Hoofdstuk 3 - Lineaire operatoren en eigenwaarden

Doel van dit hoofdstuk

$$ % Math operators % %

% VECTORS

% specifically for vectors in F^n

% MATRICES

% SCALARS

% LINEAR MAPS

% FIELDS

% RELATIONS

% % % % % % % % %

%

$$

Herhaling:

• Machten en veeltermen van operatoren

• Karakteristieke veelterm

• Eigenwaarden en eigenvectoren, diagonalisatie

Doel van dit hoofdstuk

Nieuw:

• Idempotente en nilpotente operatoren

• Minimaalveelterm, Cayley-Hamiltontheorema

• Companion-matrix van een veelterm

• Invariante deelruimten en veralgemeende eigenruimten, Jordan-decompositie

• Functies van operatoren

• Toepassing: Lineaire dynamische sytemen

Machten en veeltermen

Machten en veeltermen

Lineaire operator = endomorfisme: \({\hat{A}} \in \mathop{\mathrm{End}}(V) = \mathop{\mathrm{Hom}}(V,V)\)

• \(\mathop{\mathrm{End}}(V)\) is een “associatieve algebra met eenheid” = “ring die een vectorruimte is”

• Machten: aangezien \({\hat{A}}\) een afbeelding \((V \to V)\) is, kunnen we composities nemen van \({\hat{A}}\) met zichzelf:

  \({\hat{A}}^n = \underbrace{{\hat{A}} \circ {\hat{A}} \circ \cdots \circ {\hat{A}}}_{\text{$n$ times}}\) en \({\hat{A}}^0 = {\hat{1}}_V\)

• Veeltermen: aangezien \(\mathop{\mathrm{End}}(V)\) ook een vectorruimte is, kunnen we lineaire combinaties nemen

  \(p({\hat{A}}) = p_s {\hat{A}}^s + p_{s-1} {\hat{A}}^{s-1} + \ldots + p_1 {\hat{A}} + p_0 {\hat{1}}_V \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\)

Eigenschappen van veeltermen

• Voor twee veeltermen \(p(x)\) en \(q(x)\) en \({\hat{A}}\in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) geldt

\[[p({\hat{A}}),q({\hat{A}})] = p({\hat{A}})q({\hat{A}}) - q({\hat{A}})p({\hat{A}}) = {\hat{0}}\]

• Voor een veelterm \(p(x)\), een lineaire operator \({\hat{A}}\in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) en een lineaire transformatie (=inverteerbare lineaire afbeelding) \({\hat{T}} \in \mathop{\mathrm{Hom}}(V,W)\) geldt

\[\underbrace{p({\hat{T}} {\hat{A}} {\hat{T}}^{-1})}_{\in \mathop{\mathrm{End}}(W)} = {\hat{T}} \underbrace{p({\hat{A}})}_{\in \mathop{\mathrm{End}}(V)} {\hat{T}}^{-1}\]

Nilpotente operatoren

• Een element \(a\) fvan een ring \(R\) dat voldoet aan aan \(a^s = 0\) heet nilpotent met index \(s\) (als \(n=s\) de kleinste waarde is waarvoor \(a^n=0\))

• Nilpotente operatoren \({\hat{N}} \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) voldoen dus aan \({\hat{N}}^s = {\hat{0}}\) en spelen een rol bij de veralgemeene eigenwaardendecompositie

• Voorbeeld: \({\mathsf{A}} = \begin{bmatrix} 0 & c \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) is nilpotent met index \(s=2\) (voor elke \(c \neq 0\))

Projectie-operator

• Een element \(a\) van een ring \(R\) dat voldoet aan \(a^2 = a\) heet idempotent.

• Idempotente lineaire operatoren \({\hat{P}} \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) worden vaak projectie-operatoren, of kortweg projectoren, genoemd, omwille van de volgende eigenschap:

  • \({\hat{P}}^2 ={\hat{P}} \Rightarrow V = \mathop{\mathrm{im}}({\hat{P}}) \oplus \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{P}})\) (bewijs aan bord)
  • \(\forall {v}\in V: {v}= \underbrace{{\hat{P}}{v}}_{{v}_1} + \underbrace{({\hat{1}}- {\hat{P}}){v}}_{{v}_2}\)
  • omgekeerd: gegeven \(V = V_1 \oplus V_2\), de decompositie \({v}= {v}_1 + {v}_2\) definieert een projector op \(V_1\) parallel met \(V_2\): \({\hat{P}}{v}= {v}_1 \in V_1\) (en \({v}_2 = {v}-{v}_1 = ({\hat{1}}- {\hat{P}}){v}\)).

Annihilerende veeltermen

• Een veelterm \(p \in {\mathbb{F}}[x]\) annihileert \({\hat{A}}\in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) als \(p({\hat{A}})={\hat{0}}\)

• Voorbeeld: \({\hat{P}}^2 = {\hat{P}} \Rightarrow p(x) = x^2 - x\) annihileert \({\hat{P}}\)

• \(V\) eindig-dimensionaal \(\Rightarrow \mathop{\mathrm{dim}}(\mathop{\mathrm{End}}(V)) = \mathop{\mathrm{dim}}(V)^2\)

  • \(\Rightarrow\) er bestaat een \(s\) waarvoor \(\{{\hat{A}}^0,{\hat{A}}^1,\ldots,{\hat{A}}^k\,\ldots,{\hat{A}}^s\}\) niet meer lineair onafhankelijk is
  • minimaalveelterm \(m_{{\hat{A}}}(x)= x^s + \ldots\) is de monische veelterm van laagste graad \(s\) die \({\hat{A}}\) annihileert en is uniek

• Elke annihilerende veelterm \(p\) van \({\hat{A}}\) voldoet aan

  \(p(x) = m_{{\hat{A}}}(x) q(x)\) (bewijs aan bord)

Eigenwaarden, eigenruimten en diagonalisatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

• \({\hat{A}} \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\), \(\lambda \in {\mathbb{F}}\), \({v}\in V\) met \({v}\neq {o}\):

  \[{\hat{A}} {v}= \lambda {v}\]

  • Eigenwaarde (karakteristieke waarde) \(\lambda\), eigenvector \({v}\)
  • elke \(a {v}\) met \(a \neq 0\) is ook een eigenvector

Eigenwaarden en eigenvectoren

• Belang van het veld \({\mathbb{F}}\): \({\mathsf{A}} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)

  • \(\lambda \in {\mathbb{R}}\): geen

  • \(\lambda \in {\mathbb{C}}\): \({\mathsf{A}}(\boldsymbol{e}_1 \pm {\mathrm{i}}\boldsymbol{e}_2) = \mp {\mathrm{i}}(\boldsymbol{e}_1 \pm {\mathrm{i}}\boldsymbol{e}_2)\)

    \(\Rightarrow \lambda = +{\mathrm{i}}\) en \(\lambda = -{\mathrm{i}}\)

• Belang van domein: \({\hat{D}} = \frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x}\)
  • Op \(C^{\infty}({\mathbb{R}},{\mathbb{F}})\): \(\frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}x} {\mathrm{e}}^{\lambda x} = \lambda {\mathrm{e}}^{\lambda x}\)
  • Op \({\mathbb{F}}[x]\): geen eigenvectoren / eigenwaarden

Eigenruimten

• Eigenruimte \(V_\lambda = \{{v}\in V | {\hat{A}} {v}= \lambda {v}\} = \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}} - \lambda )\)

  • \(\Rightarrow\) \(\lambda\) is eigenwaarde als \(\mathop{\mathrm{dim}}(V_\lambda) > 0\)
  • \(r_\lambda = \mathop{\mathrm{dim}}(V_\lambda)\): geometrische multipliciteit

• \(V\) eindigdimensionaal: \(r_\lambda > 0 \Rightarrow \mathop{\mathrm{rank}}({\hat{A}}-\lambda {\hat{1}}) < \mathop{\mathrm{dim}}(V)\) en dus is \({\hat{A}}-\lambda {\hat{1}}\) niet injectief en niet-inverteerbaar. Er geldt dus ook \(\det({\hat{A}}-\lambda {\hat{1}})=0\).

