) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi\]

  met \(g_\xi(x)\) de Greense functie, gedefinieerd door voorwaarden op volgende slide.

Greense functie

\[u_f(x) = \int_{a}^b g_\xi(x) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi\]

Greense functie (volledig) gedefinieerd door

• \(B_i[g_\xi]=0\) voor \(i=1,\ldots,p\)
• \(({\hat{L}} g_\xi)(x) = 0\) voor \(x \in (a,\xi)\) en \(x \in (\xi,b)\)
• \(g_\xi(x)\) en zijn afgeleiden \(g^{(j)}_{\xi}(x)\) voor \(j \leq p-2\) zijn continu in \(x=\xi\)
• \(g^{(p-1)}_\xi(x)\) is discontinu bij \(x = \xi\) en voldoet aan de “sprongconditie” \(g^{(p-1)}_\xi(\xi^+) - g^{(p-1)}_\xi(\xi^-) = \frac{1}{a_p(\xi)}\)

(grote stappen van het bewijs aan bord; niet actief te kennen)

Greense functie

\[u_f(x) = \int_{a}^b g_\xi(x) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi\]

\(\rightarrow\) met oplossingen \(u_j(x)\) (\(j=1,\ldots,p\)) van de homogene differentiaalvergelijking zonder randvoorwaarden geldt

\[g_\xi(x) = H(\xi-x) \sum_{i=1}^{p} c^j(\xi) u_j(x) + H(x - \xi) \sum_{i=1}^{p} d^j(\xi) u_j(x)\]

• coefficiënten \(c^j\) en \(d^j\) worden opgelegd door randvoorwaarden, continuïteitsvoorwaarden en sprongconditie

Greense functie

\[u_f(x) = \int_{a}^b g_\xi(x) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi\]

• voor \(p=2\):

  • kies \(u_1\) zodat \(B_1[u_1] = \alpha_1 u_1(a) + \alpha_2 u_1'(a) = 0\): \(u_1(a) = \alpha_2\) en \(u_1'(a) = -\alpha_1\)
  • kiew \(u_2\) zodat \(B_2[u_2] = \beta_1 u_2(b) + \beta_2 u_2'(b) = 0\): \(u_2(b) = \beta_2\) en \(u_2'(b) = -\beta_1\)
  • \(u_1\) en \(u_2\) lineair onafhankelijk voor goed gedefinieerd randvoorwaardeprobleem (\(\det({\mathsf{M}}\neq 0\))

  \[\Rightarrow g(x,\xi) = \begin{cases} \frac{u_1(x) u_2(\xi)}{a_2(\xi) W(\xi)},&a< x < \xi\\ \frac{u_1(\xi) u_2(x)}{a_2(\xi) W(\xi)},&\xi<x<b \end{cases} = \frac{u_1(\min(x,\xi)) u_2(\max(x,\xi))}{a_2(\xi) W(\xi)}\]

  met \(W(x) = u_1(x) u_2'(x) - u_1'(x) u_2(x) \neq 0\) voor alle \(x \in [a,b]\)

Greense functie: voorbeeld

• \(-u''(x) = f(x)\) en \(B_1[u] = u(a)\) en \(B_2[u] = u(b)\); stel \([a,b]=[0,1]\):

  • \(u_1(x) = x\)
  • \(u_2(x) = 1-x\)
  • \(W(x) = x (-1) - (1-x) = -1\) en \(a_2(x) = -1\)

  \[g(x,\xi) = \begin{cases} x(1-\xi),&a < x < \xi\\ \xi (1-x), &\xi < x < b \end{cases}\]

  \[\begin{align*} \Rightarrow u_f(x) &= \int_x^1 x(1-\xi) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi + \int_0^x \xi (1-x) f(\xi) \,{\mathrm{d}}\xi\\ &= x\left[ \int_x^1 (1-\xi) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi\right] + (1-x)\left[ \int_0^x \xi f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi\right]. \end{align*}\]

Greense functie: interpretatie

• \(({\hat{L}}u_f)(x) = f(x)\) en \(B_i[u_f]=0\) met \(u_f(x) = \int_{a}^b g_\xi(x) f(\xi)\,{\mathrm{d}}\xi\)

  \(\Rightarrow ({\hat{L}} g_\xi)(x) = \delta(x-\xi)\) met \(B_i[g_\xi] = 0\)?