Spectrum

• Spectrum: \(\sigma_{{\hat{A}}} = \{ \lambda \in {\mathbb{F}}| ({\hat{A}} - \lambda)\) heeft geen ‘goed gedefinieerde inverse’\(\}\)

• \(V\) eindig-dimensionaal: \(\sigma = \{\lambda_1,\ldots,\lambda_m\}\) bevat alleen eigenwaarden

• \(V\) oneindig-dimensionaal: zie later

• Terzijde: \({\hat{R}}_{{\hat{A}}}(z) = (z{\hat{1}}-{\hat{A}})^{-1}\) voor waarden \(z \in {\mathbb{C}}\setminus \sigma_{{\hat{A}}}\) is de resolvent. Nuttig in theoretische fysica met behulp van technieken uit de complexe analyse.

Eigenschappen van eigenwaarden en eigenruimten

• \({\hat{A}}{v}= \lambda {v}\Rightarrow p({\hat{A}}){v}= p(\lambda) {v}\)
• \(p(x)\) is een annihilerende veelterm van \({\hat{A}}\): \(\lambda\) is een nulpunt van \(p\)
• verzameling van eigenvectoren \(\{{v}_1,\ldots,{v}_k\}\) horende bij onderling verschillende eigenwaarden \(\{\lambda_1,\ldots,\lambda_k\}\) met \(\lambda_i\neq \lambda_j\) zijn linear onafhankelijk (bewijs aan bord).
• \(\Rightarrow\) Som van eigenruimten \(\sum_{k} V_{\lambda_k}\) wordt directe som \(\bigoplus_{k} V_{\lambda_k}\)
• \(\Rightarrow \sum_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} r_\lambda \leq \mathop{\mathrm{dim}}(V)\)

Eigenruimten van producten van lineaire afbeeldingen

Beschouw \({\hat{A}} \in \mathop{\mathrm{Hom}}(V,W)\) en \({\hat{B}} \in \mathop{\mathrm{Hom}}(W,V)\), dan is \({\hat{A}}{\hat{B}} \in \mathop{\mathrm{Hom}}(W,W)\) en \({\hat{B}}{\hat{A}} \in \mathop{\mathrm{Hom}}(V,V)\).

• Elke eigenwaarde \(\lambda\neq 0\) van \({\hat{B}}{\hat{A}}\) is ook een eigenwaarde van \({\hat{A}}{\hat{B}}\) (en vice versa)
• Eigenruimte \(W_\lambda\) van \({\hat{A}}{\hat{B}}\) komt overeen met \({\hat{A}} V_\lambda\), en \(\mathop{\mathrm{dim}}(W_\lambda) = \mathop{\mathrm{dim}}(V_\lambda)\), i.e. de restrictie van \({\hat{A}}\) tot \(V_\lambda\) is injectief
  • \(((\lambda^{-1}{\hat{B}})\circ {\hat{A}}){v}= {v},\qquad \forall {v}\in V_\lambda\)
  • \(({\hat{A}} \circ (\lambda^{-1}{\hat{B}})){w}= {w},\qquad \forall {w}\in W_\lambda\)

Karakteristieke veelterm

Voor \(V\) eindig-dimensionaal en \({\hat{A}}\in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) \[k_{{\hat{A}}}(z) = \det(z{\hat{1}}- {\hat{A}}) = z^n + c_{n-1} z^{n-1} + \ldots + c_0\]

met \(c_{n-1} = - \mathop{\mathrm{tr}}({\hat{A}})\) en \(c_0 = (-1)^n \det({\hat{A}})\).

• Elke eigenwaarde is een nulpunt, elk nulpunt is een eigenwaarde

• \(k_{{\hat{A}}} = (z - \lambda_1)^{q_{\lambda_1}} (z- \lambda_2)^{q_{\lambda_2}} \ldots (z-\lambda_m)^{q_{\lambda_m}}\)

  met \(q_{\lambda}\) de algebraische multipliciteit

• \(\mathop{\mathrm{tr}}({\hat{A}})= q_{\lambda_1} \lambda_1+ q_{\lambda_2} \lambda_2+ \cdots + q_{\lambda_m} \lambda_m = \sum_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} q_{\lambda} \lambda\)

  \(\det({\hat{A}})= \lambda_1^{q_{\lambda_1}} \lambda_2^{q_{\lambda_2}} \cdots \lambda_m^{q_{\lambda_m} } = \prod_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} \lambda^{q_{\lambda}}\)

Companian matrix

Gegeven een veelterm \(p(z) = z^n + p_{n-1} z^{n-1} + \ldots + p_0 \in {\mathbb{F}}[z]\), construeer een matrix \({\mathsf{A}} \in {\mathbb{F}}^n\) zodat \(p(z) = k_{{\mathsf{A}}}(z)\)?

• Companion matrix \[ {\mathsf{C}}_p = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 &\ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 &\ldots & 0 & 1\\ -p_0 & -p_1 & -p_2& \ldots & -p_{n-2} & -p_{n-1} \end{bmatrix} \]

  (bewijs aan bord)

Stelling van Caley - Hamilton

• De karakteristieke veelterm \(k_{{\hat{A}}}(z)\) annihileert \({\hat{A}}\) (bewijs aan bord).

  \(\Rightarrow k_{{\hat{A}}}(z)= m_{{\hat{A}}}(z) q(z)\) met bovendien: \(k_{{\hat{A}}}(z)\) en \(m_{{\hat{A}}}(z)\) hebben dezelfde nulpunten

  \(\Rightarrow k_{{\hat{A}}}(z) = \prod_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}}(z - \lambda)^{q_\lambda}\), \(m_{{\hat{A}}}(z) = \prod_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}}(z - \lambda)^{s_\lambda}\) met \(s_\lambda \leq q_\lambda\)

• Toepassingen:

  \({\hat{A}}^n = - c_{n-1} {\hat{A}}^{n-1} - \ldots - c_1 {\hat{A}} - c_0 {\hat{1}}\)

  en als \(c_0 = (-1)^n \det({\hat{A}}) \neq 0\):

  \({\hat{A}}^{-1} = \frac{(-1)^{n-1}}{\det({\hat{A}})} \left({\hat{A}}^{n-1} + c_{n-1} {\hat{A}}^{n-2} + \ldots + c_1 {\hat{1}}\right)\)

Voorbeelden van karakteristieke en minimaalveelterm

• \({\mathsf{A}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

  \(\rightarrow m_{{\mathsf{A}}}(z) = z(z- 1)\) en \(k_{{\mathsf{A}}}(z) = z^2 (z-1)^2\)

• \({\mathsf{A}} = \begin{bmatrix} 1 & c \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

  \(\rightarrow k_{{\mathsf{A}}}(z) = m_{{\mathsf{A}}}(z) = (z- 1)^2\).

Diagonalisatie

• \({\hat{A}} \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) is diagonaliseerbaar als

  \[\bigoplus_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} V_\lambda = V \Leftrightarrow \sum_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} r_\lambda = \mathop{\mathrm{dim}}(V)\]

• \(\sum_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} r_\lambda < \mathop{\mathrm{dim}}(V)\): \({\hat{A}}\) is niet-diagonaliseerbaar of defect

• Er bestaat een basis van eigenvectoren

• Matrixrepresentatie: er bestaat een basistransformatie \({\mathsf{V}}\) naar deze nieuwe basis van eigenvectoren zodat

  \({\mathsf{A}} = {\mathsf{V}}{\mathsf{D}} {\mathsf{V}}^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad {\mathsf{A}} {\mathsf{V}} = {\mathsf{V}} {\mathsf{D}}\) met

  \({\mathsf{D}} = \text{diag}(\begin{bmatrix} \lambda_{i_1} & \lambda_{i_2} & \cdots & \lambda_{i_n} \end{bmatrix})\)

Diagonalisatie: voorbeelden

• \(\underbrace{\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{{\mathsf{A}}}\underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -{\mathrm{i}}& + {\mathrm{i}}\end{bmatrix}}_{{\mathsf{V}}} = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -{\mathrm{i}}& +{\mathrm{i}}\end{bmatrix}}_{{\mathsf{V}}} \underbrace{\begin{bmatrix} {\mathrm{i}}& 0 \\ 0 & -{\mathrm{i}}\end{bmatrix}}_{{\mathsf{D}}}\)

• \({\mathsf{A}} = \begin{bmatrix} 1 & c \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\): \(m_{{\mathsf{A}}}(z)=(z-1)^2\)

  \(\Rightarrow\) niet diagonaliseerbaar: \(\sigma_{{\mathsf{A}}} = \{1\}\) met \(r_1 = 1 < q_1=2\)

Diagonalisatie en minimaalveelterm

• Stelling: \({\hat{A}} \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) is diagonaliseerbaar als en slechts als \(s_{\lambda} =1\) voor alle eigenwaarden \(\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}\), of dus

  \[m_{{\hat{A}}}(z) = \prod_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} (z-\lambda)\]

  Bewijs: aan bord

Spectrale decompositie

\({\hat{A}}\) diagonaliseerbaar: \(\bigoplus_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} V_\lambda = V\)

• spectrale projector \({\hat{P}}_\lambda\) op \(V_\lambda\) parallel met \(\bigoplus_{\lambda' \neq \lambda} V_{\lambda'}\)

• eigenschappen:

  • \({\hat{P}}_\lambda {\hat{P}}_{\lambda'} = \delta_{\lambda,\lambda'} {\hat{P}}_\lambda\)
  • \(\sum_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} {\hat{P}}_\lambda = {\hat{1}}_V\) (resolutie van de identiteit)
  • \({\hat{A}} {\hat{P}}_\lambda = {\hat{P}}_\lambda {\hat{A}} = \lambda {\hat{P}}_\lambda\)

• spectrale decompositie: \({\hat{A}} = \sum_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} \lambda {\hat{P}}_\lambda\)

  (diagonaalvorm in operatornotatie)

  \(\Rightarrow p({\hat{A}}) = \sum p(\lambda) {\hat{P}}_\lambda,\quad {\hat{A}}^{-1} = \sum \lambda^{-1} {\hat{P}}_\lambda\) (als \(0\not\in \sigma_{{\hat{A}}}\))

Spectrale decompositie

Expliciete uitdrukkingen voor de spectrale projector:

• \({\hat{P}}_\lambda = \prod_{\substack{\lambda'\in\sigma_{{\hat{A}}}\\\lambda\neq \lambda'}} \frac{({\hat{A}} - \lambda')}{(\lambda - \lambda')}\)

• Terzijde: \({\hat{P}}_{\lambda}=\lim_{z \to \lambda} (z - \lambda) R_{{\hat{A}}}(z)\)

Spectrale decompositie van commuterende operatoren

Diagonaliseerbare operatoren \({\hat{A}},{\hat{B}} \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) die bovendien commuteren, d.w.z.

\({\left[{\hat{A}},{\hat{B}}\right]}={\hat{A}}{\hat{B}} - {\hat{B}}{\hat{A}}={\hat{0}}\)

hebben een gezamelijke spectrale decompositie

\[\begin{align} {\hat{P}}_{i} {\hat{P}}_j &= \delta_{i,j} {\hat{P}}_i,&\sum_{i\in I} {\hat{P}}_i = {\hat{1}}_V\\ {\hat{A}} &= \sum_{i\in I} \lambda_{i} {\hat{P}}_i&{\hat{B}} = \sum_{i\in I} \mu_{i} {\hat{P}}_i \end{align}\]

(bewijs aan bord)

Veralgemeende eigenruimten en de Jordan normaalvorm

Invariante deelruimten

Voor \({\hat{A}}\in \mathop{\mathrm{End}}(V)\), een invariante deelruimte is een deelruimte \(U {\preccurlyeq}V\) waarvoor \({\hat{A}} U = \{ {\hat{A}} {u}| {u}\in U\} {\preccurlyeq}U\).

• De restrictie van \({\hat{A}}\) tot \(U\), genoteerd als \(\left.{\hat{A}}\right|_{U}\), kan geïnterproteerd worden als een lineaire operator op \(U\)

• Gegeven een basis \(B_U = \{{u}_1,\ldots,{u}_k\}\) voor \(U\), die uitgebreid wordt tot een volledige basis \(B_V = \{{u}_1, \ldots, {u}_k, {u}_{k+1}, \ldots, {u}_n \}\) voor \(V\), dan geldt:

  \({\mathsf{A}} = \Phi_{B_V} ({\hat{A}}) = \begin{bmatrix} {\mathsf{A}}_U & \cdots\\ {\mathsf{O}}& \ddots \end{bmatrix}\)

  met \({\mathsf{A}}_U = \Phi_{B_U}\left(\left.{\hat{A}}\right|_{U}\right)\).

Invariante deelruimten

• Als we een complement \(U^\text{c}\) voor \(U\) kunnen kiezen (met dus \(V = U \oplus U^\text{c}\)) die zelf ook een invariante deelruimte is ten opzichte van \({\hat{A}}\), dan krijgen we

  \({\mathsf{A}} = \Phi_{B_V} ({\hat{A}}) = \begin{bmatrix} {\mathsf{A}}_U & {\mathsf{O}}\\ {\mathsf{O}}& {\mathsf{A}}_{U^\text{c}} \end{bmatrix}\) (blokdiagonaalmatrix)

  met dus \(B_V = B_U \cup B_{U^{\text{c}}}\).

• Notatie: \({\mathsf{A}} = {\mathsf{A}}_U \oplus {\mathsf{A}}_{U^\text{c}}\) (directe som van matrices)

• Directe som van operatoren: gegeven \({\hat{A}}_i \in \mathop{\mathrm{End}}(V_i)\) voor \(i=1,2\), we definiëren \({\hat{A}} = {\hat{A}}_1 \oplus {\hat{A}}_2 \in \mathop{\mathrm{End}}(V_1 \oplus V_2)\) via de eigenschap dat \(\left.{\hat{A}}\right|_{V_i} = {\hat{A}}_i\) voor \(i=1,2\).

Invariante deelruimten: voorbeelden en eigenschappen

Invariante deelruimte van een gegeven operator \({\hat{A}}\in\mathop{\mathrm{End}}(V)\)

• Triviaal: \(\{{o}\}\) en \(V\)
• Eigenvector \({\mathbb{F}}{v}_{\lambda} = \{a {v}_{\lambda}; a \in {\mathbb{F}}\}\); eigenruimte \(V_\lambda\)
• \(\mathop{\mathrm{im}}({\hat{A}})\): \({\hat{A}} \mathop{\mathrm{im}}({\hat{A}}) {\preccurlyeq}\mathop{\mathrm{im}}({\hat{A}})\)
• \(\mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}})\): \({\hat{A}} \mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}}) = \{0\} {\preccurlyeq}\mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}})\)

Invariante deelruimten

• \({\hat{A}}\) en \({\hat{A}} + a {\hat{1}}\) hebben dezelfde invariante deelruimten

• Twee reeksen van invariante deelruimten:

  • \(\{{o}\} = \mathop{\mathrm{ker}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^0) {\preccurlyeq}\mathop{\mathrm{ker}}({\hat{A}}-{a}{\hat{1}}) {\preccurlyeq}\) \(\qquad\mathop{\mathrm{ker}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^2) {\preccurlyeq}\ldots {\preccurlyeq}\mathop{\mathrm{ker}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^k) {\preccurlyeq}\ldots\)