  \(\Rightarrow\) “coördinatenrepresentatie” van \({\hat{L}} {\hat{G}} = {\hat{1}}\)

  \(\Rightarrow {\hat{G}} = {\hat{L}}^{-1}\)

• als \({\hat{L}}\) + randvoorwaarden een complete basis van orthonormale eigenvectoren heeft \(({\hat{L}} u_n)(x) = \lambda_n u_n(x)\) met \(B_i[u_n]=0\) (zie volgende sectie):

  \[{\hat{G}}f = \sum_{n} \lambda_n^{-1} u_n {\left\langle u_n,f\right\rangle} \quad \Rightarrow \quad g_\xi(x) = \sum_{n} \frac{u_n(x) {\overline{u_n(\xi)}}}{\lambda_n}\]

• \({\hat{G}}^{\dagger} = ({\hat{L}}^{-1})^\dagger\): integraaloperator met kern \(g^\dagger(x,\xi) = {\overline{g(\xi,x)}}={\overline{g_x(\xi)}}\)

  \(\rightarrow\) moet automatisch aan toegevoegde randvoorwaarden voldoen

Greense functie en toegevoegde operator: voorbeeld

• \(-u''(x)=0\) met randvoorwaarden \(u(0) = u(1)= 0\): zelftoegevoegd

  \(\Rightarrow g(x,y) = \begin{cases} x(1-y),&0 < x < y\\ y (1-x), &y < x < 1 \end{cases} =\min(x,y)(1-\max(x,y))\)

• \(-u''(x)=0\) met randvoorwaarden \(B_1[u] = u(0) + u(1)=0\) and \(B_2[u]=u'(0)=0\):

  • toegevoegde randvoorwaarden: \(\tilde{B}_1[v] = v'(0) + v'(1)=0\) and \(\tilde{B}_2[v] = v(1)=0\)

  • kunnen geen gebruik maken van specifieke constructie voor gescheiden randvoorwaarden

  • algemene oplossingen \(u_1(x)=1\) en \(u_2(x) = x\)

  • \(g_y(x) = g(x,y) = (c^1+c^2 x) H(y-x) + (d^1 + d^2 x) H(x-y)\)

    \(\rightarrow\) randvoorwaarden + continuïteit/sprong: \(g_y(x) = g(x,y) = \frac{y -1}{2} H(y -x) + \frac{2x -y - 1}{2} H(x-y)\)

  • \(g^\dagger_y(x) = \overline{g(y,x)}\) voldoet aan \(g^\dagger_y(1) = 0\) en \(\frac{{\mathrm{d}}\ g^\dagger_y}{{\mathrm{d}}x}(0) + \frac{{\mathrm{d}}\ g^\dagger_y}{{\mathrm{d}}x}(1) = 0\)

Sturm-Liouville eigenwaardeproblemen

Eigenwaardeproblemen met differentiaaloperatoren

\[({\hat{L}}u)(x) = \lambda u(x),\qquad B_i[u] = 0, i =1,\ldots,m\]

• Motivatie:

  • komt automatisch uit het oplossen van hoger-dimensionale partiële differentiaalvergelijkingen via de techniek van “scheiden der veranderlijken”

  • indien volledige spectrale decompositie: vereenvoudigt berekenen van functies van \({\hat{L}}\)

    • Greense functie: \({\hat{G}} = {\hat{L}}^{-1}\)

    • tijdsafhankelijke problemen: \(\frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} u_t(x) = ({\hat{L}} u_t)(x)\) waarbij \({\hat{L}}\) een tijdsonafhankelijke differentiaaloperator is

      \(\Rightarrow u_t(x) = \exp({\hat{L}}t) u_0(x)\)

      (voorbeeld: Schrödinger vergelijking)

Eigenwaardeproblemen: voorbeeld

• \(-u''(x) = \lambda u(x)\):

  • zonder randvoorwaarden: \(u(x) = c^1 \sin(\sqrt{\lambda} x) + c^2 \cos(\sqrt{\lambda}x)\)

  • randvoorwaarden \(B_1[u] =u(0) + u(1) = 0\) en \(B_2[u] = u'(0) - u'(1)=0\):

    \[\det\bigg(\begin{bmatrix}\sin\sqrt{\lambda} & 1 + \cos\sqrt{\lambda}\\ \sqrt{\lambda}(1-\cos \sqrt{\lambda}) & \sqrt{\lambda}\sin \sqrt{\lambda}\end{bmatrix}\bigg) = \sqrt{\lambda} \left[\sin^2\sqrt{\lambda}+\cos^2\sqrt{\lambda} -1\right] = 0\]