  • \(V = \mathop{\mathrm{im}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^0) {\succcurlyeq}\mathop{\mathrm{im}}({\hat{A}}-{a}{\hat{1}}) {\succcurlyeq}\) \(\qquad\mathop{\mathrm{im}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^2) {\succcurlyeq}\ldots {\succcurlyeq}\mathop{\mathrm{im}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^k) {\succcurlyeq}\ldots\)

  Dimensie van deze deelruimten is monotoon stijgend (strikte relatie, eigenlijke deelruimten) in de eerste reeks, en monotoon dalend in de tweede, tot een bepaalde index \(k=s\), waar beide reeksen stabiliseren:

  • \(\mathop{\mathrm{ker}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^s) = \mathop{\mathrm{ker}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^{s+1})= \ldots\)
  • \(\mathop{\mathrm{im}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^s) = \mathop{\mathrm{im}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^{s+1})= \ldots\)

  Er geldt dan ook \(V = \mathop{\mathrm{ker}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^s) \oplus \mathop{\mathrm{im}}(({\hat{A}}-{a}{\hat{1}})^s)\)

Veralgemeende eigenruimten:

Gegeven een eigenwaarde \(\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}\), dan bestaat er een \(s\) zodat

\[V = \underbrace{\mathop{\mathrm{ker}}(({\hat{A}}-\lambda{\hat{1}})^s)}_{\text{veralgemeende eigenruimte $U_\lambda$}} \oplus \underbrace{\mathop{\mathrm{im}}(({\hat{A}}-\lambda{\hat{1}})^s)}_{\text{complement $U_\lambda^{\text{c}}$}}\]

met \(U_\lambda\) en \(U_\lambda^{\text{c}}\) beide invariante deelruimten van \({\hat{A}}\)

• Per constructie is \({\hat{A}}|_{U_\lambda} = \lambda {\hat{1}}_{U_\lambda} + {\hat{N}}\) voor een nilpotente operator \({\hat{N}}\) met index \(s\)

  \(\Rightarrow\) \(m_{{\hat{A}}|_{U_\lambda}}(z) = (z-\lambda)^s\) en \(k_{{\hat{A}}|_{U_\lambda}}(z) = (z-\lambda)^{\mathop{\mathrm{dim}}(U_\lambda)}\)

• Per constructie is \({\hat{A}}|_{U_{\lambda}^{\text{c}}}-\lambda {\hat{1}}_{U_\lambda}^{\text{c}}\) injectief/inverteerbaar, zodat \({\hat{A}}|_{U_{\lambda}^{\text{c}}}\) geen eigenwaarden \(\lambda\) kan hebben.

  \(\Rightarrow\) \(m_{{\hat{A}}}(z) = m_{{\hat{A}}|_{U_\lambda}}(z) m_{{\hat{A}}|_{U_\lambda^{\text{c}}}}(z)\) en \(k_{{\hat{A}}}(z) = k_{{\hat{A}}|_{U_\lambda}}(z) \underbrace{k_{{\hat{A}}|_{U_\lambda^{\text{c}}}}(z)}_{\text{geen nulpunten $\lambda$}}\)

\(\Rightarrow\) \(\mathop{\mathrm{dim}}(U_\lambda) = q_\lambda\) en \(s = s_\lambda\) (macht van \((z-\lambda)\) in \(m_{{\hat{A}}}(z)\))

Veralgemeende eigenruimten: voorbeeld

\(p(z) = (z-1)(z+1)^2 = z^3 + z^2 - z - 1 \Rightarrow {\mathsf{C}}_p = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}\):

• vanwege de constructie: \(\sigma_{{\mathsf{C}}_p} = \{-1, +1\}\) met \(q_{-1} = 2\) en \(q_{+1} = 1\)

• \({\mathsf{C}}_p {v}_\lambda = \lambda {v}_\lambda \Rightarrow \boldsymbol{v}_\lambda = {a}\begin{bmatrix} 1 \\ \lambda \\ \lambda^2 \end{bmatrix} \Rightarrow r_{-1} = r_{+1} = 1\)

• \(\boldsymbol{v}_{+1} = (1,1,1)\): \(V_{+1} = U_{+1} = {\mathbb{F}}\boldsymbol{v}_{+1}\)

• \(\boldsymbol{v}_{-1} = (1,-1,1)\): \(V_{-1} = {\mathbb{F}}\boldsymbol{v}_{-1}\)

• \(U_{-1} = \mathop{\mathrm{ker}}(({\mathsf{C}}_p - (-1) {\mathsf{I}})^2) = \mathop{\mathrm{ker}}\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}^2\right) = \mathop{\mathrm{ker}}\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\right)\)

Veralgemeende eigenruimten: voorbeeld

\(p(z) = (z-1)(z+1)^2 = z^3 + z^2 - z - 1 \Rightarrow {\mathsf{C}}_p = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}\):

• \(U_{-1} = \mathop{\mathrm{ker}}(({\mathsf{C}}_p - (-1) {\mathsf{I}})^2) = \mathop{\mathrm{ker}}\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}^2\right) = \mathop{\mathrm{ker}}\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\right)\)

• basis voor \(U_{-1}\): \(\{\boldsymbol{v}_{-1}=(+1,-1,+1), \boldsymbol{w}_{-1} = (1, 0, -1)\}\)

• \({\mathsf{C}}_p \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 0 \\ 1 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -1 & 0 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix}}_{\left.{\mathsf{C}}_p\right|_{U_{-1}} = (-1) {\mathsf{I}}+ {\mathsf{N}}}\)

Veralgemeende eigenruimten

• We kunnen nu \(V\) volledig ontbinden als

  \(V = U_{\lambda_1} \oplus U_{\lambda_1}^{\text{c}} = U_{\lambda_1} \oplus (U_{\lambda_2} \oplus \cdots) = \bigoplus_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} U_\lambda\)

• Elke deelruimte in deze ontbinding is een invariante deelruimte van \({\hat{A}}\), en er geldt

  \[{\hat{A}}|_{U_\lambda} = \lambda {\hat{1}}_{U_\lambda} + {\hat{N}}_\lambda\]

  met \(({\hat{N}}_\lambda)^{s_\lambda} ={\hat{0}}\) (nilpotent met index \(s^\lambda\))

• Als alle \(s_\lambda=1\) \(\Leftrightarrow\) alle \(N_\lambda={\hat{0}}\) \(\Rightarrow\) diagonaalvorm

Jordan normaalvorm (geen bewijzen)

• We kunnen een specifieke basis kiezen voor \(U_\lambda\) zodat \({\hat{N}}_\lambda\) een canonische vorm / normaalvorm aanneemt

• Beschouw de \(k \times k\) matrix \({\mathsf{N}}_k = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

  \(\Rightarrow\) nilpotent met index \(k\)

• Gegeven \({\hat{N}}\) met \({\hat{N}}^s={\hat{0}}\), er bestaat een basis \(B\) zodat:

  \[{\mathsf{N}} = \Phi_B({\hat{N}}) = \bigoplus_{k=1}^s \bigoplus_{i=1}^{p_k} {\mathsf{N}}_k\]

  met \(p_k \geq 0\) het aantal keer dat er een blok met index \(k\) voorkomt, en dus \(p_s \geq 1\).

Jordan normaalvorm (geen bewijzen)

• Jordan normaalvorm / canonische vorm: er bestaat een basis \(B\) zodat

  \[{\mathsf{J}}_{{\hat{A}}}= \Phi_B({\hat{A}}) = \bigoplus_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} \bigoplus_{k=1}^{s_\lambda} \bigoplus_{i=1}^{p_{\lambda,k}} {\mathsf{J}}_k(\lambda)\]

  met \(J_k(\lambda) = \lambda {\mathsf{I}}_{k} + {\mathsf{N}}_k\) (Jordan-blokken)

  en \(p_{\lambda,k} \geq 0\) voor \(k=1,\ldots,s_\lambda-1\) en \(p_{\lambda,s_\lambda} > 0\)

• Per Jordan-blok is er 1 eigenvector: \(r_\lambda = \sum_{k=1}^{s_\lambda} p_{\lambda,k}\) en \(q_\lambda = \sum_{k=1}^{s_\lambda} k p_{\lambda,k}\)

• Jordan decompositie: er bestaat een basistransformatie \({\mathsf{V}} \in \mathop{\mathrm{GL}}(n,{\mathbb{C}})\) zodat

  \[{\mathsf{A}}= {\mathsf{V}} {\mathsf{J}}_{\mathsf{A}} {\mathsf{V}}^{-1} = {\mathsf{V}} \left[\bigoplus_{\lambda \in \sigma_{{\mathsf{A}}}} \bigoplus_{k=1}^{s_\lambda} \bigoplus_{i=1}^{p^{(\lambda)}_{k}} {\mathsf{J}}_k(\lambda) \right]{\mathsf{V}}^{-1}\]

Companion matrix herbekeken

Voor een companion matrix \({\mathsf{C}} \in {\mathbb{F}}^{n \times n}\) met (unieke) eigenwaarden \({\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m}\) geldt

• \(r_\lambda=1\) met \(\boldsymbol{v}_\lambda = (1,\lambda,\ldots,\lambda^{n-1})\); \(s_\lambda=q_\lambda\): 1 Jordan-blok per eigenwaarde

• als \(m = n\) (alle \(q_\lambda=1\), alle eigenwaarden verschillend): diagonalisatie van \({\mathsf{C}}\) via

  \({\mathsf{V}}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &\dots & 1\\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & \dots & \lambda_n\\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 & \dots & \lambda_n^2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_1^{n-1} & \lambda_2^{n-1} & \lambda_3^{n-1} &\dots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix}\) (Vandermonde matrix)

• \(q_\lambda = s_\lambda > 1\): Jordan-basisvectoren voor \(k=1,\ldots,q_\lambda\):

  \((\boldsymbol{u}_{\lambda,k})^i = \frac{1}{k!}\frac{{\mathrm{d}}^k }{{\mathrm{d}}\lambda^k} \lambda^{i-1} = \begin{cases} 0,& i \leq k \\ {i-1 \choose k} \lambda^{i-1-k},& i > k\end{cases}\qquad (\text{voor $i=1,\ldots,n$})\)

  (afgeleiden als gevolg van limiet van samenvallende eigenwaarden)

Sensitiviteit van eigenwaarden en eigenruimten

• sensitiviteitsanalyse \(\approx\) perturbatietheorie
• Hoe sterk verandert de eigenwaardedecompositie of Jordandecompositie van een matrix bij een kleine variatie in de matrixcomponenten? Is er een notie van “continuïteit” of “gladheid”?
• moeilijk en uitgebreid onderwerp waarvoor we nog niet alle gereedschappen en concepten ter beschikking hebben (normen, hermitische matrices, …)

Sensitiviteit van eigenwaarden en eigenruimten

• Voorbeeld 1: \({\mathsf{A}}_1({\varepsilon})=\begin{equation} {\mathsf{A}}_1({\varepsilon}) = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ {\varepsilon}& 0 \end{bmatrix} \end{equation}\)

  • \({\varepsilon}= 0\): \(\sigma_{{\mathsf{A}}}=\{0\}\) met \(q_0 = s_0 = 2\), \(r_0=1\): 1 Jordan blok
  • \({\varepsilon}> 0\): \(\sigma_{{\mathsf{A}}}=\{+\sqrt{{\varepsilon}},-\sqrt{{\varepsilon}}\}\) en \({\mathsf{V}}({\varepsilon}) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ +\sqrt{{\varepsilon}} & -\sqrt{{\varepsilon}} \end{bmatrix}\)

• Voorbeeld 2: \({\mathsf{A}}_2({\varepsilon}) = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & {\varepsilon}\end{bmatrix}\)

  • \({\varepsilon}= 0\): \(\sigma_{{\mathsf{A}}}=\{0\}\) met \(q_0 = s_0 = 2\), \(r_0=1\): 1 Jordan blok
  • \({\varepsilon}> 0\): \(\sigma_{{\mathsf{A}}}=\{0,{\varepsilon}\}\) met \({\mathsf{V}}({\varepsilon}) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & {\varepsilon}\end{bmatrix}\)

Problemen omdat \(\mathop{\mathrm{GL}}(V)\) niet compact is: limieten van inverteerbare matrices kunnen niet-inverteerbare matrices opleveren

Verwante eigenwaardenproblemen

• \({\mathsf{A}} \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \Rightarrow {\overline{{\mathsf{A}}}} {\overline{\boldsymbol{v}}} = {\overline{\lambda}} {\overline{\boldsymbol{v}}}\)

  • \({\mathsf{A}}\) reëel: voor elke \(\lambda \in {\mathbb{C}}\) is ook \({\overline{\lambda}}\) een eigenwaarde (complex toegevoegde paren), bijbehorende eigenvectoren zijn ook complex toegevoegd

  • \({\mathsf{A}}\) reëel en \(\lambda\) reëel: zowel \(\boldsymbol{v}\) als \({\overline{\boldsymbol{v}}}\) zijn eigenvectoren, en dus ook de reële combinaties \(\mathop{\mathrm{Re}}(\boldsymbol{v}) = (\boldsymbol{v}+{\overline{\boldsymbol{v}}})/2\) en \(\mathop{\mathrm{Im}}(\boldsymbol{v}) = (\boldsymbol{v}+{\overline{\boldsymbol{v}}})/(2{\mathrm{i}})\) (minstens 1 van beide is niet nul)

    \(\Rightarrow\) eigenvectoren horende bij reële eigenwaarden kunnen reëel worden gekozen

Verwante eigenwaardenproblemen

• \({\mathsf{A}}\) en \({\mathsf{A}}^{\mathsf{T}}\) hebben dezelfde karakteristieke veelterm (en minimaalveelterm)

• Voor elke eigenwaarde \(\lambda\) van \({\mathsf{A}}\) bestaan er ook “linker” eigenvectoren

  \(\boldsymbol{w}^{\mathsf{T}}{\mathsf{A}} = \lambda \boldsymbol{w}^{\mathsf{T}}\iff {\mathsf{A}}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{w} = \lambda \boldsymbol{w}\)

  • Intrinsieke betekenis:

    als \({\mathsf{A}} = \Phi_B({\hat{A}})\) voor een basis \(B=\{{e}_1,\ldots,{e}_n\}\), beschouw dan duale basis \(B^\ast=\{\varepsilon^1,\ldots,\varepsilon^n\}\) met \(\varepsilon^i[{e}_j] = \delta^i_{\ j}\):

    \(\omega = w_i \varepsilon^i\) voldoet aan \({\hat{A}}^\ast(\omega) = \lambda \omega\)

Verwante eigenwaardenproblemen

Stel \({\hat{A}}^\ast(\omega') = \lambda' \omega'\) en \({\hat{A}}{v}= \lambda {v}\):

• \(\omega'[{\hat{A}}{v}] = ({\hat{A}}^\ast \omega')[{v}] \Rightarrow \lambda \omega'[{v}] = \lambda' \omega'[{v}]\)

• \(\lambda \neq \lambda' \Rightarrow \omega'[{v}] = 0\)

• \(\lambda = \lambda'\) : \(\omega[{v}] \neq 0\)?

• Uit Jordan-decompositie \({\mathsf{J}}_{{\mathsf{A}}} = \bigoplus_{\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}} \bigoplus_{k=1}^{s_\lambda} \bigoplus_{i=1}^{p^{(\lambda)}_{k-1}} {\mathsf{J}}^{(k)}(\lambda)\) leren we dat elke Jordan-blok één rechter-eigenvector oplevert (de basisvector geassocieerd met de eerste kolom van het blok), en één linker-eigenvector (de basisvector geassocieerd met de laatste rij van het blok)

  \(\Rightarrow \omega[{v}] \neq 0\) enkel als ze horen bij een Jordan-blok van grootte \(1\)

Functies van lineaire operatoren

Functies van lineaire operatoren

• We kunnen al veeltermen \(p({\hat{A}})\) en inverses \({\hat{A}}^{-1}\) berekenen:

  samen geeft dit alle rationale functies \(r({\hat{A}})=p({\hat{A}})/q({\hat{A}})\)

• Andere functies \(f\) van \({\hat{A}} \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\)?