    \(\Rightarrow\) niet-triviale kernel = eigenruimte voor elke \(\lambda \in {\mathbb{C}}\)

  • randvoorwaarden \(B_1[u] = u(0) + 2u_1(1) = 0\) en \(B_2[u] = u'(0) - 2 u'(1) = 0\):

    \(\sqrt{\lambda} \left[4\sin^2\sqrt{\lambda}+4\cos^2\sqrt{\lambda} -1\right] =0\)

    \(\Rightarrow\) geen enkele eigenwaarde \(\lambda \in {\mathbb{C}}\) (ook niet \(\lambda=0\))

\(\Rightarrow\) we beperken ons tot 2de orde zelftoegevoegde operatoren: Sturm-Liouville operatoren met gescheiden (of periodieke) randvoorwaarden

Regulier Sturm-Liouville probleem

\[\begin{align} ({\hat{L}}u)(x)= -\frac{1}{w(x)} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x}\left(p(x)\frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}x}(x)\right) + \frac{q(x)}{w(x)} u(x) = \lambda u(x) \end{align}\] of equivalent \[\begin{align} - \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x}\left(p(x)\frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}x}(x)\right) + q(x) u(x) = \lambda w(x) u(x) \end{align}\] met

• Bestudeerd voor functies \(u \in L^2_w(I,{\mathbb{F}})\) met compact interval \(I=[a,b]\) (typisch \({\mathbb{F}}={\mathbb{R}}\))
• De functies \(w(x)\), \(p(x)\), \(p'(x)\) and \(q(x)\) zijn reëel en continu met \(w(x)>0\) en \(p(x)>0\) voor alle \(x \in [a,b]\)
• Gescheiden randvoorwaarden \(B_1[u] = \alpha_1 u(a) + \alpha_2 u'(a)=0\) en \(B_2[u] = \beta_1 u(b) + \beta_2 u'(b) = 0\)

Regulier Sturm-Liouville probleem

Structuur van de oplossingen voor een regulier Sturm-Liouville probleem:

• (punt)spectrum van \({\hat{L}}\) correspondeert met een oneindige rij reële getallen \(\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n < \ldots\), met een eindige ondergrens \(-\infty <M<\lambda_0\) maar geen bovengrens: \(\lim_{n\to \infty} \lambda_n = +\infty\)
• Voor elke eigenwaarde \(\lambda_n\) is er exact één (lineair onafhankelijke) eigenvector \(u_n(x)\).
• Eigenvectors corresponderende met verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal met behulp van het gewogen inwendig product \({\left\langle\ ,\ \right\rangle}_w\) van \(L^2_w([a,b])\).
• De eigenvectoren \(\{u_n, n \in {\mathbb{N}}\}\) vormen een complete orthonormale basis.

Regulier Sturm-Liouville probleem

Bewijs: niet te kennen, enkele basisintuïties:

• Dimensionaliteit van \(\mathop{\mathrm{ker}}({\hat{L}}-\lambda {\hat{1}})\) is 0 of 1 voor gescheiden randvoorwaarden (zie eerder)

• Orthonormaliteit van eigenvectoren uit zelf-toegevoegd zijn van \({\hat{L}}\)

• Ondergrens voor \(\lambda_0\) volgt door \(\frac{{\left\langle u,{\hat{L}}u\right\rangle}_w}{{\left\langle u,u\right\rangle}_w}\) te bestuderen. Voor Dirichlet of Neumann randvoorwaarden volgt eenvoudig dat \(\frac{{\left\langle u,{\hat{L}}u\right\rangle}_w}{{\left\langle u,u\right\rangle}_w} \geq \min_{x\in[a,b]} \frac{q(x)}{w(x)}\)

• Greense functie \({\hat{G}} = ({\hat{L}} - M {\hat{1}})^{-1}\) is een integraaloperator met \(\int_a^b\int_a^b {\left\lvert g(x,y)\right\rvert}^2\,{\mathrm{d}}x{\mathrm{d}}y < \infty\)

  • \({\hat{G}}\) is compacte operator met spectrum \(+\infty > K > \mu_0 \geq \mu_1 \geq \mu_2 \geq \ldots \geq \mu_n \geq \ldots \geq 0\) en \(\lim_{n\to \infty} \mu_n = 0\)
  • als inverse van een andere operator heeft \({\hat{G}}\) heeft geen exacte eigenwaarden nul