  Hoe definieren we \(f({\hat{A}})\)?

Functies van lineaire operatoren: verwachtingen

• \({\hat{A}}{v}= \lambda {v}\Rightarrow f({\hat{A}}){v}= f(\lambda){v}\)

  \(f\) moet goed gedefinieerd zijn voor alle \(\lambda \in \sigma_{{\hat{A}}}\)

• Voor elke lineaire transformatie \({\hat{T}} \in \mathop{\mathrm{Hom}}(V,W)\): \(f({\hat{T}} {\hat{A}} {\hat{T}}^{-1}) = {\hat{T}} f({\hat{A}}) {\hat{T}}^{-1}\)

• Voor \({\hat{A}} \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) en \({\hat{B}} \in \mathop{\mathrm{End}}(W)\): \(f({\hat{A}} \oplus {\hat{B}}) = f({\hat{A}}) \oplus f({\hat{B}})\)

  (blokdiagonale matrix: \(f\) werkt op afzonderlijke diagonaalblokken)

• Voor \({\hat{A}},{\hat{B}} \in \mathop{\mathrm{End}}(V)\) met \({\left[{\hat{A}},{\hat{B}}\right]}={\hat{0}}\) en twee functies \(f,g\): \({\left[f({\hat{A}}),g({\hat{B}})\right]}={\hat{0}}\)

Functies van lineaire operatoren: definitie 1

• Als \({\hat{A}}\) diagonaliseerbaar is, definitie van \(f({\hat{A}})\) via diagonaalvorm / spectrale decompositie:

  \[{\hat{A}} = \sum_{\lambda} \lambda {\hat{P}}_\lambda \Rightarrow f({\hat{A}}) = \sum_\lambda f(\lambda) {\hat{P}}_\lambda\]

• Voorbeeld:

  \({\mathsf{A}} = \begin{bmatrix} 0 & -\theta\\ \theta & 0 \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -{\mathrm{i}}& +{\mathrm{i}}\end{bmatrix}}_{{\mathsf{V}}} \underbrace{\begin{bmatrix} {\mathrm{i}}\theta & 0 \\ 0 & -{\mathrm{i}}\theta\end{bmatrix}}_{{\mathsf{D}}} \underbrace{\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & +\frac{{\mathrm{i}}}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{{\mathrm{i}}}{2}\end{bmatrix}}_{{\mathsf{V}}^{-1}}\)

  \(\exp({\mathsf{A}}) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -{\mathrm{i}}& +{\mathrm{i}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\theta } & 0 \\ 0 & {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\theta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & +\frac{{\mathrm{i}}}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{{\mathrm{i}}}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}\)

Functies van lineaire operatoren: definitie 2

Als \(f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n z^n\) een Taylorreeks rond \(z=0\) (Maclaurin reeks) heeft:

\[f({\hat{A}}) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n {\hat{A}}^n\]

Betekenis van een reeks van een operator? Convergentie? Zie Hoofdstuk 4

• Voorbeeld: \(f(z)=\exp(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} z^n\)

  \({\mathsf{A}}^{2n+1} = (-1)^{n} \begin{bmatrix} 0 & -\theta^{2n+1}\\ \theta^{2n+1} & 0 \end{bmatrix}\) en \({\mathsf{A}}^{2n} = (-1)^n \begin{bmatrix} \theta^{2n} & 0\\ 0 & \theta^{2n} \end{bmatrix}\) voor alle \(n\in {\mathbb{N}}\)

  \(f({\mathsf{A}}) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \begin{bmatrix} \theta^{2n} & 0\\ 0 & \theta^{2n} \end{bmatrix} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\begin{bmatrix} 0 & -\theta^{2n+1}\\ \theta^{2n+1} & 0 \end{bmatrix}\)

  \(\qquad = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}\)

Functies van lineaire operatoren: definitie 3

Via Jordan-decompositie: \(f({\mathsf{A}}) = {\mathsf{V}} \left[\bigoplus_{\lambda \in \sigma_{{\mathsf{A}}}} \bigoplus_{k=1}^{s_\lambda} \bigoplus_{i=1}^{p^{(\lambda)}_{k}} f\left({\mathsf{J}}_k(\lambda)\right) \right]{\mathsf{V}}^{-1}\)

• functie van een Jordan-blok \(J_k(\lambda)\): voldoende dat \(f\) een Taylorreeks rond \(z=\lambda\) heeft met eindige convergentieradius \(a\):

  • \(f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(\lambda)}{n!} (z - \lambda)^n, \qquad \forall z\ \text{met}\ |z - \lambda| < a,\ \text{voor een $a > 0$}\)

  • \(f(J_k(\lambda)) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(\lambda)}{n!} (J_k(\lambda) - \lambda{\mathsf{I}}_k)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(\lambda)}{n!} ({\mathsf{N}}_k)^n = \sum_{n=0}^{k-1} \frac{f^{(n)}(\lambda)}{n!} ({\mathsf{N}}_k)^n\)

\(\Rightarrow f({\mathsf{J}}^{(k)}(\lambda)) = \begin{bmatrix} f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \frac{f^{(2)}(\lambda)}{2} & \frac{f^{(3)}(\lambda)}{3!} & \cdots & \frac{f^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!} & \frac{f^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!}\\ 0 & f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \frac{f^{(2)}(\lambda)}{2} & \cdots & \frac{f^{(k-3)}(\lambda)}{(k-3)!} & \frac{f^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!}\\ 0 & 0 & f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \cdots & \frac{f^{(k-4)}(\lambda)}{(k-4)!} & \frac{f^{(k-3)}(\lambda)}{(k-3)!}\\ 0 & 0 & 0 & f(\lambda) & \cdots & \frac{f^{(k-5)}(\lambda)}{(k-5)!} & \frac{f^{(k-4)}(\lambda)}{(k-4)!}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda)\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & f(\lambda) \end{bmatrix}\)

Exponentiële functie

\(\exp(t J^{(k)}(\lambda)) = e^{t \lambda} \left({\mathsf{I}}+ t {\mathsf{N}}_k + \frac{t^2}{2} \big({\mathsf{N}}_k\big)^2 + \ldots \right) \\ = e^{t \lambda} \begin{bmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2} & \frac{t^3}{3!} & \cdots & \frac{t^{k-2}}{(k-2)!} & \frac{t^{k-1}}{(k-1)!}\\ 0 & 1 & t & \frac{t^2}{2} & \cdots & \frac{t^{k-3}}{(k-3)!} & \frac{t^{k-2}}{(k-2)!}\\ 0 & 0 & 1 & t & \cdots & \frac{t^{k-4}}{(k-4)!} & \frac{t^{k-3}}{(k-3)!}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{t^{k-5}}{(k-5)!} & \frac{t^{k-4}}{(k-4)!}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & t\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Exponentiële functie: eigenschappen

• \(\exp({\hat{A}})\) is goed gedefinieerd en uniek

• exponentiële van reële matrix is reëel

• \({\mathrm{e}}^{t_1 {\hat{A}}} {\mathrm{e}}^{t_2{\hat{A}}} = {\mathrm{e}}^{(t_1 + t_2){\hat{A}}}\) en \((\exp({\hat{A}}))^{-1} = \exp(-{\hat{A}})\)

• \(\det(\exp({\hat{A}})) = \exp(\mathop{\mathrm{tr}}({\hat{A}}))\)