  \(\Rightarrow\) \(\lambda_n = M + \frac{1}{\mu_n}\)

Regulier Sturm-Liouville probleem

Bijkomende gevolgen en eigenschappen

• Resolutie van de identiteit:

  \[u(x) = \sum_{n \in {\mathbb{N}}} u_n(x) {\left\langle u_n,u\right\rangle}_w = \sum_{n \in {\mathbb{N}}} u_n(x) \int_a^b w(y) u_n(y) u(y)\,{\mathrm{d}}y\]

  • \(\Rightarrow \sum_{n \in {\mathbb{N}}} w(y) u_n(x) u_n(y) \approx \delta(x-y)\)

  • Convergentie is uniform voor \(u \in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}_{{\hat{L}}}\) (en \(u\) moet dus zeker voldoen aan randvoorwaarden) (zonder bewijs)

  • \((f({\hat{L}})u)(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(\lambda_n) u_n(x) \int_a^b w(y) u_n(y) u(y)\,{\mathrm{d}}y\)

• Oscillatietheorema (zonder bewijs):

  \(u_n(x)\) heeft exact \(n\) nulpunten in \((a,b)\)

Regulier Sturm-Liouville probleem: voorbeeld

• \({\hat{L}} = -{\hat{D}}^2\) op \(L^2([0,L])\) (dus met \(w(x)=1\)) met Dirichlet voorwaarden \(u(0)=u(L)=0\):

  • \(-u''(x) = \lambda u(x)\)

  • \(u_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi}{L} (n+1) x\right)\) met eigenwaarde \(\lambda_n = \left(\frac{\pi}{L} (n+1)\right)^2\)

  • alle \(\lambda_n \neq 0\): inverse operator \({\hat{G}}={\hat{L}}^{-1}\) bestaat

  • \({\hat{G}}\) is integraaloperator met kern

    \(g(x,y) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{\pi}{L} (n+1)\right)^{-2} \frac{2}{L} \sin\left(\frac{\pi}{L} (n+1) x\right)\sin\left(\frac{\pi}{L} (n+1) y\right)\)

    \(\qquad= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2}{L \pi^2 k^2} \sin\left(\frac{\pi}{L} k x\right)\sin\left(\frac{\pi}{L} k y\right)\)

    \(\qquad\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{L \pi^2 k^2} \left[\cos\left(\frac{\pi}{L} k (x-y)\right)- \cos\left(\frac{\pi}{L} k (x+y)\right)\right]\)

  • voor \(L=1\): \(g(x,y) = \min(x,y)(1-\max(x,y))\) ?

    Oefening op Fourierreeksen!

Rayleigh-Ritz methode

• Voor alle functies \(u \in \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}_{{\hat{L}}}\) (inclusief randvoorwaarden) geldt

  \[\mathcal{R}[u] = \frac{{\left\langle u,{\hat{L}}u\right\rangle}_w}{{\left\langle u,u\right\rangle}_w} \geq \lambda_0\]

  en de gelijkheid geldt enkel als \(u \sim u_0\) (bewijs via spectrale decompositie).

  \(\rightarrow\) \(\mathcal{R}[u]\): Rayleigh quotient

• Indien we benadering voor \(u_0\) zoeken binnen een bepaalde deelruimte, opgespannen door een aantal vectoren \(\{{e}_k, k=1,\ldots,m\}\): \(u = \sum_{k=1}^m c^k e_k\)

  • Beste benadering:
    • \(\min_{\{c^k\}}{\left\lVert u - u_0\right\rVert} \Leftrightarrow\) orthogonale projectie
    • \(\Rightarrow\) vereist dat \(u_0\) reeds gekend is
  • Rayleigh-Ritz methode = variationeel principe:
    • \(\min_{\{c^k\}} \mathcal{R}[u]\)

Rayleigh-Ritz methode

Algemeen: zoek beste benadering \(u^\ast\) binnen een bepaalde deelverzameling \(U \subseteq \mathop{\mathrm{\mathcal{D}}}_{{\hat{L}}}\):

Rayleigh-Ritz methode = variationeel principe:

$\(u^\ast = \mathop{\mathrm{arg\ min}}_{u \in U} \mathcal{R}[u]\)

• voor \(U = {\mathbb{F}}\{{e}_1,\ldots,{e}_m\}\): \(u = \sum_{k=1}^m c^k e_k\)

  • \(\boldsymbol{c}^\ast = \mathop{\mathrm{arg\ min}}_{\boldsymbol{c}} \frac{\boldsymbol{c}^{\mathsf{H}}{\mathsf{A}}\boldsymbol{c}}{\boldsymbol{c}^{\mathsf{H}}{\mathsf{B}}\boldsymbol{c}}\) met \(A_{kl} = {\left\langle{e}_k,{\hat{L}}{e}_l\right\rangle}\) en \(B_{kl} = {\left\langle{e}_k,{e}_l\right\rangle}\)
  • \({\mathsf{A}}\boldsymbol{c}^\ast = \lambda {\mathsf{B}}\boldsymbol{c}^\ast\) met \(\lambda = \mathcal{R}[u^\ast]\) (veralgemeend eigenwaardeprobleem: op te lossen als \({\mathsf{B}}^{-1}{\mathsf{A}} \boldsymbol{c} = \lambda \boldsymbol{c})\)
  • voor \({\left\langle{e}_k,{e}_l\right\rangle}=\delta_{kl}\): gewoon eigenwaardeprobleem

Uitbreidingen op Sturm-Liouville theorie

• \(p(a) = p(b)\) en \(p(x)\), \(p'(x)\), \(w(x)\) en \(s(x)\) continue in \((a,b]\):

  • periodieke randvoorwaarden: \(B_1[u] = u(a)-u(b) = 0\) en \(B_2[u] = u'(a)-u'(b)=0\)
  • antiperiodieke randvoorwaarden: \(\tilde{B}_1[u] = u(a) + u(b)=0\) en \(\tilde{B}_2[u] = u'(a) + u'(b) = 0\)

  \(\Rightarrow\) Periodiek Sturm-Liouville probleem

• Voorbeeld: \({\hat{L}} = - {\hat{D}}^2\)

  \[\begin{align*} \lambda_0 &= 0,&u_0(x) &= 1\\ \tilde{\lambda}_{2n+1} =\tilde{\lambda}_{2n+2} &= (\pi (2n+1))^2,& \tilde{u}_{2n+1}(x) &= \sqrt{2} \sin(\pi (2n+1) x),\\ & & \tilde{u}_{2n+2}(x) &= \sqrt{2} \cos(\pi (2n+1) x),\\ \lambda_{2n+1} =\lambda_{2n+2} &= (\pi (2n+2))^2,& u_{2n+1}(x) &= \sqrt{2} \sin(\pi (2n+2) x),\\ & & u_{2n+2}(x) &= \sqrt{2} \cos(\pi (2n+2) x). \end{align*}\]

• Algemeen: \(M < \lambda_0 < \tilde{\lambda}_1 \leq \tilde{\lambda}_2 < \lambda_1 \leq \lambda_2 < \tilde{\lambda}_3 \leq \tilde{\lambda}_4 < \ldots\)

Uitbreidingen op Sturm-Liouville theorie

• singulier Sturm-Liouville probleem:

  • \(p(a)\) en/of \(p(b) = 0\): randvoorwaarden niet meer nodig/mogelijk

  en/of

  • \(a\) en/of \(b \to \pm\infty\)

  \(\rightarrow\) geen eenvoudige algemene theorie

• Voorbeeld 1: \(({\hat{L}}u)(r) = -\frac{1}{r} \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}r} \left(r \frac{{\mathrm{d}}u}{{\mathrm{d}}r}(r)\right) + \frac{n^2}{r^2} u(r)\) op \(r \in [0,1]\)

  • \(r = 0\) is regulier singulier punt: \(w(r)=p(r)=r\) en \(q(r) = \nu^2/r\)

  • eigenwaardevergelijking \(-r^2 u''(r) - r u'(r) + n^2 u(r) = \lambda r^2 u(r)\)

  • met \(u(r) = U(\sqrt{\lambda} r)\): \(x^2 U''(x) + x U'(x) + (x^2 - n^2) U(x) = 0\) (Besselvergelijking)

  • oplossingen \(J_n(x)\) en \(K_n(x)\): \(J_n(x) \sim 1\) en \(K_n(x)\) met \(K_n(x) \sim \log(x)\) voor \(x \to 0\)

  • randvoorwaarde \(u(r)\) blijft eindig bij \(r=0\):