• \(\frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} {\mathrm{e}}^{t{\hat{A}}} = {\hat{A}} {\mathrm{e}}^{t {\hat{A}}} = {\mathrm{e}}^{t{\hat{A}}} {\hat{A}}\)

Maar niet:

• \(\exp({\hat{A}} + {\hat{B}}) \neq \exp({\hat{A}})\exp({\hat{B}}) \neq \exp({\hat{B}})\exp({\hat{A}})\)

• \(\frac{{\mathrm{d}}\ }{{\mathrm{d}}t} {\mathrm{e}}^{{\mathsf{A}}(t)}\neq \frac{{\mathrm{d}}{\mathsf{A}}(t)}{{\mathrm{d}}t} {\mathrm{e}}^{{\mathsf{A}}(t)}\neq {\mathrm{e}}^{{\mathsf{A}}(t)} \frac{{\mathrm{d}}{\mathsf{A}}(t)}{{\mathrm{d}}t}\)

Exponentiële functie: eigenschappen

• Baker-Campbell-Haussdorf formule: \(e^{t{\hat{A}}} e^{t{\hat{B}}} = e^{{\hat{C}}}\) met \({\hat{C}} = t({\hat{A}} + {\hat{B}}) + \frac{t^2}{2} {\left[{\hat{A}},{\hat{B}}\right]} +\)

  \(\qquad \frac{t^3}{12} {\left[{\hat{A}},{\left[{\hat{A}},{\hat{B}}\right]}\right]}- \frac{t^3}{12} {\left[{\hat{B}},{\left[{\hat{A}},{\hat{B}}\right]}\right]}+\mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(t^4)\)

• Zassenhaus formule

  \(e^{t({\hat{A}}+{\hat{B}})} = e^{t{\hat{A}}} e^{t{\hat{B}}} e^{-\frac{t^2}{2} {\left[{\hat{A}},{\hat{B}}\right]}}e^{\frac{t^3}{6}\left(2 {\left[{\hat{B}},{\left[{\hat{A}},{\hat{B}}\right]}\right]}+ {\left[{\hat{A}},{\left[{\hat{A}},{\hat{B}}\right]}\right]}\right)}\cdots\)

Bewijs: door uitwerking van de Taylorreeks en vergelijken van de machten in \(t\)

Logaritmische functie en machten

\(f(z) = \log(z)\) of \(f(z)=z^{\alpha}\) met \(\alpha \not\in{\mathbb{N}}\): geen Taylorreeks rond \(z=0\)

\[\begin{align*} \log(z) &= \log(\lambda + (z-\lambda)) = \log(\lambda) + \log\left(1 + \frac{z-\lambda}{\lambda}\right) \\ &= \log(\lambda) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{(z-\lambda)^n}{n\lambda^n} \end{align*}\]

\[\begin{equation} z^\alpha = \lambda^\alpha\left(1 + \frac{z-\lambda}{\lambda}\right)^\alpha = \lambda^\alpha \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha (\alpha-1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}\left(\frac{z-\lambda}{\lambda}\right)^n \end{equation}\]

Voor de definitie van \(\log(\lambda)\) of \(\lambda^{\alpha}\): meerdere keuzes (vertakkingslijnen in complexe analyse)

\(\Rightarrow\) typisch niet uniek (meerdere \({\hat{B}}\) voldoen aan \({\hat{A}}=\exp({\hat{B}})\) voor gegeven \({\hat{A}}\)), maar altijd mogelijk zolang geen \(\lambda=0\)

Logaritmische functie en machten

• Voorbeeld: \(J_3(\lambda)^{1/2}=\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix}^{1/2} = \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda} & \frac{1}{2\sqrt{\lambda}} & -\frac{1}{4 \lambda^{3/2}}\\ 0 & \sqrt{\lambda} & \frac{1}{2\sqrt{\lambda}} \\ 0 & 0 & \sqrt{\lambda}\end{bmatrix}\)

Toepassing: lineaire dynamische systemen

(enkel voor oefeningen/project)

Dynamische systemen

Een dynamisch systeem is een algemene naam voor de wiskundige modellering van een tijdsafhankelijk fenomeen of process van natuurlijke of menselijke origine (fysisch, chemisch, biologisch, ecologisch, economisch, sociaal, …).

Dynamische systemen

Ingrediënten van een (deterministisch en autonoom/translatie-invariant) dynamisch systeem:

• Toestandsruimte / configuratieruimte \(S\): verzameling van toestanden waarin het systeem zich op bepaald tijdstip kan bevinden

• Verzameling \(T\) van tijdstippen \(t\) waarover het systemen kan worden geëvolueerd, waarbij tijdstippen kunnen worden opgeteld: \(t_1 + t_2 \in T\) voor alle \(t_1,t_2 \in T\)

  \((T,+)\) is een abelse monoïde; inverse evolutie moet niet bestaan

• Evolutieregel \(\Phi_t:S\to S\) voor alle \(t \in T\) zodat \(\Phi_{t_1} \circ \Phi_{t_2} = \Phi_{t_1 + t_2}\) en \(\Phi_0 = \mathop{\mathrm{id}}_S\)

Dynamische systemen

• In deze cursus: \(S\) is vectorruimte
• Evolutieregel vaak geschreven als \(\Phi:T \times S \to S\)
• Opsplitsing in:
  • \(T = ({\mathbb{R}}_{\geq 0},+)\): continue (tijd) dynamisch systemen
  • \(T = ({\mathbb{N}}, +)\): discrete (tijd) dynamisch systemen
• Algemene concepten:
  • ‘fixpunt’, vast punt of evenwichtspunt \(x^\ast\): \(\Phi(t,x^\ast) = x^\ast, \forall t \in T\)
  • traject \(\gamma_x: T\to S : t \mapsto \Phi(t,x)\); baan \(O_x = \gamma_x(T)\)

Discreet dynamisch systeem

\(\Phi_n(x) = (\Phi_{n-1} \circ \phi)(x) = \underbrace{\phi \circ \phi \circ \cdots \circ \phi}_{\text{$n$ times}}(x) = \phi^n(x)\)

met \(\phi = \Phi_1\)

\(\Rightarrow \boldsymbol{x}_{n+1} = \phi(x_{n})\) : recurrentierelatie, iteratief process

Discreet dynamisch systeem

Beschouw nu \(S = {\mathbb{R}}^m\): \(\boldsymbol{x}\), \(\boldsymbol{\phi}\),

• Evenwichtspunt: \(\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x}^\ast) = \boldsymbol{x}^\ast\)

• Affien: \(\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x}) = {\mathsf{A}}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\); linear: \(\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x}) = {\mathsf{A}}\boldsymbol{x}\)

• Typische dynamische systemen zijn niet linear:

  \(\Rightarrow\) linearisatie rond evenwichtspunt

  \(\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x}_\ast + \boldsymbol{y}_n) \approx \underbrace{\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x}^\ast)}_{= \boldsymbol{x}^\ast} + \underbrace{\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial \boldsymbol{\phi}}{\partial x^j}(\boldsymbol{x}^\ast) (\boldsymbol{y}_n)^j}_{={\mathsf{J}}_{\boldsymbol{\phi}}(\boldsymbol{x}^\ast) \boldsymbol{y}_n}+ \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(\boldsymbol{y}^2)\)

  \(\Rightarrow\) eigenschappen van \({\mathsf{J}}_{\varphi}(\boldsymbol{x}^\ast)\) bepalen gedrag rond en stabiliteit van \(\boldsymbol{x}^\ast\)

Discreet dynamisch systeem

\(\boldsymbol{x}_n = {\mathsf{A}} \boldsymbol{x}_{n-1} \Rightarrow \boldsymbol{x}_n = {\mathsf{A}}^n \boldsymbol{x}_0\)

Perturbaties rond \(\boldsymbol{x}^\ast=\boldsymbol{0}\) bepaald door eigenwaarden (Jordan-decompositie) van \({\mathsf{A}}\):

• \({\left\lvert\lambda\right\rvert}\) > 1: afstand tot evenwichtspunt neemt exponentieel toe
• alle \({\left\lvert\lambda\right\rvert} < 1\): perturbaties rond evenwicht convergeren terug naar evenwichtspunt \(\Rightarrow\) stabiliteit
• \(\lambda = \exp({\mathrm{i}}2\pi/p)\) periodieke oplossingen met periode \(p\)

Recurrentierelaties

• Dynamisch systeem: \(\boldsymbol{x}_{n+1}= \boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x}_n)\)

• Meer algemeen: \(\boldsymbol{x}_{n+1}= \boldsymbol{\phi}(n, \boldsymbol{x}_n)\)

  Niet autonoom / tijdshomogeen / translatie-invariant

• Hogere orde (maar autonoom): \(\boldsymbol{x}_{n+k} = \boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x}_{n}, \dots, \boldsymbol{x}_{n+k-2}, \boldsymbol{x}_{n+k-1})\)

  kan omgezet worden in een eerste orde relatie voor \(\boldsymbol{y}_{n} = (\boldsymbol{x}_{n}, \dots, \boldsymbol{x}_{n+k-2}, \boldsymbol{x}_{n+k-1}) \in {\mathbb{R}}^{km}\)

  \[\begin{align*}\small \boldsymbol{y}_{n+1} = \boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{y}_n) &= \boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x}_{n}, \dots, \boldsymbol{x}_{n+k-2}, \boldsymbol{x}_{n+k-1}) \\ &= (\boldsymbol{x}_{n+1}, \dots, \boldsymbol{x}_{n+k-1}, \boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x}_{n}, \dots, \boldsymbol{x}_{n+k-2}, \boldsymbol{x}_{n+k-1})) \end{align*}\]

Recurrentierelaties

\[\boldsymbol{x}_{n+k} = {\mathsf{A}}_{0} \boldsymbol{x}_{n} + {\mathsf{A}}_{1} \boldsymbol{x}_{n+1} + \dots + {\mathsf{A}}_{k-2} \boldsymbol{x}_{n+k-2} + {\mathsf{A}}_{k-1} \boldsymbol{x}_{n_k-1}\]

\[\begin{equation} \Rightarrow \boldsymbol{y}_{n+1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{x}_{n+1} \\ \boldsymbol{x}_{n+2} \\ \dots \\ \boldsymbol{x}_{n+k-1} \\ \boldsymbol{x}_{n+k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\mathsf{O}}& {\mathsf{I}}& \dots & {\mathsf{O}}& {\mathsf{O}}\\ {\mathsf{O}}& {\mathsf{O}}& \dots & {\mathsf{O}}& {\mathsf{O}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ {\mathsf{O}}& {\mathsf{O}}& \dots & {\mathsf{O}}& {\mathsf{I}}\\ {\mathsf{A}}_{0} & {\mathsf{A}}_{1} & \dots & {\mathsf{A}}_{k-2} & {\mathsf{A}}_{k-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \boldsymbol{x}_{n} \\ \boldsymbol{x}_{n+1} \\ \dots \\ \boldsymbol{x}_{n+k-2} \\ \boldsymbol{x}_{n+k-1} \end{bmatrix}. \end{equation}\]

Voor \(k=1\) (\(x_n\) scalair): \(y_{n+1} = {\mathsf{C}} \boldsymbol{y}_n = {\mathsf{C}}^{n+1}\boldsymbol{y}_0\) met \({\mathsf{C}}\) een companion matrix

• Algemene oplossing is een lineaire combinatie van elementaire oplossingen \(x_n = n^j \lambda^n\) voor \(\lambda\) een nulpunt van de bijbehorende polynoom en \(j=0,1,\ldots,q-1\) met \(q\) de algebraïsche multipliciteit van \(\lambda\).

• Polynoom voor \(\lambda\) kan gevonden worden door oplossingen \(x_n=\lambda^n\) in te vullen in de recurrentierelatie

• Lineaire combinatie vinden door te “matchen” met beginvoorwaarden \(x_0,\ldots,x_{k-1}\).

Recurrentierelatie: voorbeeld

Bekendste voorbeeld: Fibonacci

\(x_{n+2} = x_{n} + x_{n+1}\)

\(\Rightarrow \lambda^2 = \lambda + 1\)

\(\Rightarrow: \lambda = \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\)

\(x_0 = 0, x_1 = 1 \Rightarrow (x_n)_{n \in {\mathbb{N}}} = (0,1,1,2,3,5,8,13,\ldots)\)

Continue dynamische systemen

Er is geen “kleinste eenheid van evolutie”

\(\dot{\boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}(t))\) (eerste orde differentiaalvergelijking)

• Evenwichtspunt \(\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}^\ast) = \boldsymbol{0}\)

• Linearisatie rond evenwichtspunt

  \(\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x}_\ast + \boldsymbol{y}(t)) \approx \underbrace{\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x}^\ast)}_{=\boldsymbol{0}} + \underbrace{\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial \boldsymbol{\varphi}}{\partial x^j}(\boldsymbol{x}^\ast) (\boldsymbol{y}(t))^j}_{={\mathsf{J}}_{\boldsymbol{\phi}}(\boldsymbol{x}^\ast) \boldsymbol{y}(t)}+ \mathop{\mathrm{\mathscr{O}}}(\boldsymbol{y}^2)\)

Continue dynamische systemen

• Lineaire systemen: \(\dot{\boldsymbol{x}}(t) = {\mathsf{A}}\boldsymbol{x}(t)\)

  \(\Rightarrow\boldsymbol{x}(t) = {\mathrm{e}}^{t{\mathsf{A}}} \boldsymbol{x}_0\)

• Perturbaties rond \(\boldsymbol{x}^\ast=\boldsymbol{0}\) bepaald door eigenwaarden (Jordan-decompositie) van \({\mathsf{A}}\):

  • alle \(\mathop{\mathrm{Re}}{\lambda}<0\): perturbaties sterven uit, evenwichtspunt stabiel
  • een \(\mathop{\mathrm{Re}}{\lambda}>0\): perturbatie groeit exponentieel in de tijd
  • \(\lambda = {\mathrm{i}}2\pi/p\): periodieke baan met periode \(p\)

Hogere orde differentiaalvergelijkingen

• \(\boldsymbol{x}^{(k)}(t) = \boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{x}(t), \dot{\boldsymbol{x}(t)},\ldots, \boldsymbol{x}^{(k-1)}(t))\)

  Herleidbaar naar eerste orde differentiaalvergelijking voor \(\boldsymbol{y}(t) = (\boldsymbol{x}(t), \dot{\boldsymbol{x}}(t), \ddot{\boldsymbol{x}}(t), \dots, \boldsymbol{x}^{(k-1)}(t))\)

• Voor \(k=1\) (\(x(t)\) scalair):

  \(x^{(k)}(t) = a_{0} x(t) + a_{1} \dot{x}(t) + \dots + a_{k-2} x^{(k-2)}(t) + a_{k-1} x^{(k-1)}(t)\)

  \(\Rightarrow \dot{\boldsymbol{y}}(t) = {\mathsf{C}} \boldsymbol{y}(t)\) met \({\mathsf{C}}\) een companion matrix

  • Algemene oplossing is een lineaire combinatie van elementaire oplossingen \(x(t) = t^j {\mathrm{e}}^{\lambda t}\) voor \(\lambda\) een nulpunt van de bijbehorende polynoom en \(j=0,1,\ldots,q-1\) met \(q\) de algebraïsche multipliciteit van \(\lambda\)

  • Polynoom voor \(\lambda\) kan gevonden worden door oplossingen \(x(t)={\mathrm{e}}^{\lambda t}\) in te vullen in de recurrentierelatie

  • Lineaire combinatie vinden door te “matchen” met beginvoorwaarden \(x(0),\dot{x}(0),\ldots,x^{(k-1)}(0)\).