    \(u_k(r) = J_n(\sqrt{\lambda_k} r)\) met \(\lambda_k^2\) het \(k\)de nulpunt van \(J_n(x)\) voor \(x>0\)

Uitbreidingen op Sturm-Liouville theorie

• Voorbeelden op oneindig interval \(x \in (-\infty,+\infty)\):

  • \({\hat{L}} = -{\hat{D}}^2\): \(-u''(x) = \lambda u(x)\)

    • geen eigenwaarden / eigenvectoren

    • continu spectrum = \({\mathbb{R}}_{\geq 0}\)

    • spectrale decompositie \(\sim\) Fouriertransformatie (zie volgend hoofdstuk)

  • \({\hat{L}} = -{\hat{D}}^2 + {\hat{X}}^2\): \(-u''(x) + x^2 u(x) = \lambda u(x)\)

    • eigenwaarden \(\lambda_n = 2 (n+1/2)\) met eigenvectoren \(u_n(x) = H_n(x) \exp(-x^2/2)\) met \(H_n(x)\) de Hermite-polynoom van \(n\)de graad

    • spectrale decompositie blijft gelden:

      \(({\hat{L}} f)(x) = \sum_{n \in {\mathbb{N}}} \lambda_n u_n(x) {\left\langle u_n,f\right\rangle}\)

Partiële differentiaalvergelijkingen

Beginvoorwaardeproblemen

• Beschouw:

  • \(u_t(x) = u(x,t)\) zodat \(u_t \in L^2(I)\) voor elk tijdstip \(t\)
  • \({\hat{L}}\) Sturm-Liouville operator op \(L^2(I)\) met randvoorwaarden \(B_i[u]\)

• Beginvoorwaardeprobleem:

  \[\frac{\partial\ }{\partial t} u_t(x) = ({\hat{L}}u_t)(x) + f(x,t),\quad B_i[u_t] = \gamma_i,\ i=1,\ldots,p,\qquad \forall t > t_0, x \in I\]

  met \(u_{t_0}(x) = v(x)\) met \(v \in L^2(I)\) en \(B_i[v]=\gamma_i\).

• We stellen \(u_t(x) = u_0(x) + u_\gamma(x) + \breve{u}_t(x) + u_f(x,t)\) en willen

  • \({\hat{L}}u_0 =0\) en \(B_i[u_0] =0\) enkel voor triviale oplossing \(u_0(x)=0\)

  • \({\hat{L}} u_\gamma=0\) en \(B_i[u_\gamma] = \gamma_i\): unieke oplossing (tijdsonafhankelijk)

  • \(\frac{\partial\ }{\partial t} \breve{u}_t(x) = ({\hat{L}}\breve{u}_t)(x)\) met \(B_i[\breve{u}_t]=0\) en \(\breve{u}_{t_0}(x) = v(x) - u_\gamma(x)\)

    \(\Rightarrow \breve{u}_t = \exp({\hat{L}}(t-t_0)) \breve{u}_{t_0}(x) = \sum_{n\in {\mathbb{N}}} {\mathrm{e}}^{\lambda_n (t-t_0)} u_n(x) {\left\langle u_n,\breve{u}_{t_0}\right\rangle}\)

  • \(u_f(x,t) = \int_{t_0}^{t} {\mathrm{d}}\tau \sum_{n=0}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{(t-\tau) \lambda_n} u_n(x) {\left\langle u_n,f_\tau\right\rangle} =\int_{t_0}^{t} {\mathrm{d}}\tau \sum_{n=0}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{(t-\tau) \lambda_n} u_n(x) \int_I u_n(y)f(y,\tau)\,{\mathrm{d}}y\)

Meerdimensionale Sturm-Liouville operator

• Functies \(u(\boldsymbol{x})\) met \(\boldsymbol{x} \in \Omega \subseteq {\mathbb{R}}^d\)

• Afgeleide-operatoren $(_i u)() = ()

  Positie-operaotren \(({\hat{X}}_i u)(\boldsymbol{x}) = x_i u(\boldsymbol{x})\)

• Meerdimensionale Sturm-Liouville operator:

  \[({\hat{L}}u)(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{w(\boldsymbol{x})}\left\{ - \sum_{i,j=1}^d \frac{\partial\ }{\partial x^i}\left[p_{ij}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial u}{\partial x^j}(\boldsymbol{x})\right] + q(\boldsymbol{x}) u(\boldsymbol{x})\right\}\]

  met \(w(\boldsymbol{x})\) positief en continu, \(q(\boldsymbol{x})\) reëel en continu en $\(p_{ij}(\boldsymbol{x}) = p_{ji}(\boldsymbol{x})\) reëel en continu afleidbaar

  • Formeel zelf-toegevoegd ten opzichte van \({\left\langle v,u\right\rangle}_w = \int_{\Omega} w(\boldsymbol{x})\overline{v(\boldsymbol{x})} u(\boldsymbol{x}) \,{\mathrm{d}}\boldsymbol{x}\)

  • Zelftoegevoegd voor bvb Robin-randvoorwaarden:

    \(\left[ \alpha u(\boldsymbol{x}) + \beta \sum_{i,j=1}^{d} n^i p_{ij}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial u}{\partial x^j}(\boldsymbol{x}) \right]_{\boldsymbol{x}\in \partial \Omega} = 0\) met \(n_i\) de normaal op de rand van \(\Omega\)

Meerdimensionale Sturm-Liouville operator

Sturm-Liouville probleem: \({\hat{L}} u_n(\boldsymbol{x}) = \lambda_n u_n(\boldsymbol{x})\) waarbij \(u_n(\boldsymbol{x})\) voldoet aan de randvoorwaarden

• Praktische oplossing: scheiding der veranderlijken (na overgang naar aangepaste coördinaten: cartesisch, cylindrisch, sferisch, …)

• Voorbeeld: \({\hat{L}} = - \boldsymbol{\nabla}^2 = - \Delta = - {\hat{D}}_x^2 - {\hat{D}}_y^2 - {\hat{D}}_z^2\)

  • randvoorwaarden:

    \[\begin{align*} u(0,y,z) &= 0 & u(a,y,z) &= 0&\forall (y,z) \in [0,b] \times [0,c]\\ u(x,0,z) &= 0 & \frac{\partial u}{\partial y}(0,b,z) &= 0&\forall (x,z) \in [0,a] \times [0,c]\\ \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,0) &= 0 & \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,c) &= 0&\forall (x,y) \in [0,a] \times [0,b] \end{align*}\]

  • met \(u(\boldsymbol{x})=X(x)Y(y)Z(z)\): \(-\frac{X''(x)}{X(x)} -\frac{Y''(y)}{Y(y)} -\frac{Z''(z)}{Z(z)} = \lambda\)

Meerdimensionale Sturm-Liouville operator

• Voorbeeld: \({\hat{L}} = - \boldsymbol{\nabla}^2 = - \Delta = - {\hat{D}}_x^2 - {\hat{D}}_y^2 - {\hat{D}}_z^2\)

  • oplossingen:

    \[\begin{align*} \lambda_{k,m,n} = \left(k\frac{\pi}{a}\right)^2 + \left(\left(m+\frac{1}{2}\right) \frac{\pi}{b}\right)^2 + \left(n \frac{\pi}{c}\right)^2,\qquad u_{k,m,n}(\boldsymbol{x}) = X_k(x) Y_m(y) Z_n(z) \end{align*}\] met \(k\in{\mathbb{N}}_0\), \(m,n\in{\mathbb{N}}\) en \[\begin{align*} X_k(x) &= \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\frac{k\pi x}{a},& Y_m(x) &= \sqrt{\frac{2}{b}} \sin\frac{(m+\frac{1}{2})\pi x}{b},& Z_n(x) &= \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{c}},&n = 0\\ \sqrt{\frac{2}{c}} \cos \frac{n\pi z}{c},&n \geq 1 \end{cases}. \end{align*}\]

  • \({G}={\mathsf{L}}^{-1}\): integraaloperator met kern = Greense functie

    \(g(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \sum_{k=1}^{+\infty}\sum_{m,n=0}^{+\infty} \frac{u_{k,m,n} (\boldsymbol{x}) u_{k,m,n}(\boldsymbol{y})}{\lambda_{k,m,n}}\)

  • Propagator: \(Z(t,t') = \exp\big({\hat{L}}(t-t')\big)\)

    \(z(\boldsymbol{x}, t,\boldsymbol{x}',t') = \sum_{k=1}^{+\infty}\sum_{m,n=0}^{+\infty} {\mathrm{e}}^{\lambda_{k,m,n}(t-t')} u_{k,m,n} (\boldsymbol{x}) u_{k,m,n}(\boldsymbol{x}')\)